Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Чтоб правильно рассчитать и выставить диагональ фундамента или опалубки фундамента — очень хорошо нанять спецов. Но если вы уже несколько раз видели передачу «квадратный метр», несколько раз слышали разговор о том как надо строить, а еще кучу анекдотов о строительстве? — другое дело. Это и дает нам «полное право» предполагать, что мы сами справимся с таким простым делом, как углы и диагонали опалубки фундамента. Именно такого высокого мнения о себе каждый, кто планирует строить баню своими руками (Ха-ха!)
О начале разметки и проектирования фундамента и опалубки я писал в статье . На момент вбивания кольев и установки внешних досок опалубки я уже проверял длину диагонали. Все сходилось до миллиметра. Это самое главное условия получения прямых углов сруба бани. Но после первой разметки были манипуляции с установкой дна ростверка, монтаж внутренних щитов опалубки, доделывание опалубки столбиков от уровня земли до дна будущего фундамента. Конечно же, я очень старался чтоб ничего не сдвинуть, и колья вбивал глубоко.
Но как и во всякой стройке, случился перекосяк. Это не так страшно, как если бы я этого не заметил или я об этом не знал. Поэтому я перед укладкой арматуры решил опять проверить диагонали. Разница получилась в 2 см. Вот и хорошо, что обнаружилось до заливки бетона.
Как вывести диагональ опалубки?
Для упрощения постройки правильной опалубки я делал длину стенок абсолютно равной. Поэтому перекос может получиться только в виде ромба. На рисунке умышлено увеличена степень перекоса опалубки для наглядности.
Для исправления ситуации поступили так:
Такое комбинированное перемещение одной из сторон опалубки (северной на рисунке) не было слишком трудном, поскольку колья и первоначальное расположение опалубки соответствовали правильному положению. Поэтому смещение диагонали было минимальным и усилия по «корректировке» положения щитов не вызывали механического напряжения и усилий.
Способ установки углов по равным диагоналям можно использовать только при условии равенства сторон. Равенства диагоналей
будет достаточно!
Для сторон опалубки с большим размером возможно применить правило «золотого» треугольника. Если такой треугольник, согласно теореме Пифагора, имеет стороны 3, 4, то гипотенуза равна 5 единицам. Таким образом, достаточно отмерить на сторонах опалубки части кратные 3 и 4 у вершины прямого угла и тогда расстояние между контрольными точками будет 5 частей! Это и будет гарантией прямых углов и равенства диагоналей!
Для осуществления правильного планирования монтажа опалубки очень рекомендую использовать метод обноски, который позволяет в любое время монтажных работ производить сверку углов, снимать и повторно устанавливать шнуры периметра фундамента.
Перед заливкой фундамента не поленитесь еще раз проверить диагонали. Это лишним не будет! Бетон невозможно легко и быстро поправить. Ошибки исправлять очень дорого и долго. Фундамент для сруба имеет больше требований к качеству чем фундамент для каменного дома. Раствором уже ничего не выровнять!
Не забудьте перед заливкой для ее легкого демонтажа!
Определение.
Прямоугольник - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d 2 - b 2
b = √d 2 - a 2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
| b = d cos | β |
| 2 |
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a 2 + b 2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = D о
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S: sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b )
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
Инструкция
Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.
Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали 5 см.
Видео по теме
Обратите внимание
Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.
Источники:
- как найти длину диагонали в прямоугольнике
Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти диагональ
квадрата
, если известна длина его стороны?
Инструкция
длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на из двух.
Видео по теме
Если точность математического результата не очень важна, то вместо корня из двух можно использовать его приблизительное значение 1,41.
Совет 6: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны
Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.
Инструкция
Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.
Если о параллелограмме известно, что он прямоугольником с указанными в длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из возведенных в квадрат и прямоугольника: L=√(a²+b²).
Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы . Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).
Источники:
- как найти длину диагонали параллелограмма
Можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а единственная общая точка делит каждую из них на два равных отрезка. Эти свойства позволяют легко рассчитать длину одной из диагоналей, если известна длина другой и еще какой-нибудь параметр фигуры - размер стороны, угол в одной из вершин, площадь и т.д.
Инструкция
Если кроме длины одной из (l) о рассматриваемом четырехугольнике известно, что он частным случаем ромба - квадратом, никаких расчетов производить не придется. В этом случае длины обеих диагоналей - просто приравняйте искомую величину (L) к известной: L=l.
Знание длины стороны ромба (a) в дополнение к длине одной из диагоналей (l) позволит длину другой (L) по теореме Пифагора. Это потому, что две половины пересекающихся диагоналей образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник. Половины диагоналей в нем являются катетами, а сторона - гипотенузой, поэтому равенство, вытекающее из теоремы Пифагора записать так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для использования в расчетах преобразуйте его к такому виду: L = √(4*a²-l²).
При известной величине одного из углов (α) ромба и длине одной из диагоналей (l) для нахождения величины другой (L) рассмотрите тот же прямоугольный треугольник. Тангенс половины известного угла в нем отношению длины противолежащего катета - половины диагонали l - к прилежащему - половине диагонали L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Поэтому для искомой величины используйте формулу L = l/tg(α/2).
Если в условиях задачи приведена длина периметра (P) ромба и размер его диагонали (l), формулу вычисления длины второй (L) можно свести к равенству, использованному во втором шаге. Для этого разделите периметр на четверку и замените этим выражением длину стороны в : L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).
В исходных условиях кроме длины одной из диагоналей (l) может быть приведена и площадь (S) фигуры. Тогда для вычисления длины второй диагонали ромба (L) используйте очень простой алгоритм - удвойте площадь и разделите полученное значение на длину известной диагонали: L = 2*S/l.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Доказательство
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположные стороны равны.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Противоположные стороны параллельны.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагонали прямоугольника равны.
AC = BD
Доказательство
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .
Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).
Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.
Значит, AC = BD .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.
Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .
Доказано!
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .
10. Сумма всех углов равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
11. Все углы прямоугольника прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}
\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).
