Средние линии четырехугольников и их свойства Выполнил: Матвеев Дмитрий Учитель: Рычкова Татьяна Викторовна Лицей "Дубна" 9ИМ 2007 Средние линии и Параллелограмм Вариньона Другие свойства средней линии четырехугольника Краткий перечень всех теорем и свойств

Что такое параллелограмм Вариньона? Это параллелограмм, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника Иначе: это параллелограмм, диагоналями которого являются средние линии четырехугольника

A B C D N M L K P Доказательство: Соединим точки K, L, M, N и проведем диагональ АС; В ∆ACD NM – средняя линия, значит NM  AC и NM=1/2 AC; В ∆ABC KL – средняя линия, значит KL  AC и KL=1/2 AC; NM=1/2 AC=KL, NM  AC  KL, значит четырехугольник KLMN ‑ параллелограмм. A L B M C D K P N Доказательство: Соединим точки K, L, M, N и проведем диагональ DB; В ∆CDB NM – средняя линия, значит NM  DB и NM=1/2 DB; В ∆ADC KL – средняя линия, значит KL  DB и KL=1/2 DB; NM=1/2 DB=KL, NM  DB  KL, значит четырехугольник KLMN ‑ параллелограмм. Докажем, что KLMN – параллелограмм Вариньона, при KM и NM – средних линиях ABCD.

А значит… Так как четырехугольник KLMN – параллелограмм Вариньона, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам Средние линии любого четырехугольника делятся пополам

Следствия: 1. Если средние линии четырехугольника равны, то середины сторон четырехугольника (вершины параллелограмма Вариньона) лежат на одной окружности. Доказательство: Так как в параллелограмме Вариньона равные средние линии являются равными диагоналями, то этот параллелограмм – прямоугольник, а вокруг него всегда можно описать окружность, значит его вершины лежат на одной окружности.

Следствия: 2. Если средние линии четырехугольника перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны. Доказательство: Так как NL┴KM и NL с KM диагонали в параллелограмме KLMN , то KLMN – ромб. По этому KL = LM = MN = NK . Так как AC =2 KL и BD =2 NK , то AC = BD . A K B L C M D N P O A P K C D M N L B

Следствия: A K B L C M D N P O A P K C D M N L B 3. Если диагонали четырехугольника равны, то средние линии четырехугольника перпендикулярны. Доказательство: Так как AC =2 MN =2 KL , BD =2 NK =2 ML и AC = BD , то KL = LM = MN = NK . Значит KLMN – ромб, а в ромбе диагонали перпендикулярны, то есть NL┴KM.

Для примера: Решая такую задачу, пришлось бы сильно потрудится, не зная одно из свойств параллелограмма Вариньона:

Какова же площадь параллелограмма Вариньона? Доказательство для выпуклого четырехугольника: Рассмотрим ∆ABD и ∆ANK: а).

Какова же площадь параллелограмма Вариньона? Доказательство для невыпуклого четырехугольника: Рассмотрим ∆ABD и ∆ANK: а).

S KLMN =1/2 S ABCD Значит площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника, чьи средние линии являются его диагоналями. Следствие: площади четырехугольников с равными средними линиями равны. Следствие: площадь четырехугольника равна произведению его средних линий на синус угла между ними.

Для примера: Теперь можно решить задачу в два шага: 1. S пар. Вариньона равна 15*18=270 см в кв. 2. S ABCD = 2*270= =540 см в кв.

Какова длина средней линии? A D C F B G E Пусть EF – средняя линия четырехугольника ABCD (EA=ED, FB=FC , AB не параллельна DC); Тогда: NL= ND + DA + AL и NL = NC + CB + BL Сложим эти равенства и получим: 2NL = DA + CB Значит вектора 2NL, DA и CB являются сторонами треугольника При параллельном переносе векторов DC и 2EF получатся равные им вектора BG и AG , которые вместе с вектором AB образуют ∆ AGB , где по неравенству треугольника получим: AGСлайд 14

Свойство углов Проведем отрезок KD = BC и параллельный ему. Тогда BCDK – параллелограмм. Значит CD = BK и CD  BK . Отсюда Слайд 15

Краткий перечень всех теорем и свойств: Средние линии любого четырехугольника делятся пополам Если средние линии четырехугольника равны, то середины сторон четырехугольника (вершины параллелограмма Вариньона) лежат на одной окружности. Если средние линии четырехугольника перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны. Если диагонали четырехугольника равны, то средние линии четырехугольника перпендикулярны. Значит площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника, чьи средние линии являются его диагоналями. Площади четырехугольников с равными средними линиями равны. Площадь четырехугольника равна произведению его средних линий на синус угла между ними. Длина средней линии четырехугольника не превышает полусуммы длин сторон, не соединенных ею. Если 4-хугольнике две противоположные стороны равны и не параллельны, то прямая, включающая в себя среднюю линию, не проходящую через эти стороны, образует с продолжениями этих сторон равные углы

Средняя линия треугольника

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
• при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия четырехугольника

Средняя линия четырехугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырехугольниках центры пересекаются)

• Если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
• Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Свойства

• средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Средняя линия" в других словарях:

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ - (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… … Большая политехническая энциклопедия

Треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Большой Энциклопедический словарь

средняя линия - 24 средняя линия: Воображаемая линия, проходящая через профиль резьбы так, что толщина выступа равна ширине канавки. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Энциклопедический словарь

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stalo paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… … Большая советская энциклопедия

Треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… … Математическая энциклопедия

Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Естествознание. Энциклопедический словарь

Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

• если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 {\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}} , где AD и BC - основания трапеции.

Средние линии геометрических фигур

научная работа

1. Свойства средних линий

1. Свойства треугольника:

· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.

2. Свойства четырёхугольника:

· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.

· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;

· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.

3. Свойства трапеции:

· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Биномиальные коэффициенты

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...

Биномиальные коэффициенты

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...

Обобщение классических средних величин

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...

Основные понятия математической статистики

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...

Простейшие способы обработки опытных данных

Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...

Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...

Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...

Случайные вектора

Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...

Статистические расчеты содержания влаги

Численное интегрирование разными методами

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...

Численные методы

1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...

Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника - это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.