Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.
Навигация по странице.
Что такое неравенства с переменными?
Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.
Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.
Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .
А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Значение переменной х из множества Х , при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 1. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) + h (x ) > g (x ) + h (x ) равносильны на множестве Х .
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f (x ) > g (x ) прибавить одно и то же число d , то получим неравенство f (x ) + d > g (x ) + d , равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое ( или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x х из множества Х выражение h (x ) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) > g (x ) × h (x ) равносильны на множествеХ .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же положительное число d , то получим неравенство f (x ) × d > g (x ) × d , равносильное данному.
Теорема 3. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (x ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) < g (x ) × h (x ) равносильны на множестве Х .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (x ) × d < g (x ) × d , равносильное данному.
Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 - х, х Î R ? Найти множество решений этого неравенства.
Решение.
Число х
= 5 является решением неравенства
2х
+ 7 > 10 - х
, так как 2×5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х
+ 7 > 10 - х
Þ
3х
> 3 Þ х
> 1.
Задача. Решить неравенство 5х - 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.
Решение.
Преобразования | Обоснование преобразований |
1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х - 2х < 16 + 5. | Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному. |
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х < 21. | Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного. |
3. Разделим обе части неравенства на 3: х < 7. | Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному. |
УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Предмет:
Алгебра
Тема:
Решение неравенств с одной переменной
Цели урока:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.
Воспитательные:
развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]
Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет
2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:
2) 
3) 
Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.
Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,
Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.
Тренажер
Решите неравенство и отметьте его решение:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Выводы
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.
V. Итоговое тестирование
1) Решением неравенства с одной переменной называется…
а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;
б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое
неравенство;
в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.
2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:
а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?
3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:
а) (- ∞; 4); б) (4; +∞); в)
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)
Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.
В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.
Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.
Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.
Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение
.Ответ: если а=1, то х – любое число;
если а=-1, то нет решений;
если а¹±1, то
.2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение
во второе уравнение системы, получим
,
Ответ: (2; 3).
Пример 2. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).
Пример 3. Решить систему уравнений:
Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.
Пример 4. Решить систему уравнений:
Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 5. Решить систему:
Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем
. При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то
.
Ответ: при a=-2система не имеет решения,
при а¹-2 система имеет решение
.
Пример 6. Решить систему уравнений:
Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.
2х-2у-2z=-12
3х-3у-3z=-18
наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим - 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:
х+у+z=6z=3, которая равносильна данной.
Система такого вида называется треугольной.
Ответ: (1; 2; 3).
3. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.
Покажем на примерах, как можно решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.
Пример 1. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве щсодержалось 60% олова?
Решение. Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32+х)кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т.е. меди в нем было 32·0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45·32=0,4(32+х).
Решив его, находим х=4, т.е. в сплав надо добавить 4 кг олова.
Пример 2. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?
Решение. Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х-2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х-2)+х=11х-20. Сумма цифр числа х-2+х=2х-2. Следовательно, разделив 11х-20 на 2х-2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х-20=4(2х-2)+6, т.к. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х=6. Итак, было задумано число 46.
