Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:
1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.
При этом многочлены нужно .
2) Если можно, сократить дробь.
Замечание.
При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.
Примеры умножения алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:
Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:
Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .
В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:
Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):
Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:
(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:
При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.
В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:
Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):
В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.
Рубрика: |Класс: 8а Предмет: Алгебра
Тема урока: Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень.
Цель: вспомнить правила умножения и деления числовых дробей; объяснить правила умножения и деления алгебраических дробей; научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей; формировать умение выполнять действия с алгебраическими дробями.
Форма урока: урок изучения нового материала.
Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.
Оборудование: Компьютер, проектор.
Ход урока
Урок проводится с использованием компьютерной презентации.
Ι. Организация урока.
ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.
Устно:
(Ответы выводятся с помощью компьютера.)
1. Разложить на множители:
2. Сократить дробь:
3. Умножить дроби:
Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)
Найти число, обратное числу
Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)
Найти дробь обратную:
Разделить дроби:
Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. 
ΙΙΙ. Новая тема
Обращаясь к плакату, учитель говорит: a, b, c, d - в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)
Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.
Выполнить действия:
Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.
ΙV. Закрепление
1)Работа по задачнику: № 5.4 (а, в), № 5.7 (а, в), №5.12(а,в)
2) Работа в парах по карточкам:
(Решения и ответы отражены через проектор.)
V. Итог урока
№5.16(а,в) и 5.19(а,в) – если остается время
VI. Домашнее задание
№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).
На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
На данном уроке мы рассмотрели правила умножения и деления алгебраических дробей , а также применение этих правил для конкретных примеров.
Список литературы
1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
1. Портал для всей семьи.
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .
3. Вся элементарная математика.
Домашнее задание
1. №№73-77, 80. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
2. Выполнить умножение: а), б)
3. Выполнить деление: а) , б)
В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.
Как правильно делить и умножать алгебраические дроби
Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.
Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:
2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21
А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:
2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:
Определение 1
Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.
Определение 2
Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.
Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.
Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.
Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей
В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.
Пример 1
Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.
Решение
Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:
1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)
Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:
1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y
Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:
1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y
Приведем полученную дробь к стандартному виду:
1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2
Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .
Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.
Пример 2
Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 - 1 .
Решение
Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1
У нас получилась дробь, которую можно сократить:
x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x - 1)
О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.
Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:
x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Вот запись всего решения без пояснений:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2 .
В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.
Пример 3
Условие: разделите 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x .
Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x - 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:
2 1 7 · x - 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x - 1 = 14 x - 7
Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 - x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 - x , получим 12 · x 7 - x = - 12 · x x - 7 .
После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:
2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = 14 x - 7: - 12 · x x - 7 = 14 x - 7 · x - 7 - 12 · x = 14 · x - 7 x - 7 · - 12 · x = = 14 - 12 · x = 2 · 7 - 2 · 2 · 3 · x = 7 - 6 · x = - 7 6 · x
Ответ: 2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = - 7 6 · x .
Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен
Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.
Пример 4
Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 .
Решение
x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x - 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x - 4 = = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y
Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Пример.
Найдите произведение алгебраических дробей и .
Решение.
Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения : x 2 +2·x+1=(x+1) 2 и x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Таким образом, .
Очевидно, полученную дробь можно сократить 
(этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).
Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе: 
.
Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:
Ответ:
.
Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.
Пример.
Разделите алгебраическую дробь на дробь .
Решение.
Упростим вид алгебраической дроби , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7
, что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби , имеем 
.
Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби , имеем 
.
