ამ სტატიაში ვისაუბრებ ალგორითმი უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობის საპოვნელადფუნქციები, მინიმალური და მაქსიმალური ქულები.
თეორიიდან გამომდინარე, ის აუცილებლად გამოდგება წარმოებული ცხრილიდა დიფერენცირების წესები... ეს ყველაფერი ამ ფირფიტაშია:
ალგორითმი უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობის პოვნისათვის.
ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია კონკრეტული მაგალითით ახსნა. განვიხილოთ:
მაგალითი:იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x სეგმენტზე [–4; 0].
Ნაბიჯი 1.ჩვენ ვიღებთ წარმოებულს.
Y "= (x ^ 5 + 20x ^ 3–65x)" = 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 = 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65
ნაბიჯი 2.ექსტრემალური წერტილების პოვნა.
ექსტრემალური წერტილიჩვენ ვუწოდებთ ისეთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია აღწევს თავის უმაღლეს ან ყველაზე დაბალ მნიშვნელობას.
ექსტრემალური წერტილების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაათანაბროთ ფუნქციის წარმოებული ნულს (y "= 0)
5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 = 0
ახლა ჩვენ ვხსნით ამ ბიკვადრატულ განტოლებას და ნაპოვნი ფესვები არის ჩვენი ექსტრემალური წერტილები.
მე ვხსნი ასეთ განტოლებებს t = x ^ 2, შემდეგ 5t ^ 2 + 60t - 65 = 0 ჩანაცვლებით.
5 -ით განტოლების შემცირებით მივიღებთ: t ^ 2 + 12t - 13 = 0
D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * ( - 13) = 196
T_ (1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1
T_ (2) = (-12 -sqrt (196)) / 2 = (-12 -14) / 2 = -13
ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ცვლილებას x ^ 2 = t:
X_ (1 და 2) = ± sqrt (1) = ± 1
x_ (3 და 4) = ± sqrt (-13) (გამორიცხეთ, ფესვის ქვეშ არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვები, თუ რა თქმა უნდა არ ვსაუბრობთ რთულ რიცხვებზე)
სულ: x_ (1) = 1 და x_ (2) = -1 - ეს არის ჩვენი ექსტრემალური წერტილები.
ნაბიჯი 3.განსაზღვრეთ უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობა.
ჩანაცვლების მეთოდი.
იმ პირობით, რომ ჩვენ მოგვცეს სეგმენტი [b] [- 4; 0]. წერტილი x = 1 არ შედის ამ სეგმენტში. ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ მას. მაგრამ x = -1 წერტილის გარდა, ჩვენ ასევე უნდა გავითვალისწინოთ ჩვენი სეგმენტის მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები, ანუ წერტილები -4 და 0. ამისათვის ჩვენ სამივე წერტილს ვცვლით პირვანდელ ფუნქციაში. შენიშნეთ ორიგინალი - ეს არის მოცემული პირობით (y = x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), ზოგი იწყებს ჩანაცვლებას წარმოებულში ...
Y (-1) = (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3- 65 * (- 1) = -1- 20 + 65 = [b] 44
y (0) = (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) = 0
y (-4) = (-4) ^ 5 + 20 * ( - 4) ^ 3 - 65 * ( - 4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა არის [b] 44 და ის მიღწეულია [b] -1 წერტილში, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი სეგმენტზე [-4; 0].
ჩვენ გადავწყვიტეთ და მივიღეთ პასუხი, ჩვენ მშვენივრად ვართ, შეგიძლიათ დაისვენოთ. მაგრამ გაჩერდი! არ ფიქრობთ, რომ y (-4) დათვლა რატომღაც ძალიან რთულია? შეზღუდული დროის გარემოში, უმჯობესია გამოიყენოთ სხვა მეთოდი, მე მას ასე ვუწოდებ:
მუდმივობის ინტერვალით.
ეს ინტერვალები გვხვდება ფუნქციის წარმოებულისთვის, ანუ ჩვენი ბიკვადრატული განტოლებისთვის.
მე ამას ვაკეთებ შემდეგი გზით. ვხატავ მიმართულების ხაზს. მე ვათავსებ პუნქტებს: -4, -1, 0, 1. იმისდა მიუხედავად, რომ 1 არ არის მოცემული სეგმენტში, ის მაინც უნდა აღინიშნოს, რათა სწორად განისაზღვროს მუდმივობის ინტერვალები. ავიღოთ რიცხვი 1 -ზე მრავალჯერ მეტი, ვთქვათ 100, გონებრივად ჩავანაცვლოთ ჩვენს ბიკვადრატულ განტოლებაში 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. არაფრის დათვლის გარეშეც კი ცხადი ხდება, რომ 100 -ე წერტილში ფუნქციას აქვს პლუს ნიშანი. ეს ნიშნავს, რომ მას აქვს პლიუს ნიშანი ინტერვალით 1 -დან 100 -მდე. როდესაც გავდივართ 1 -ზე (ჩვენ მივდივართ მარჯვნიდან მარცხნივ), ფუნქცია შეცვლის თავის ნიშანს მინუსზე. 0 წერტილის გავლისას ფუნქცია შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ვინაიდან ეს მხოლოდ სეგმენტის საზღვარია და არა განტოლების ფესვი. -1 – ზე გადასვლისას ფუნქცია კვლავ შეცვლის თავის ნიშანს პლუსზე.
თეორიიდან, ჩვენ ვიცით, რომ სადაც არის ფუნქციის წარმოებული (და ჩვენ მხოლოდ ამისთვის დავხატეთ) ცვლის ნიშანს პლუსდან მინუს (ჩვენს შემთხვევაში წერტილი -1)ფუნქცია აღწევს მისი ადგილობრივი მაქსიმუმი (y (-1) = 44 ადრე გამოთვლილი)ამ ინტერვალზე (ეს ლოგიკურად ძალიან ნათელია, ფუნქცია ზრდა შეჩერდა, რადგან მიაღწია მაქსიმუმს და დაიწყო შემცირება).
შესაბამისად, სადაც ფუნქციის წარმოებული იცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსში, მიღწეული ფუნქციის მინიმალური მინიმუმი... დიახ, დიახ, ჩვენ ასევე ვიპოვეთ ადგილობრივი მინიმუმის წერტილი, ეს არის 1 და y (1) არის ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზე, ვთქვათ -1 დან +. დიდი ყურადღება მიაქციეთ, რომ ეს მხოლოდ ლოკალური მინიმუმია, ანუ მინიმუმი გარკვეულ სეგმენტზე. ვინაიდან რეალური (გლობალური) მინიმუმი, ფუნქცია მიაღწევს სადღაც იქ, -∞.
ჩემი აზრით, პირველი მეთოდი უფრო მარტივია თეორიულად, ხოლო მეორე უფრო მარტივი არითმეტიკული ოპერაციების თვალსაზრისით, მაგრამ ბევრად უფრო გართულებულია თეორიის თვალსაზრისით. მართლაც, ხანდახან არის შემთხვევები, როდესაც განტოლების ძირში გავლისას ფუნქცია არ იცვლის ნიშანს და საერთოდ თქვენ შეიძლება დაბნეული იყოთ ამ ადგილობრივ, გლობალურ მაქსიმუმებთან და მინიმუმებთან, თუმცა მოგიწევთ მისი კარგად დაუფლება, თუკი ამას გეგმავთ. ჩააბარეთ ტექნიკურ უნივერსიტეტში (და რატომ სხვაგვარად ჩააბარეთ პროფილის გამოცდა და გადაწყვიტეთ ეს ამოცანა). მაგრამ პრაქტიკა და მხოლოდ პრაქტიკა ერთხელ და სამუდამოდ გასწავლით თუ როგორ უნდა გადაჭრათ ასეთი პრობლემები. და თქვენ შეგიძლიათ ივარჯიშოთ ჩვენს ვებგვერდზე. Აქ .
თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა, ან რამე გაუგებარია, აუცილებლად ჰკითხეთ. მე სიამოვნებით გიპასუხებ და გავაკეთებ ცვლილებებს, დამატებებს სტატიაში. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ ერთად ვქმნით ამ საიტს!
ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ორდინატის უდიდესი (უმცირესი) მიღებული მნიშვნელობა განსახილველ ინტერვალზე.
ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად გჭირდებათ:
- შეამოწმეთ რომელი სტაციონარული წერტილებია მოცემულ სეგმენტში.
- გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილებში 3 პუნქტიდან
- შეარჩიეთ ყველაზე მაღალი ან ყველაზე დაბალი მნიშვნელობა მიღებული შედეგებიდან.
მაქსიმალური ან მინიმალური ქულების საპოვნელად საჭიროა:
- იპოვნეთ $ f "(x) $ ფუნქციის წარმოებული
- იპოვეთ სტაციონარული წერტილები $ f "(x) = 0 $ განტოლების ამოხსნით
- ფუნქციის წარმოებულის ფაქტორი.
- დახაზეთ საკოორდინატო ხაზი, მოათავსეთ მასზე სტაციონარული წერტილები და განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში, მე -3 პუნქტის აღნიშვნის გამოყენებით.
- იპოვნეთ მაქსიმალური ან მინიმალური ქულა წესის მიხედვით: თუ რაღაც მომენტში წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ეს იქნება მაქსიმალური წერტილი (თუ მინუსიდან პლუსამდე, მაშინ ეს იქნება მინიმალური წერტილი). პრაქტიკაში მოსახერხებელია ისრების გამოსახულების გამოყენება ინტერვალებით: ინტერვალში, სადაც წარმოებული დადებითია, ისარი შედგენილია და პირიქით.
ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებული ცხრილი:
| ფუნქცია | წარმოებული |
| $ c $ | $0$ |
| $ x $ | $1$ |
| $ x ^ n, n∈N $ | $ nx ^ (n-1), n∈N $ |
| $ (1) / (x) $ | $ - (1) / (x ^ 2) $ |
| $ (1) / x (^ n), n∈N $ | $ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈N $ |
| $ √ ^ n (x), n∈N $ | $ (1) / (n√ ^ n (x ^ (n-1)), n∈N $ |
| $ sinx $ | $ cosx $ |
| $ cosx $ | $ -სინქსი $ |
| $ tgx $ | $ (1) / (cos ^ 2x) $ |
| $ ctgx $ | $ - (1) / (ცოდვა ^ 2x) $ |
| $ cos ^ 2x $ | $ -2 x $ |
| $ ცოდვა ^ 2x $ | $ sin2x $ |
| $ e ^ x $ | $ e ^ x $ |
| $ a ^ x $ | $ a ^ xlna $ |
| $ lnx $ | $ (1) / (x) $ |
| $ log_ (a) x $ | $ (1) / (xlna) $ |
დიფერენციაციის ძირითადი წესები
1. ჯამის წარმოებული და სხვაობა უტოლდება თითოეული ტერმინის წარმოებულს
$ (f (x) ± g (x)) ′ = f ′ (x) ± g ′ (x) $
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული $ f (x) = 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $
ჯამისა და სხვაობის წარმოებული უდრის თითოეული ტერმინის წარმოებულს
$ f ′ (x) = (3x ^ 5) - (cosx) ′ + ((1) / (x)) "= 15x ^ 4 + sinx- (1) / (x ^ 2) $
2. ნაწარმოების წარმოებული.
$ (f (x) ∙ g (x)) f = f ′ (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) ′ $
იპოვეთ წარმოებული $ f (x) = 4x ∙ cosx $
$ f ′ (x) = (4x) ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) ′ = 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $
3. კოეფიციენტის წარმოებული
$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $
იპოვეთ წარმოებული $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $
$ f "(x) = ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ ე ^ x) / ((ე ^ x) ^ 2) $
4. რთული ფუნქციის წარმოებული უდრის გარე ფუნქციის წარმოებულის პროდუქტს შიდა ფუნქციის წარმოებულით
$ f (g (x)) ′ = f ′ (g (x)) ∙ g ′ (x) $
$ f ′ (x) = cos ′ (5x) ∙ (5x) ′ = - ცოდვა (5x) ∙ 5 = -5sin (5x) $
იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი $ y = 2x-ln (x + 11) + 4 $
1. ვიპოვოთ ODZ ფუნქცია: $ x + 11> 0; x> -11 $
2. იპოვეთ $ y ფუნქციის წარმოებული "= 2- (1) / (x + 11) = (2x + 22-1) / (x + 11) = (2x + 21) / (x + 11) $
3. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები წარმოებული ნულის ტოლფასი გზით
$ (2x + 21) / (x + 11) = 0 $
წილა არის ნული, თუ მრიცხველი არის ნული და მნიშვნელი არ არის ნული
$ 2x + 21 = 0; x ≠ -11 $
4. დახაზეთ საკოორდინატო ხაზი, განათავსეთ მასზე სტაციონარული წერტილები და დაადგინეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში. ამისათვის ჩვენ დერივატივით ვცვლით ნებისმიერ რიცხვს მარჯვენა რეგიონიდან, მაგალითად, ნულს.
$ y "(0) = (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) = (21) / (11)> 0 $
5. მინიმალურ წერტილში, წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, შესაბამისად, $ -10.5 $ წერტილი არის მინიმალური წერტილი.
პასუხი: $ -10.5 $
იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა $ y = 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ სეგმენტზე $ [-5; 1] $
1. იპოვეთ $ y function = 30x ^ 4-270x ^ 2 $ ფუნქციის წარმოებული
2. მოდით გავათანაბროთ წარმოებული ნულს და ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები
$ 30x ^ 4-270x ^ 2 = 0 $
ამოიღეთ საერთო ფაქტორი $ 30x ^ 2 $ ფრჩხილების გარეთ
$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) = 0 $
$ 30x ^ 2 (x-3) (x + 3) = 0 $
დააყენეთ თითოეული ფაქტორი ნულზე
$ x ^ 2 = 0; x-3 = 0; x + 3 = 0 $
$ x = 0; x = 3; x = -3 $
3. შეარჩიეთ სტაციონარული წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ სეგმენტს $ [- 5; 1] $
სტაციონარული ქულები $ x = 0 $ და $ x = -3 $ ჩვენთვის შესაფერისია
4. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ პუნქტებში 3 პუნქტიდან
და მისი გადასაჭრელად, თქვენ გჭირდებათ თემის მინიმალური ცოდნა. მომავალი სასწავლო წელი დასასრულს უახლოვდება, ყველას სურს შვებულებაში წასვლა და იმისათვის, რომ ეს მომენტი უფრო ახლოს მივიღო, მე მაშინვე საქმეს შევუდექი:
დავიწყოთ ტერიტორიით. მდგომარეობაში მითითებული ტერიტორია არის შეზღუდული დაიხურა თვითმფრინავის წერტილების ნაკრები. მაგალითად, სამკუთხედით შემოსაზღვრული წერტილების ნაკრები, მათ შორის მთელი სამკუთხედი (თუ აქედან საზღვრები"გაუშვით" მინიმუმ ერთი წერტილი, შემდეგ ტერიტორია შეწყვეტს დახურვას)... პრაქტიკაში, ასევე არის მართკუთხა, მრგვალი და ოდნავ უფრო რთული ფორმის უბნები. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მკაცრი განმარტებებია მოცემული შეზღუდვები, იზოლაცია, საზღვრები და ა., მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ ყველამ იცის ეს ცნებები ინტუიციურ დონეზე და ახლა მეტი არ არის საჭირო.
ჩვეულებრივ, ბრტყელი ფართობი აღინიშნება ასოებით და, როგორც წესი, იგი დადგენილია ანალიტიკურად - რამდენიმე განტოლებით (სულაც არ არის ხაზოვანი); ნაკლებად ხშირად უთანასწორობა. ტიპიური ბრუნვა: "დახურული ტერიტორია, შემოსაზღვრული ხაზებით".
განსახილველი ამოცანის განუყოფელი ნაწილია ნახაზში ტერიტორიის მშენებლობა. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია ყველა ჩამოთვლილი ხაზის დახაზვა (ამ შემთხვევაში 3 პირდაპირ) და გააანალიზეთ რა მოხდა. სასურველი ტერიტორია ჩვეულებრივ ოდნავ გამოჩეკილია და მისი საზღვარი ხაზგასმულია თამამი ხაზით: 
ერთი და იგივე ფართობის დადგენა შესაძლებელია და წრფივი უტოლობა:, რომლებიც რატომღაც უფრო ხშირად იწერება ჩამოთვლილი სიის სახით და არა სისტემა.
ვინაიდან საზღვარი ეკუთვნის რეგიონს, რა თქმა უნდა, ყველა უთანასწორობა სუსტი.
ახლა კი პრობლემის არსი. წარმოიდგინეთ ღერძი, რომელიც ვრცელდება წარმოშობიდან პირდაპირ თქვენსკენ. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი თითოეულშიტერიტორიის წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი წარმოადგენს ზოგიერთს ზედაპირზედა მცირე ბედნიერება იმაში მდგომარეობს იმაში, რომ დღევანდელი პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ არ გვჭირდება ვიცოდეთ როგორ გამოიყურება ეს ზედაპირი. ის შეიძლება განთავსდეს უფრო მაღლა, დაბლა, გადაკვეთოს სიბრტყე - ეს ყველაფერი არ არის მნიშვნელოვანი. და მნიშვნელოვანია შემდეგი: შესაბამისად ვაიერსტრასის თეორემები, უწყვეტი v შეზღუდული დახურულიფართობი, ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს (უმაღლესი")და ყველაზე პატარა (ყველაზე დაბალი")ღირებულებები, რომელთა პოვნა გსურთ. ასეთი ღირებულებები მიღწეულია ან v სტაციონარული წერტილები, ეკუთვნის რეგიონსდ , ანიმ ადგილებზე, რომლებიც ამ ტერიტორიის საზღვარზეა. აქედან გამომდინარეობს მარტივი და გამჭვირვალე გადაწყვეტის ალგორითმი:
მაგალითი 1
შეზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე
გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოსახოთ ტერიტორია ნახატზე. სამწუხაროდ, ჩემთვის ტექნიკურად რთულია პრობლემის ინტერაქტიული მოდელის შექმნა და, შესაბამისად, მე დაუყოვნებლივ გავაკეთებ საბოლოო ილუსტრაციას, რომელიც აჩვენებს კვლევის დროს აღმოჩენილ ყველა "საეჭვო" პუნქტს. როგორც წესი, ისინი მიმაგრებულია ერთმანეთის მიყოლებით, როგორც გვხვდება: 
პრეამბულაზე დაყრდნობით, მოსახერხებელია გადაწყვეტილების გაყოფა ორ პუნქტად:
ი) სტაციონარული წერტილების პოვნა. ეს არის სტანდარტული მოქმედება, რომელიც ჩვენ არაერთხელ განვახორციელეთ გაკვეთილზე. რამდენიმე ცვლადის ექსტრემა:
ნაპოვნია სტაციონარული წერტილი ეკუთვნისსფეროები: (მონიშნეთ იგი ნახატზე)რაც ნიშნავს რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში:
- როგორც სტატიაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, მე გამოვყოფ მნიშვნელოვან შედეგებს თამამად. მოსახერხებელია მათი რვეულში ფანქრით მოხაზვა.
მიაქციეთ ყურადღება ჩვენს მეორე ბედნიერებას - შემოწმებას აზრი არ აქვს საკმარისი მდგომარეობა ექსტრემისთვის... რატომ? თუნდაც იმ მომენტში, როდესაც ფუნქცია აღწევს, მაგალითად, ადგილობრივი მინიმუმი, მაშინ ის ჯერ კიდევ არ ნიშნავს იმას, რომ მიღებული მნიშვნელობა იქნება მინიმალურიმთელს რეგიონში (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი უპირობო ექსტრემის შესახებ) .
რა მოხდება, თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას? Თითქმის არაფერი! ეს უნდა აღინიშნოს და გადადით შემდეგ პუნქტზე.
II) შეისწავლეთ რეგიონის საზღვარი.
ვინაიდან საზღვარი შედგება სამკუთხედის გვერდებისგან, მოსახერხებელია კვლევის დაყოფა 3 ქვეგანყოფილებად. მაგრამ უმჯობესია არ გააკეთო ეს არანაირად. ჩემი გადმოსახედიდან, თავდაპირველად უფრო მომგებიანია განვიხილოთ სეგმენტები კოორდინირებული ღერძების პარალელურად, და უპირველეს ყოვლისა - ის, რაც თავად ცულებზე დევს. მოქმედებების მთელი რიგითობის და ლოგიკის გასაგებად, შეეცადეთ შეისწავლოთ დასასრული "ერთი ნაბიჯით":
1) განვიხილოთ სამკუთხედის ქვედა მხარე. ამისათვის ჩვენ პირდაპირ ვცვლით ფუნქციას:
გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ ის ასე: 
გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ საკოორდინატო სიბრტყე (რაც ასევე მოცემულია განტოლებით)"ამოკვეთა" გარეთ ზედაპირზე"სივრცითი" პარაბოლა, რომლის წვეროც მაშინვე ეჭვის ქვეშ დგება. მოდით გავარკვიოთ სად არის ის:
- მიღებული მნიშვნელობა "დაარტყა" არეალს და შეიძლება ის იყოს ზუსტად იმ წერტილში (ნიშანი ნახატზე)ფუნქცია აღწევს უმაღლეს ან ყველაზე დაბალ მნიშვნელობას მთელ არეალში. ასეა თუ ისე, ჩვენ ვატარებთ გამოთვლებს:
სხვა "კანდიდატები", რა თქმა უნდა, სეგმენტის ბოლოები არიან. ჩვენ გამოვთვლით ფუნქციის მნიშვნელობებს წერტილებში 
(ნიშანი ნახატზე):
სხვათა შორის, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ სიტყვიერი მინი შემოწმება "გაშიშვლებული" ვერსიის გამოყენებით: 
2) სამკუთხედის მარჯვენა მხარის შესასწავლად, ჩვენ ვცვლით მას ფუნქციაში და "დავალაგებთ ნივთებს იქ":
აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ შევასრულებთ უხეშ შემოწმებას, "გავრეკავთ" სეგმენტის უკვე დამუშავებულ დასასრულს:
, სრულყოფილი.
გეომეტრიული მდგომარეობა დაკავშირებულია წინა პუნქტთან:
- მიღებული მნიშვნელობა ასევე "შედის ჩვენი ინტერესების სფეროში", რაც იმას ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ რისი ტოლია ფუნქცია იმ მომენტში, რომელიც გამოჩნდება:
განვიხილოთ სეგმენტის მეორე დასასრული:
ფუნქციის გამოყენება 
, მოდით შევამოწმოთ: 
3) ალბათ ყველამ იცის როგორ შეისწავლოს დარჩენილი მხარე. ჩვენ ვცვლით ფუნქციას და ვასრულებთ გამარტივებებს:
სეგმენტი მთავრდება 
უკვე შესწავლილია, მაგრამ ნახაზზე ჩვენ მაინც ვამოწმებთ სწორად ვიპოვეთ თუ არა ფუნქცია 
:
- დაემთხვა 1 ქვეპუნქტის შედეგს;
- დაემთხვა მე -2 ქვეპუნქტის შედეგს.
ეს რჩება იმის გასარკვევად, არის თუ არა რაიმე საინტერესო სეგმენტის შიგნით:
- იქ არის! განტოლებაში სწორი ხაზის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ამ "საინტერესოობის" ორდინატს:
ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს ნახატზე და ვიპოვით ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობას:
ჩვენ შევამოწმებთ გამოთვლებს "ბიუჯეტის" ვერსიის მიხედვით 
:
, შეკვეთა.
და ბოლო ნაბიჯი: ყურადღებით დავათვალიერებთ ყველა "მსუქან" რიცხვს, გირჩევთ დამწყებებმა ერთი სიაც კი შეადგინონ: 
საიდანაც ჩვენ ვირჩევთ ყველაზე დიდ და უმცირეს მნიშვნელობებს. პასუხიჩვენ ვწერთ მოძიების პრობლემის სტილისტიკაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:
ყოველი შემთხვევისთვის, მე კიდევ ერთხელ გავაკეთებ კომენტარს შედეგის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე:
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე მაღალი წერტილი ამ მხარეში;
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე დაბალი წერტილი ამ მხარეში.
გაანალიზებულ პრობლემაში ჩვენ გამოვყავით 7 "საეჭვო" წერტილი, მაგრამ მათი რიცხვი განსხვავდება პრობლემიდან პრობლემამდე. სამკუთხა ფართობისთვის მინიმალური "კვლევის ნაკრები" არის სამი ქულა. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ფუნქცია, მაგალითად, ადგენს თვითმფრინავი- სავსებით ნათელია, რომ არ არსებობს სტაციონარული წერტილები და ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს ყველაზე დიდ / უმცირეს მნიშვნელობებს მხოლოდ სამკუთხედის წვეროებზე. მაგრამ ბევრი ასეთი მაგალითია ერთხელ ან ორჯერ - ჩვეულებრივ თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ ზოგიერთს მე -2 რიგის ზედაპირი.
თუ თქვენ ცოტათი გადაჭრით ასეთ ამოცანებს, მაშინ თავი შეიძლება სამკუთხედებიდან შემოტრიალდეს და ამიტომ მე მოვამზადე თქვენთვის უჩვეულო მაგალითები, რომ ის კვადრატული გახადოთ :))
მაგალითი 2
იპოვნეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი ფუნქციური მნიშვნელობები 
დახურულ ზოლში შემოსაზღვრული ხაზებით
მაგალითი 3
იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ არეში.
განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ რეგიონის საზღვრის შესწავლის რაციონალურ წესრიგს და ტექნიკას, ასევე შუალედური შემოწმების ჯაჭვს, რომელიც თითქმის მთლიანად აიცილებს გამოთვლილ შეცდომებს. საერთოდ, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ის, როგორც მოგწონთ, მაგრამ ზოგიერთ პრობლემას, მაგალითად, იმავე მაგალითში 2, არის ყველა შანსი, რომ მნიშვნელოვნად გაართულოს თქვენი ცხოვრება. გაკვეთილის ბოლოს დავალებების დასრულების სავარაუდო მაგალითი.
მოდით გავაანალიზოთ გამოსავლის ალგორითმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ობობის ჩემი მონდომებით, რატომღაც დაიკარგა პირველი მაგალითის კომენტარების გრძელი ძაფში:
- პირველ ეტაპზე ჩვენ ვაშენებთ ტერიტორიას, სასურველია მისი დაჩრდილვა და საზღვრის ხაზგასმა თამამი ხაზით. გამოსავლის მსვლელობისას გამოჩნდება პუნქტები, რომლებიც უნდა განთავსდეს ნახატზე.
- იპოვეთ სტაციონარული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ მათშირომლებიც მიეკუთვნებიან ტერიტორიას. ჩვენ ვირჩევთ მიღებულ მნიშვნელობებს ტექსტში (მაგალითად, ჩვენ გამოვყოფთ მათ ფანქრით). თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის რეგიონს, მაშინ ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ფაქტს ხატით ან სიტყვიერად. თუ საერთოდ არ არის სტაციონარული წერტილები, მაშინ ჩვენ ვაკეთებთ წერილობით დასკვნას, რომ ისინი არ არსებობს. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ ნივთის გამოტოვება შეუძლებელია!
- განვიხილოთ ტერიტორიის საზღვარი. პირველ რიგში, მომგებიანია გაუმკლავდეთ სწორ ხაზებს, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (თუ რომელიმე)... ჩვენ ასევე გამოვყოფთ "საეჭვო" წერტილებში გამოთვლილი ფუნქციის მნიშვნელობებს. ბევრი რამ ითქვა ზემოთ ხსნარის ტექნიკის შესახებ და სხვა რამ იქნება ნათქვამი ქვემოთ - წაიკითხეთ, ხელახლა წაიკითხეთ, ჩაეძიეთ!
- არჩეული რიცხვებიდან შეარჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები და მიეცით პასუხი. ზოგჯერ ხდება ისე, რომ ფუნქცია აღწევს ასეთ მნიშვნელობებს ერთდროულად რამდენიმე წერტილში - ამ შემთხვევაში, ყველა ეს წერტილი უნდა აისახოს პასუხში. დაე, მაგალითად, 
და აღმოჩნდა, რომ ეს არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ამას
ბოლო მაგალითები ეძღვნება სხვა სასარგებლო იდეებს, რომლებიც გამოსადეგი იქნება პრაქტიკაში:
მაგალითი 4
იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ არეში 
.
მე შევინარჩუნე ავტორის ფორმულა, რომელშიც რეგიონი მოცემულია ორმაგი უთანასწორობის სახით. ეს მდგომარეობა შეიძლება დაიწეროს ეკვივალენტური სისტემით ან ამ პრობლემის უფრო ტრადიციული ფორმით: 
მას შემდეგ შეგახსენებთ არაწრფივიუთანასწორობა, რომელსაც ჩვენ შევხვდით და თუ თქვენ არ გესმით აღნიშვნის გეომეტრიული მნიშვნელობა, მაშინ გთხოვთ ნუ გადადებთ და განმარტავთ სიტუაციას ახლავე ;-)
გამოსავალიროგორც ყოველთვის, ის იწყება ტერიტორიის მშენებლობით, რომელიც არის ერთგვარი "ერთადერთი": 
ჰმ, ხანდახან უნდა გაანებივრო არა მხოლოდ მეცნიერების გრანიტი ...
I) იპოვეთ სტაციონარული წერტილები: 
სისტემის იდიოტის ოცნება :) 
სტაციონარული წერტილი ეკუთვნის რეგიონს, კერძოდ, მდებარეობს მის საზღვარზე.
ასე რომ, ეს არის, არაფერი ... გაკვეთილი მხიარულად წარიმართა - ეს რას ნიშნავს სწორი ჩაის დალევა =)
II) შეისწავლეთ რეგიონის საზღვარი. ყოველგვარი შეფერხების გარეშე, დავიწყოთ აბსცესიდან:
1) თუ, მაშინ
იპოვნეთ სად არის პარაბოლას მწვერვალი:
- დააფასეთ ასეთი მომენტები - "დაარტყით" ზუსტად იმ წერტილში, საიდანაც ყველაფერი უკვე ნათელია. მაგრამ ჩვენ მაინც არ გვავიწყდება შემოწმება: 
მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში: 
2) ჩვენ განვიხილავთ "ძირის" ქვედა ნაწილს "ერთ სხდომაზე" - ყოველგვარი კომპლექსის გარეშე, ჩვენ ვცვლით მას ფუნქციაში, უფრო მეტიც, ჩვენ დაინტერესებული ვიქნებით მხოლოდ სეგმენტით:
კონტროლი:
ეს უკვე აღორძინებას იწვევს მონოტონურ ტრასაზე ტრასაზე. მოდით ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:
ჩვენ ვხსნით კვადრატული განტოლება, ეს კიდევ გახსოვს? ... თუმცა, გახსოვდეთ, რა თქმა უნდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ არ წაიკითხავდით ამ სტრიქონებს =) თუ წინა ორ მაგალითში მოსახერხებელი იყო ათწილადების გამოთვლა (რაც, სხვათა შორის, იშვიათობაა), მაშინ ჩვეულებრივი ჩვეულებრივი ფრაქციები გველოდება აქ. ჩვენ ვიპოვით "x" ფესვებს და ვიყენებთ განტოლებას "კანდიდატის" პუნქტების შესაბამისი "თამაშის" კოორდინატების დასადგენად: 
მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი წერტილებში: 
თავად შეამოწმეთ ფუნქცია.
ახლა ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ მოგებულ თასებს და ვწერთ პასუხი:
ესენი არიან "კანდიდატები", ასე რომ "კანდიდატები"!
დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 5
იპოვნეთ ფუნქციის ყველაზე პატარა და უდიდესი მნიშვნელობები 
დახურულ ადგილას 
ჩანაწერი ტალღოვანი ბრეკეტებით ასე იკითხება: "წერტილების ნაკრები, ისეთი".
ზოგჯერ ისინი ასეთ მაგალითებში იყენებენ ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი, მაგრამ მისი გამოყენების რეალური საჭიროება ნაკლებად სავარაუდოა წარმოიშვას. მაგალითად, თუ ფუნქცია მოცემულია იმავე დომენში "de", მაშინ მასში ჩანაცვლების შემდეგ - სირთულეების წარმოშობით; უფრო მეტიც, ყველაფერი შედგენილია "ერთ სტრიქონში" (ნიშნებით) ზედა და ქვედა ნახევარწრეების ცალკე განხილვის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული შემთხვევები, როდესაც ლაგრანჟის ფუნქციის გარეშე (სადაც, მაგალითად, წრის იგივე განტოლება)ძნელია მართვა - რა ძნელია კარგი დასვენების გარეშე!
კარგია, რომ ყველამ გაიაროს სხდომა და გნახავთ მალე მომავალ სეზონში!
გადაწყვეტილებები და პასუხები:
მაგალითი 2: გამოსავალი: გამოსახეთ ტერიტორია ნახატზე:
მოდით ფუნქცია $ z = f (x, y) $ იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ზოგიერთ შეზღუდულ დახურულ დომენში $ D $. მიეცით მოცემულ ფუნქციას ამ რეგიონში პირველი რიგის სასრული ნაწილობრივი წარმოებულები (ალბათ, წერტილების სასრული რაოდენობის გარდა). მოცემულ დახურულ რეგიონში ორი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა მარტივი ალგორითმის სამი საფეხური.
ალგორითმი $ z = f (x, y) $ ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაში დახურულ დომენში $ D $.
- იპოვნეთ $ z = f (x, y) $ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის დომენს $ D $. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში.
- გამოიკვლიეთ $ z = f (x, y) $ ფუნქციის ქცევა დომენის საზღვარზე $ D $, შესაძლო მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების წერტილების პოვნა. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მიღებულ წერტილებში.
- წინა ორ პარაგრაფში მიღებული ფუნქციის მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და ყველაზე პატარა.
რა არის გარდამტეხი წერტილები? ჩვენება დამალვა
ქვეშ კრიტიკული წერტილებინიშნავს წერტილებს, სადაც ორივე პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული არის ნული (ანუ $ \ frac (\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი x) = 0 $ და $ \ frac (\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი y) = 0 $) ან მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს.
ხშირად ეწოდება ის წერტილები, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია სტაციონარული წერტილები... ამრიგად, სტაციონარული წერტილები არის კრიტიკული წერტილების ქვესიმრავლე.
მაგალითი # 1
იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ დახურულ რეგიონში, შემოსაზღვრული ხაზებით $ x = 3 $, $ y = 0 $ და $ y = x + 1 $.
ჩვენ მივყვებით ზემოაღნიშნულს, მაგრამ ჯერ გავუმკლავდებით მოცემული ფართობის ნახაზს, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ ასო $ D $. ჩვენ გვეძლევა სამი სწორი ხაზის განტოლებები, რომლებიც ზღუდავს ამ არეს. სწორი ხაზი $ x = 3 $ გადის წერტილში $ (3; 0) $ ორდინირებული ღერძის პარალელურად (Oy ღერძი). სწორი ხაზი $ y = 0 $ არის აბსცესის ღერძის განტოლება (ოქსი ღერძი). ისე, სწორი ხაზის შესაქმნელად $ y = x + 1 $, ჩვენ ვპოულობთ ორ წერტილს, რომლის მეშვეობითაც ჩვენ ვხატავთ ამ პირდაპირ ხაზს. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ რამდენიმე თვითნებური მნიშვნელობა $ x $ $ ნაცვლად. მაგალითად, $ x = 10 $ შემცვლელით ვიღებთ: $ y = x + 1 = 10 + 1 = 11 $. ჩვენ ვიპოვეთ წერტილი $ (10; 11) $, რომელიც მდებარეობს $ y = x + 1 $ ხაზზე. თუმცა, უმჯობესია იპოვოთ ის წერტილები, რომლებშიც სწორი ხაზი $ y = x + 1 $ კვეთს ხაზებს $ x = 3 $ და $ y = 0 $. რატომ არის უკეთესი? იმის გამო, რომ ჩვენ დავყრით რამდენიმე ფრინველს ერთი ქვით: ჩვენ მივიღებთ ორ წერტილს $ y = x + 1 $ ხაზის ასაგებად და ამავე დროს გავარკვევთ რა წერტილებში კვეთს ეს ხაზი სხვა ხაზებს, რომლებიც აკავშირებდა მოცემულს ფართობი. სწორი ხაზი $ y = x + 1 $ კვეთს სწორ ხაზს $ x = 3 $ წერტილში $ (3; 4) $ და სწორი ხაზი $ y = 0 $ - წერტილში $ ( - 1; 0) $. გადაწყვეტილების მსვლელობა დამხმარე ახსნა -განმარტებებით რომ არ იყოს გადატვირთული, ამ ორი პუნქტის მოპოვების საკითხს ჩავწერ შენიშვნაში.
როგორ იქნა მიღებული ქულები $ (3; 4) $ და $ (- 1; 0) $? ჩვენება დამალვა
დავიწყოთ $ y = x + 1 $ და $ x = 3 $ ხაზების გადაკვეთის წერტილიდან. სასურველი წერტილის კოორდინატები მიეკუთვნება პირველ და მეორე სწორ ხაზებს, ამიტომ, უცნობი კოორდინატების მოსაძებნად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ განტოლებათა სისტემა:
$ $ \ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & y = x + 1; \\ & x = 3. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $$
ამგვარი სისტემის გადაწყვეტა უმნიშვნელოა: $ x = 3 $ პირველ განტოლებაში ჩაანაცვლებს, გვექნება: $ y = 3 + 1 = 4 $. წერტილი $ (3; 4) $ არის $ y = x + 1 $ და $ x = 3 $ ხაზების სასურველი კვეთა.
ახლა ვიპოვოთ $ y = x + 1 $ და $ y = 0 $ ხაზების გადაკვეთის წერტილი. მოდით კვლავ შევადგინოთ და გადავწყვიტოთ განტოლებათა სისტემა:
$$ \ მარცხენა \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & y = x + 1; \\ & y = 0. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $$
პირველი განტოლების შეცვლით $ y = 0 $, ვიღებთ: $ 0 = x + 1 $, $ x = -1 $. წერტილი $ (- 1; 0) $ არის $ y = x + 1 $ და $ y = 0 $ (აბსცესის ღერძი) ხაზების სასურველი კვეთა.
ყველაფერი მზად არის ნახატის შესაქმნელად, რომელიც ასე გამოიყურება:
შენიშვნის კითხვა აშკარად ჩანს, რადგან ყველაფერი ჩანს სურათზე. ამასთან, უნდა გვახსოვდეს, რომ ნახატი არ შეიძლება იყოს მტკიცებულება. ფიგურა მხოლოდ ილუსტრაციაა სიცხადისთვის.
ჩვენი ტერიტორია განისაზღვრა იმ ხაზების განტოლების გამოყენებით, რომლებიც მას ზღუდავდა. ცხადია, ეს ხაზები განსაზღვრავს სამკუთხედს, არა? ან მთლად ცხადი არაა? ან იქნებ ჩვენ გვეძლევა განსხვავებული ფართობი, შემოსაზღვრული ერთი და იგივე სწორი ხაზებით:
რა თქმა უნდა, პირობა ამბობს, რომ რეგიონი დახურულია, ამიტომ ნაჩვენები ფიგურა არასწორია. მაგრამ ასეთი ორაზროვნების თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია განვსაზღვროთ უთანასწორობის მქონე რეგიონები. ჩვენ გვაინტერესებს თვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ხაზის ქვეშ $ y = x + 1 $? კარგი, ასე რომ $ y ≤ x + 1 $. ჩვენი ტერიტორია უნდა იყოს განლაგებული ხაზის ზემოთ $ y = 0 $? მშვენიერია, ასე რომ $ y ≥ 0 $. სხვათა შორის, ბოლო ორი უტოლობა შეიძლება ადვილად გაერთიანდეს ერთში: $ 0 ≤ y ≤ x + 1 $.
$$ \ მარცხენა \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ y ≤ x + 1; \\ & x ≤ 3. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $$
ეს უთანასწორობა განსაზღვრავს დომენს $ D $ და ისინი განსაზღვრავენ მას ცალსახად, ყოველგვარი გაურკვევლობის გარეშე. მაგრამ როგორ გვეხმარება ეს შენიშვნის დასაწყისში მითითებულ კითხვაში? ის ასევე დაგვეხმარება :) ჩვენ უნდა შევამოწმოთ არის თუ არა წერტილი $ M_1 (1; 1) $ იმ ტერიტორიას $ D $. ჩაანაცვლეთ $ x = 1 $ და $ y = 1 $ უთანასწორობის სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ამ დომენს. თუ ორივე უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ წერტილი მდგომარეობს რეგიონის შიგნით. თუ ერთი უთანასწორობა მაინც ჩავარდება, მაშინ რეგიონის წერტილი არ ეკუთვნის. Ისე:
$$ \ მარცხენა \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1; \\ & 1 ≤ 3. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. \; \; \ მარცხენა \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 2; \\ & 1 ≤ 3. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $ $
ორივე უტოლობა ძალაშია. წერტილი $ M_1 (1; 1) $ ეკუთვნის $ D $ ტერიტორიას.
ახლა მოვიდა რიგის შესწავლა ფუნქციის ქცევა რეგიონის საზღვარზე, ე.ი. წადი. დავიწყოთ ხაზით $ y = 0 $.
სწორი ხაზი $ y = 0 $ (აბსცესის ღერძი) ზღუდავს ფართობს $ D $ პირობით $ -1 ≤ x ≤ 3 $. შეცვალეთ $ y = 0 $ მოცემულ ფუნქციაში $ z (x, y) = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. ჩანაცვლების შედეგად მიღებული ერთი ცვლადი $ x $ ფუნქცია აღინიშნება $ f_1 (x) $:
$$ f_1 (x) = z (x, 0) = x ^ 2 + 2x \ cdot 0-0 ^ 2-4x = x ^ 2-4x. $ $
ახლა ფუნქციისთვის $ f_1 (x) $ თქვენ უნდა იპოვოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე $ -1 ≤ x ≤ 3 $. მოდით ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გავათანაბროთ მას ნულთან:
$$ f_ (1) ^ (") (x) = 2x-4; \\ 2x-4 = 0; \; x = 2. $$
ღირებულება $ x = 2 $ ეკუთვნის სეგმენტს $ -1 ≤ x ≤ 3 $, ასე რომ დაამატეთ $ M_2 (2; 0) $ ქულების სიას. გარდა ამისა, ჩვენ ვიანგარიშებთ $ z $ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში $ -1 ≤ x ≤ 3 $, ე.ი. $ M_3 (-1; 0) $ და $ M_4 (3; 0) $ წერტილებში. სხვათა შორის, თუ წერტილი $ M_2 $ არ მიეკუთვნებოდა განსახილველ სეგმენტს, მაშინ, რა თქმა უნდა, არ იქნებოდა საჭირო მასში $ z $ ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა.
მოდით, გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები $ z $ წერტილებში $ M_2 $, $ M_3 $, $ M_4 $. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ ამ წერტილების კოორდინატები თავდაპირველ გამოთქმაში $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. მაგალითად, წერტილისთვის $ M_2 $ ვიღებთ:
$$ z_2 = z (M_2) = 2 ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot 0-0 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4. $$
თუმცა, გამოთვლები შეიძლება ოდნავ გამარტივდეს. ამისათვის უნდა გვახსოვდეს, რომ სეგმენტზე $ M_3M_4 $ გვაქვს $ z (x, y) = f_1 (x) $. დეტალურად დავწერ:
\ დაწყება (გასწორება) & z_2 = z (M_2) = z (2,0) = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \\ & z_3 = z (M_3) = z (- 1,0) = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \\ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. \ დასასრული (გასწორებული)
რა თქმა უნდა, ჩვეულებრივ არ არის საჭირო ასეთი დეტალური ჩანაწერები და მომავალში ჩვენ დავწერთ ყველა გამოთვლას უფრო მოკლედ:
$$ z_2 = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \; z_3 = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \; z_4 = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. $ $
ახლა მოდით მივმართოთ ხაზს $ x = 3 $. ეს ხაზი ზღუდავს რეგიონს $ D $ პირობით $ 0 ≤ y ≤ 4 $. შეცვალეთ $ x = 3 $ მოცემულ ფუნქციაში $ z $. ამ ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ ფუნქციას $ f_2 (y) $:
$$ f_2 (y) = z (3, y) = 3 ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot y-y ^ 2-4 \ cdot 3 = -y ^ 2 + 6y-3. $ $
$ F_2 (y) $ ფუნქციისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე $ 0 ≤ y ≤ 4 $. მოდით ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გავათანაბროთ მას ნულთან:
$$ f_ (2) ^ (") (y) = - 2y + 6; \\ -2y + 6 = 0; \; y = 3. $ $
მნიშვნელობა $ y = 3 $ ეკუთვნის სეგმენტს $ 0 ≤ y ≤ 4 $, ასე რომ დაამატეთ $ M_5 (3; 3) $ ადრე ნაპოვნი ქულებისთვის. გარდა ამისა, აუცილებელია გამოვთვალოთ $ z $ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში $ 0 ≤ y ≤ 4 $, ე.ი. წერტილებში $ M_4 (3; 0) $ და $ M_6 (3; 4) $. $ M_4 (3; 0) $ წერტილში, ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ $ z $. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის ღირებულება $ z $ წერტილებში $ M_5 $ და $ M_6 $. შეგახსენებთ, რომ სეგმენტზე $ M_4M_6 $ გვაქვს $ z (x, y) = f_2 (y) $, შესაბამისად:
\ დაწყება (გასწორება) & z_5 = f_2 (3) = - 3 ^ 2 + 6 \ cdot 3-3 = 6; & z_6 = f_2 (4) = - 4 ^ 2 + 6 \ cdot 4-3 = 5. \ დასასრული (გასწორებული)
და ბოლოს, განიხილეთ დომენის ბოლო საზღვარი $ D $, ე.ი. სწორი ხაზი $ y = x + 1 $. ეს ხაზი ზღუდავს ტერიტორიას $ D $ პირობით $ -1 ≤ x ≤ 3 $. $ Y = x + 1 $ ფუნქციის ჩანაცვლება $ z $, ჩვენ გვექნება:
$$ f_3 (x) = z (x, x + 1) = x ^ 2 + 2x \ cdot (x + 1)-(x + 1) ^ 2-4x = 2x ^ 2-4x-1 $ $
ისევ მივიღეთ ერთი ცვლადის ფუნქცია $ x $. და ისევ თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე $ -1 ≤ x ≤ 3 $. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული $ f_ (3) (x) $ და გაათანაბრეთ იგი ნულის ტოლფასი:
$$ f_ (3) ^ (") (x) = 4x-4; \\ 4x-4 = 0; \; x = 1. $$
მნიშვნელობა $ x = 1 $ ეკუთვნის სეგმენტს $ -1 ≤ x ≤ 3 $. თუ $ x = 1 $, მაშინ $ y = x + 1 = 2 $. მოდით დავამატოთ $ M_7 (1; 2) $ ქულების სიას და გავარკვიოთ, თუ რას უტოლდება $ z $ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე. ქულები სეგმენტის ბოლოებში $ -1 ≤ x ≤ 3 $, ე.ი. ქულები $ M_3 (-1; 0) $ და $ M_6 (3; 4) $, ადრე განვიხილეთ, ჩვენ უკვე ვიპოვნეთ მათში ფუნქციის მნიშვნელობა.
$$ z_7 = f_3 (1) = 2 \ cdot 1 ^ 2-4 \ cdot 1-1 = -3. $$
გამოსავლის მეორე ეტაპი დასრულდა. ჩვენ მივიღეთ შვიდი მნიშვნელობა:
$$ z_1 = -2; \; z_2 = -4; \; z_3 = 5; \; z_4 = -3; \; z_5 = 6; \; z_6 = 5; \; z_7 = -3. $$
მივმართოთ. მესამე პარაგრაფში მიღებული რიცხვებისგან ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას გვექნება:
$$ z_ (წთ) = - 4; \; z_ (max) = 6. $ $
პრობლემა მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.
პასუხი: $ z_ (წთ) = - 4; \; z_ (max) = 6 $.
მაგალითი No2
იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ რეგიონში $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $.
მოდით შევქმნათ გეგმა ჯერ. განტოლება $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ (ეს არის მოცემული ფართობის სასაზღვრო ხაზი) განსაზღვრავს წრეს, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე (ანუ $ (0; 0) $) წერტილში და რადიუსში 5. უტოლობისთვის $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ დააკმაყოფილეთ ყველა წერტილი აღნიშნულ წრეში და შიგნით.
ჩვენ ვიმოქმედებთ იმის მიხედვით. მოდით ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გავარკვიოთ კრიტიკული წერტილები.
$$ \ frac (\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი x) = 2x-12; \ frac (\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი y) = 2y + 16. $ $
არ არსებობს პუნქტები, სადაც ნაპოვნი ნაწილობრივი წარმოებულები არ არსებობს. მოდით გავარკვიოთ რა წერტილებშია ორივე ნაწილობრივი წარმოებული ერთდროულად ნულის ტოლი, ე.ი. სტაციონარული წერტილების პოვნა.
$$ \ მარცხენა \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & 2x-12 = 0; \\ & 2y + 16 = 0. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. \; \; \ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორებული) & x = 6; \\ & y = -8. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $ $
ჩვენ მივიღეთ სტაციონარული წერტილი $ (6; -8) $. თუმცა, ნაპოვნი წერტილი არ ეკუთვნის რეგიონს $ D $. ამის ჩვენება ადვილია ნახატის დახატვის გარეშეც კი. მოდით შევამოწმოთ, არის თუ არა უთანასწორობა $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $, რაც განსაზღვრავს ჩვენს დომენს $ D $. თუ $ x = 6 $, $ y = -8 $, მაშინ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 36 + 64 = 100 $, ე.ი. უტოლობა $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ არ დაკმაყოფილებულია. დასკვნა: წერტილი $ (6; -8) $ არ მიეკუთვნება $ D $ არეალს.
ამრიგად, რეგიონში არ არის კრიტიკული წერტილები $ D $. გადადის ,კენ. ჩვენ უნდა გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა მოცემული ტერიტორიის საზღვარზე, ე.ი. წრეზე $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოხატოთ $ y $ $ x $, და შემდეგ ჩაანაცვლოთ მიღებული გამოთქმა ჩვენს $ z $ ფუნქციაში. წრის განტოლებიდან ვიღებთ: $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ ან $ y =-\ sqrt (25-x ^ 2) $. მაგალითად, $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ შემცვლელი მოცემულ ფუნქციაში, ჩვენ გვექნება:
$$ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y = x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) = 25-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2); \; \; -5≤ x ≤ 5. $ $
შემდგომი გადაწყვეტა სრულიად იდენტური იქნება რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლა წინა მაგალითში # 1. თუმცა, მე უფრო გონივრულად მეჩვენება ამ სიტუაციაში ლაგრანჟის მეთოდის გამოყენება. ჩვენ დაგვაინტერესებს მხოლოდ ამ მეთოდის პირველი ნაწილი. ლაგრანჟის მეთოდის პირველი ნაწილის გამოყენების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ იმ წერტილებს, რომლითაც ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას $ z $ მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისთვის.
ჩვენ ვადგენთ ლაგრანჟის ფუნქციას:
$$ F = z (x, y) + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $ $
ჩვენ ვიპოვით ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვადგენთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:
$$ F_ (x) ^ (") = 2x-12 + 2 \ lambda x; \; \; F_ (y) ^ (") = 2y + 16 + 2 \ lambda y. \\ \ მარცხნივ \ (\ დაწყება (გასწორებული) & 2x-12 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 2y + 16 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 = 0. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. \; \; \ მარცხნივ \ (\ იწყება (გასწორებულია) & x + \ lambda x = 6; \\ & y + \ lambda y = -8; \\ & x ^ 2 + y ^ 2 = 25. \ დასასრული (გასწორებული) \ მარჯვნივ. $ $
ამ სისტემის გადასაჭრელად, მაშინვე მივუთითოთ, რომ $ \ lambda \ neq -1 $. რატომ $ \ lambda \ neq -1 $? შევეცადოთ შევცვალოთ $ \ lambda = -1 $ პირველ განტოლებაში:
$$ x + (- 1) \ cdot x = 6; \; x-x = 6; \; 0 = 6. $ $
შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა $ 0 = 6 $ მიუთითებს, რომ მნიშვნელობა $ \ lambda = -1 $ არასწორია. გამომავალი: $ \ lambda \ neq -1 $. მოდით გამოვხატოთ $ x $ და $ y $ $ \ lambda $:
\ დაწყება (გასწორება) & x + \ lambda x = 6; \; x (1+ \ lambda) = 6; \; x = \ frac (6) (1+ \ lambda). \\ & y + \ lambda y = -8; \; y (1+ \ lambda) = - 8; \; y = \ frac (-8) (1+ \ lambda). \ დასასრული (გასწორებული)
მე მჯერა, რომ აქ ცხადი ხდება, თუ რატომ დავაყენეთ პირობა $ \ lambda \ neq -1 $. ეს გაკეთდა იმისათვის, რომ შეუფერხებლად მოათავსოთ გამოთქმა $ 1 + \ lambda $ მნიშვნელებში. ანუ, დარწმუნებული უნდა იყოს, რომ მნიშვნელი არის $ 1 + \ lambda \ neq 0 $.
ჩაანაცვლეთ მიღებული გამონათქვამები $ x $ და $ y $ სისტემის მესამე განტოლებაში, ე.ი. $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $:
$$ \ left (\ frac (6) (1+ \ lambda) \ right) ^ 2+ \ left (\ frac (-8) (1+ \ lambda) \ right) ^ 2 = 25; \\ \ frac ( 36) ((1+ \ lambda) ^ 2)+ \ frac (64) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25; \\ \ frac (100) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25 ; \; (1+ \ ლამბდა) ^ 2 = 4. $ $
მიღებული თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ $ 1 + \ lambda = 2 $ ან $ 1 + \ lambda = -2 $. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს $ \ lambda $ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა, კერძოდ: $ \ lambda_1 = 1 $, $ \ lambda_2 = -3 $. შესაბამისად, ჩვენ ვიღებთ ორ წყვილ მნიშვნელობას $ x $ და $ y $:
\ დაწყება (გასწორება) & x_1 = \ frac (6) (1+ \ lambda_1) = \ frac (6) (2) = 3; \; y_1 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_1) = \ frac (-8) (2) =-4. \\ & x_2 = \ frac (6) (1+ \ lambda_2) = \ frac (6) ( - 2) = - 3; \; y_2 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_2) = \ frac (-8) (-2) = 4. \ დასასრული (გასწორებული)
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ პირობითი ექსტრემის ორი წერტილი, ე.ი. $ M_1 (3; -4) $ და $ M_2 (-3; 4) $. იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები $ z $ წერტილებში $ M_1 $ და $ M_2 $:
\ დაწყება (გასწორება) & z_1 = z (M_1) = 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \ cdot 3 + 16 \ cdot (-4) =- 75; \\ & z_2 = z (M_2) = (-3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) +16 \ cdot 4 = 125. \ დასასრული (გასწორებული)
თქვენ უნდა აირჩიოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები იმათგან, რაც ჩვენ მივიღეთ პირველ და მეორე ნაბიჯებში. მაგრამ ამ შემთხვევაში არჩევანი მცირეა :) ჩვენ გვაქვს:
$$ z_ (წთ) = - 75; \; z_ (max) = 125. $ $
პასუხი: $ z_ (წთ) = - 75; \; z_ (max) = 125 $.
როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე?
Ამისთვის ჩვენ ვიცავთ ცნობილ ალგორითმს:
1 ... ჩვენ ვპოულობთ ODZ ფუნქციას.
2 ... იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
3 ... წარმოებული ნულის ტოლფასი
4 ... ჩვენ ვპოულობთ ინტერვალებს, რომლებშიც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს და მათგან ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებს:
თუ I ინტერვალში ფუნქციის წარმოებული 0 "title =" (! LANG: f ^ (prime) (x)> 0">, то функция !} იზრდება ამ ინტერვალში.
თუ ფუნქციის წარმოებული I ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალში.
5 ... Ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.
ვ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-".
ვ ფუნქციის მინიმალური წერტილიწარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე.
6 ... იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში,
- შემდეგ ჩვენ შევადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში და მაქსიმალურ წერტილებში და ავირჩიოთ მათგან ყველაზე დიდი თუ ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის პოვნა
- ან შევადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში და მინიმალურ წერტილებში და ავირჩიოთ მათგან ყველაზე პატარა, თუ ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა
თუმცა, იმისდა მიხედვით, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია სეგმენტზე, ეს ალგორითმი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს.
განვიხილოთ ფუნქცია 
... ამ ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:
მოდით განვიხილოთ ამოცანების ღია ბანკიდან პრობლემების გადაჭრის რამდენიმე მაგალითი
1 ამოცანა B15 (# 26695)
სეგმენტზე.
1. ფუნქცია განსაზღვრულია x– ის ყველა რეალური მნიშვნელობისათვის
ცხადია, ამ განტოლებებს არ აქვთ ამონახსნები და წარმოებული დადებითია x- ის ყველა მნიშვნელობისათვის. შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოში, ანუ x = 0 -ზე.
პასუხი: 5.
2 . ამოცანა B15 (# 26702)
იპოვეთ ყველაზე დიდი ფუნქციის მნიშვნელობა 
სეგმენტზე.
1. ODZ ფუნქციები სათაური = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
წარმოებული ნულის ტოლია, თუმცა, ამ წერტილებში ის არ ცვლის ნიშანს:
ამიტომ, სათაური = "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოს, ზე.
იმის გასაგებად, თუ რატომ არ ცვლის წარმოებული ნიშანი, ჩვენ წარმოსახვის წარმოსახვას ვცვლით შემდეგნაირად:
სათაური = "(! LANG: y ^ (პრემიერ) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}
პასუხი: 5.
3 ამოცანა B15 (# 26708)
იპოვნეთ ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა სეგმენტზე.
1. ODZ ფუნქცია: title = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
ჩვენ განვათავსებთ ამ განტოლების ფესვებს ტრიგონომეტრიულ წრეზე.
მათ შორის არის ორი რიცხვი: და
მოვათავსოთ ნიშნები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს x = 0 წერტილში: 
... წერტილების გავლისას და წარმოებული ცვლის ნიშანს.
მოდით წარმოვადგინოთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნების ცვლილება საკოორდინატო ხაზზე:
ცხადია, წერტილი არის მინიმალური წერტილი (მასში წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+") და სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა შეადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები მინიმალური წერტილი და სეგმენტის მარცხენა ბოლოს ,.
