სამკუთხედის ბისექტორი არის სეგმენტი, რომელიც ყოფს სამკუთხედის კუთხეს ორ თანაბარ კუთხედ. მაგალითად, თუ სამკუთხედის კუთხე არის 120 0, მაშინ ბისექტრის დავხატავთ, ავაშენებთ ორ კუთხეს 60 0 თითოეული.

და რადგან სამკუთხედში სამი კუთხეა, სამი ბისექტრის დახატვა შეიძლება. მათ ყველას აქვს ერთი ათვლის წერტილი. ეს წერტილი არის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი. სხვაგვარად, ამ გადაკვეთის წერტილს ეწოდება სამკუთხედის ცენტრი.

როდესაც შიდა და გარე კუთხის ორი ბისექტორი იკვეთება, მიიღება კუთხე 90 0. სამკუთხედის გარე კუთხე არის სამკუთხედის შიდა კუთხის მიმდებარე კუთხე.

ბრინჯი. 1. სამკუთხედი 3 ბისექტრით

ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს ორ ხაზოვან სეგმენტად, რომლებიც დაკავშირებულია გვერდებთან:

$$ (CL \ მეტი (LB)) = (AC \ მეტი (AB)) $$

ბისექტრის წერტილები კუთხის გვერდებიდან თანაბარი მანძილითაა დაშორებული, რაც ნიშნავს, რომ ისინი კუთხის გვერდებიდან ერთსა და იმავე მანძილზე არიან. ანუ, თუ ბისექტრის რომელიმე წერტილიდან პერპენდიკულარებს დავწევთ სამკუთხედის კუთხის თითოეულ მხარეს, მაშინ ეს პერპენდიკულარები ტოლი იქნება.

თუ მედიანას, ბისექტორს და სიმაღლეს დახაზავთ ერთი წვეროდან, მაშინ მედიანა იქნება ყველაზე გრძელი სეგმენტი, ხოლო სიმაღლე ყველაზე მოკლე.

ბისექტრის ზოგიერთი თვისება

სამკუთხედების გარკვეულ ტიპებში ბისექტორს აქვს განსაკუთრებული თვისებები. ეს პირველ რიგში ეხება ტოლფერდა სამკუთხედს. ამ ფიგურას აქვს ორი იდენტური მხარე, ხოლო მესამეს ეწოდება ბაზა.

თუ ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხის წვეროდან ფუძესთან ბისექტრი გავავლოთ, მაშინ მას ექნება როგორც სიმაღლის, ასევე მედიანას თვისებები. შესაბამისად, ბისექტრის სიგრძე ემთხვევა მედიანისა და სიმაღლის სიგრძეს.

განმარტებები:

• სიმაღლე- პერპენდიკულარი დაეცა სამკუთხედის მწვერვალიდან მოპირდაპირე მხარეს ..
• მედიანური- სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის ზედა მხარეს და მოპირდაპირე მხარის შუას.

ბრინჯი. 2. ბისექტორი ტოლფერდა სამკუთხედში

ეს ასევე ეხება ტოლგვერდა სამკუთხედს, ანუ სამკუთხედს, რომელშიც სამივე გვერდი ტოლია.

მაგალითი დავალება

სამკუთხედში ABC: BR არის ბისექტორი, სადაც AB = 6 სმ, BC = 4 სმ და RC = 2 სმ. გამოვაკლოთ მესამე გვერდის სიგრძე.

ბრინჯი. 3. ბისექტორი სამკუთხედში

გამოსავალი:

ბისექტორი ყოფს სამკუთხედის გვერდს კონკრეტული პროპორციით. გამოვიყენოთ ეს პროპორცია და გამოვხატოთ AR. შემდეგ ვიპოვით მესამე მხარის სიგრძეს, როგორც იმ მონაკვეთების ჯამს, რომლებშიც ეს გვერდი იყოფა ბისექტრით.

• $ (AB \ მეტი (BC)) = (AR \ მეტი (RC)) $
• $ RC = (6 \ მეტი (4)) * 2 = 3 სმ $

შემდეგ მთელი სეგმენტი AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 სმ.

სულ მიღებული შეფასებები: 107.

დღეს ძალიან მარტივი გაკვეთილი იქნება. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ ობიექტს - კუთხის ბისექტარს - და დავამტკიცებთ მის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებას, რომელიც მომავალში ძალიან გამოგვადგება.

უბრალოდ არ დაისვენოთ: ზოგჯერ მოსწავლეებს, რომლებსაც სურთ მიიღონ მაღალი ქულა იმავე OGE-ზე ან USE-ზე, პირველ გაკვეთილზე, ვერც კი ზუსტად ჩამოაყალიბებენ ბისექტრის განმარტებას.

და იმის მაგივრად, რომ შევასრულოთ მართლაც საინტერესო ამოცანები, ჩვენ ვკარგავთ დროს ასეთ მარტივ რაღაცეებზე. ამიტომ, წაიკითხეთ, ნახეთ - და გამოიყენეთ იგი. :)

დამწყებთათვის, ცოტა უცნაური კითხვა: რა არის კუთხე? ეს ასეა: კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი, რომელიც გამოდის ერთი და იმავე წერტილიდან. Მაგალითად:

კუთხეების მაგალითები: მკვეთრი, ბლაგვი და სწორი

როგორც სურათზე ხედავთ, კუთხეები შეიძლება იყოს მკვეთრი, ბლაგვი, სწორი - ახლა ამას არ აქვს მნიშვნელობა. ხშირად, მოხერხებულობისთვის, თითოეულ სხივზე აღინიშნება დამატებითი წერტილი და ამბობენ, რომ ჩვენ წინ გვაქვს კუთხე $ AOB $ (იწერება $ \ კუთხე AOB $).

აშკარაობის კაპიტანი, როგორც ჩანს, მიუთითებს იმაზე, რომ $ OA $ და $ OB $ სხივების გარდა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ დახატოთ სხივების თაიგული $ O $ წერტილიდან. მაგრამ მათ შორის იქნება ერთი განსაკუთრებული - სწორედ მას უწოდებენ ბისექტორს.

განმარტება. კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც გამოდის ამ კუთხის ზემოდან და ყოფს კუთხეს.

ზემოაღნიშნული კუთხისთვის ბისექტრები ასე გამოიყურება:

ბისექტორების მაგალითები მახვილი, ბლაგვი და მართი კუთხისთვის

ვინაიდან რეალურ ნახატებში ყოველთვის არ არის აშკარა, რომ გარკვეული სხივი (ჩვენს შემთხვევაში ეს არის $ OM $ სხივი) ყოფს საწყის კუთხეს ორ თანაბარ კუთხედ, გეომეტრიაში ჩვეულებრივია ტოლი კუთხის აღნიშვნა რკალების იგივე რაოდენობით. (ჩვენს ნახატში ეს არის 1 რკალი მწვავე კუთხისთვის, ორი ბლაგვისთვის, სამი პირდაპირი).

კარგი, ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება. ახლა თქვენ უნდა გესმოდეთ, რა თვისებები აქვს ბისექტორს.

კუთხის ბისექტრის მთავარი თვისება

სინამდვილეში, ბისექტორს აქვს მრავალი თვისება. და ჩვენ აუცილებლად გადავხედავთ მათ შემდეგ გაკვეთილზე. მაგრამ არის ერთი ხრიკი, რომელიც ახლავე უნდა გესმოდეთ:

თეორემა. კუთხის ბისექტრი არის მოცემული კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.

მათემატიკურიდან რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს ერთდროულად ორ ფაქტს:

1. ნებისმიერი წერტილი, რომელიც დევს გარკვეული კუთხის ბისექტორზე, იმავე მანძილზეა ამ კუთხის გვერდებიდან.
2. და პირიქით: თუ წერტილი დევს მოცემული კუთხის გვერდებიდან ერთსა და იმავე მანძილზე, მაშინ გარანტირებულია დაწოლა ამ კუთხის ბისექტორზე.

სანამ ამ დებულებებს დავამტკიცებთ, განვმარტოთ ერთი პუნქტი: რას ჰქვია, ფაქტობრივად, მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდამდე? აქ დაგვეხმარება წერტილიდან ხაზამდე მანძილის კარგი ძველმოდური განმარტება:

განმარტება. მანძილი წერტილიდან წრფემდე არის მოცემული წერტილიდან ამ წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარულის სიგრძე.

მაგალითად, განიხილეთ ხაზი $ l $ და წერტილი $ A $, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე. დახაზეთ პერპენდიკულარული $ AH $, სადაც $ H \ in l $. მაშინ ამ პერპენდიკულარის სიგრძე იქნება მანძილი $ A $ წერტილიდან $ l $ სწორ ხაზამდე.

წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გრაფიკული წარმოდგენა

ვინაიდან კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი და თითოეული სხივი არის სწორი ხაზის ნაჭერი, ადვილია დადგინდეს მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. ისინი მხოლოდ ორი პერპენდიკულარულია:

განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე

Სულ ეს არის! ახლა ჩვენ ვიცით რა არის მანძილი და რა არის ბისექტორი. მაშასადამე, ძირითადი ქონება შეიძლება დადასტურდეს.

როგორც დაგპირდით, მოდით დავყოთ მტკიცებულება ორ ნაწილად:

1. მანძილი ბისექტრის წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე ერთნაირია

განვიხილოთ თვითნებური კუთხე $ O $ წვერით და $ OM $ ბისექტრით:

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სწორედ ეს წერტილი $ M $ არის იმავე მანძილზე კუთხის გვერდებიდან.

მტკიცებულება. დახაზეთ პერპენდიკულარები $ M $ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. მოდით ვუწოდოთ მათ $ M ((H) _ (1)) $ და $ M ((H) _ (2)) $:

დახაზეთ პერპენდიკულარები კუთხის გვერდებზე

მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (1)) $ და $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (2)) $. მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა $ OM $ და თანაბარი კუთხეები:

1. $ \ კუთხე MO ((H) _ (1)) = \ კუთხე MO ((H) _ (2)) $ პირობით (რადგან $ OM $ არის ბისექტორი);
2. $ \ კუთხე M ((H) _ (1)) O = \ კუთხე M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ კონსტრუქციით;
3. $ \ კუთხე OM ((H) _ (1)) = \ კუთხე OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ კუთხე MO ((H) _ (1)) $, ვინაიდან ჯამი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეები ყოველთვის 90 გრადუსია.

შესაბამისად, სამკუთხედები თანაბარია გვერდით და ორი მიმდებარე კუთხით (იხ. სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები). ამიტომ, კერძოდ, $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, ე.ი. მანძილი $ O $ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე ნამდვილად ტოლია. Q.E.D. :)

2. თუ მანძილი ტოლია, მაშინ წერტილი დებს ბისექტორზე

ახლა სიტუაცია საპირისპიროა. მიეცით კუთხე $ O $ და წერტილი $ M $ თანაბარი მანძილით ამ კუთხის გვერდებიდან:

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სხივი $ OM $ არის ბისექტორი, ანუ $ \ კუთხე MO ((H) _ (1)) = \ კუთხე MO ((H) _ (2)) $.

მტკიცებულება. დასაწყისისთვის, მოდით დავხატოთ ეს სხივი $ OM $, წინააღმდეგ შემთხვევაში დასამტკიცებელი არაფერი იქნება:

გაატარა $ OM $ სხივი კუთხეში

ისევ მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (1)) $ და $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (2)) $. ისინი აშკარად თანაბარია, რადგან:

1. ჰიპოტენუზა $ OM $ - სულ;
2. ფეხები $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ პირობით (ბოლოს და ბოლოს, წერტილი $ M $ თანაბარი მანძილია კუთხის გვერდებიდან);
3. დარჩენილი ფეხებიც თანაბარია, რადგან პითაგორას თეორემით $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

მაშასადამე, სამკუთხედები $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (1)) $ და $ \ ოთხკუთხედი OM ((H) _ (2)) $ სამ მხარეს არიან. კერძოდ, მათი კუთხეები ტოლია: $ \ კუთხე MO ((H) _ (1)) = \ კუთხე MO ((H) _ (2)) $. და ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ $ OM $ არის ბისექტორი.

მტკიცებულების დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ შედეგად თანაბარ კუთხეებს წითელი რკალებით:

ბისექტორი გაყოფს $ \ კუთხე ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ ორ ტოლად

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ კუთხის ბისექტრი არის ამ კუთხის გვერდებისგან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ადგილი. :)

ახლა, როცა მეტ-ნაკლებად გადავწყვიტეთ ტერმინოლოგია, დროა გადავიდეთ ახალ დონეზე. შემდეგ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ბისექტრის უფრო რთულ თვისებებს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ ისინი რეალური ამოცანების გადასაჭრელად.

თეორემა. სამკუთხედის შიდა კუთხის ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად.

მტკიცებულება. განვიხილოთ სამკუთხედი ABC (სურ. 259) და მისი B კუთხის ბისექტორი. C წვეროზე დახაზეთ სწორი ხაზი CM, BK ბისექტრის პარალელურად, სანამ ის M წერტილში არ გადაიკვეთება AB გვერდის გაგრძელებასთან. ვინაიდან VK არის ABC კუთხის ბისექტორი, მაშინ. გარდა ამისა, როგორც შესაბამისი კუთხეები პარალელური ხაზებისთვის და როგორც გადაკვეთის კუთხეები პარალელური ხაზებისთვის. აქედან და მაშასადამე - ტოლფერდა, საიდანაც. კუთხის გვერდების გადაკვეთის პარალელურ წრფეებზე თეორემა გვაქვს და, იმის გათვალისწინებით, ვიღებთ, როგორც საჭიროა.

მსგავსი თვისება აქვს ABC სამკუთხედის B გარე კუთხის B კუთხის ბისექტორს (ნახ. 260): AL და CL სეგმენტები A და C წვეროებიდან AC გვერდის გაგრძელებასთან ბისექტრის გადაკვეთის L წერტილამდე არის. სამკუთხედის გვერდების პროპორციული:

ეს თვისება დასტურდება ისევე, როგორც წინა: ნახ. 260, დამხმარე ხაზი SM გაყვანილია BL ბისექტრის პარალელურად. მკითხველი დარწმუნდება BMC-ისა და BCM-ის კუთხეების, შესაბამისად, BM-ისა და BMC სამკუთხედის გვერდების ტოლობაში, რის შემდეგაც დაუყოვნებლივ მიიღება საჭირო პროპორცია.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გარე კუთხის ბისექტორი მოპირდაპირე მხარესაც ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად; საჭიროა მხოლოდ დათანხმება სეგმენტის „გარე დაყოფის“ დაშვებაზე.

წერტილი L, რომელიც მდებარეობს AC სეგმენტის გარეთ (მის გაგრძელებაზე), ყოფს მას გარედან თუ ასეა, სამკუთხედის კუთხის ბისექტრები (შიდა და გარე) ყოფენ მოპირდაპირე მხარეს (შიგნით და გარედან) პროპორციულ ნაწილებად. მიმდებარე მხარეები.

ამოცანა 1. ტრაპეციის გვერდებია 12 და 15, ფუძეები 24 და 16. იპოვეთ ტრაპეციის დიდი ფუძით წარმოქმნილი სამკუთხედის გვერდები და მისი გაშლილი გვერდითი გვერდები.

გამოსავალი. ნახ. 261 გვაქვს გვერდითი გვერდის გაგრძელებად მოქმედი სეგმენტის პროპორცია, საიდანაც ადვილად ვპოულობთ ანალოგიურად, ვადგენთ სამკუთხედის მეორე გვერდს.მესამე გვერდი ემთხვევა დიდ ფუძეს:.

ამოცანა 2. ტრაპეციის ფუძეებია 6 და 15. რა არის ფუძეების პარალელურად და გვერდების გამყოფი მონაკვეთის სიგრძე 1:2 თანაფარდობით, მცირე ფუძის ზემოდან დათვლა?

გამოსავალი. მივმართოთ ლეღვს. 262 აჩვენებს ტრაპეციას. პატარა ფუძის C წვეროზე გავავლოთ AB გვერდითი გვერდის პარალელურად წრფე, ტრაპეციიდან პარალელოგრამის ამოკვეთა. ვინაიდან, აქედან ვპოულობთ. ამიტომ მთელი უცნობი სეგმენტი KL ტოლია.გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად არ გვჭირდება ტრაპეციის გვერდითი მხარეების ცოდნა.

ამოცანა 3. ABC სამკუთხედის B შიდა კუთხის ბისექტრი ჭრის AC გვერდს სეგმენტებად A და C წვეროებიდან რა მანძილზე გადაკვეთს AC-ის გაფართოება B გარე კუთხის ბისექტრისს?

გამოსავალი. B კუთხის თითოეული ბისექტორი AC-ს ერთნაირი თანაფარდობით ყოფს, მაგრამ ერთს შიგნიდან და მეორეს გარედან. მოდით L აღვნიშნოთ AC გაგრძელებისა და B გარე კუთხის ბისექტრის გადაკვეთის წერტილი. ვინაიდან AK ჩვენ აღვნიშნავთ უცნობ მანძილს AL შემდეგში და გვექნება პროპორცია, რომლის ამოხსნა გვაძლევს სასურველ მანძილს.

ნახატი თავად გააკეთე.

Სავარჯიშოები

1. ტრაპეცია 8 და 18 ფუძით დაყოფილია სწორი ხაზებით, ფუძეების პარალელურად, თანაბარი სიგანის ექვს ზოლად. იპოვეთ ხაზის მონაკვეთების სიგრძეები, რომლებიც ყოფენ ტრაპეციას ზოლებად.

2. სამკუთხედის პერიმეტრია 32. A კუთხის ბისექტორი BC გვერდს ყოფს 5-ისა და 3-ის ტოლ ნაწილებად. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები.

3. ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძე უდრის a-ს, გვერდითი მხარე არის b. იპოვეთ ხაზის მონაკვეთის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს ფუძის კუთხეების ბისექტორების გადაკვეთის წერტილებს გვერდით გვერდებთან.

სამკუთხედი არის მრავალკუთხედი სამი გვერდით, ან დახურული პოლიწრიტი სამი რგოლით, ან ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სამი სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს სამ წერტილს, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე (იხ. სურ. 1).

სამკუთხედის ძირითადი ელემენტები abc

ტოპები - წერტილები A, B და C;

პარტიები - წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები a = BC, b = AC და c = AB;

კუთხეები - α, β, γ ჩამოყალიბებული სამი წყვილი გვერდით. კუთხეებს ხშირად მოიხსენიებენ ისევე, როგორც წვეროებს, ასოებით A, B და C.

სამკუთხედის გვერდებით წარმოქმნილ და მის შიგა არეში მდებარე კუთხეს შიდა კუთხე ეწოდება, მის მიმდებარე კუთხე კი სამკუთხედის მიმდებარე კუთხეა (2, გვ. 534).

სამკუთხედის სიმაღლეები, მედიანები, ბისექტრები და შუახაზები

სამკუთხედში ძირითადი ელემენტების გარდა, განიხილება სხვა სეგმენტები, რომლებსაც აქვთ საინტერესო თვისებები: სიმაღლეები, მედიანები, ბისექტრები და შუახაზები.

სიმაღლე

სამკუთხედის სიმაღლეები- ეს არის სამკუთხედის წვეროებიდან მოპირდაპირე მხარეს ჩამოშვებული პერპენდიკულარები.

სიმაღლის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1) დახაზეთ სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს (თუ სიმაღლე დახატულია მახვილი კუთხის ზემოდან ბლაგვ სამკუთხედში);

2) დახაზული სწორი ხაზის საპირისპიროდ მდებარე წვეროდან დახაზეთ სეგმენტი წერტილიდან ამ სწორ ხაზამდე და გააკეთეთ მასთან 90 გრადუსიანი კუთხე.

სიმაღლის გადაკვეთის წერტილი სამკუთხედის გვერდთან ეწოდება ბაზის სიმაღლე (იხ. სურ. 2).

სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები

მართკუთხა სამკუთხედში, მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე ყოფს მას ორ სამკუთხედად, ორიგინალური სამკუთხედის მსგავსი.

მახვილკუთხა სამკუთხედში მისი ორი სიმაღლე წყვეტს მისგან მსგავს სამკუთხედებს.

თუ სამკუთხედი მახვილკუთხაა, მაშინ სიმაღლეების ყველა ფუძე ეკუთვნის სამკუთხედის გვერდებს, ხოლო ბლაგვკუთხა სამკუთხედში გვერდების გაგრძელებაზე მოდის ორი სიმაღლე.

სამი სიმაღლე მახვილკუთხა სამკუთხედში იკვეთება ერთ წერტილში და ეს წერტილი ე.წ ორთოცენტრი სამკუთხედი.

მედიანური

მედიანები(ლათინური mediana-დან - "შუა") - ეს არის სამკუთხედის წვეროების მოპირდაპირე გვერდების შუა წერტილებთან დამაკავშირებელი სეგმენტები (იხ. სურ. 3).

მედიანას ასაგებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1) იპოვნეთ გვერდის შუა ნაწილი;

2) წერტილი, რომელიც არის სამკუთხედის გვერდის შუა, მოპირდაპირე წვეროსთან შეაერთეთ სეგმენტით.

სამკუთხედის შუალედების თვისებები

მედიანა ყოფს სამკუთხედს ორ თანაბარი ფართობის სამკუთხედად.

სამკუთხედის შუამავლები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ყოფს თითოეულ მათგანს თანაფარდობით 2: 1, წვეროდან დათვლა. ამ პუნქტს ე.წ გრავიტაციის ცენტრი სამკუთხედი.

მთელი სამკუთხედი თავისი შუალედებით იყოფა ექვს თანაბარ სამკუთხედად.

ბისექტორი

ბისექტორები(ლათ. bis - ორჯერ "და seko - ვჭრი) არის სამკუთხედში ჩასმული ხაზის სეგმენტები, რომლებიც ორად კვეთენ მის კუთხეებს (იხ. სურ. 4).

ბისექტორის ასაგებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1) ააგეთ სხივი, რომელიც გამოდის კუთხის მწვერვალიდან და ყოფს ორ თანაბარ ნაწილად (კუთხის ბისექტორი);

2) იპოვეთ სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის გადაკვეთის წერტილი მოპირდაპირე მხარესთან;

3) აირჩიეთ სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის წვეროს მოპირდაპირე მხარეს კვეთის წერტილთან.

სამკუთხედის ბისექტორების თვისებები

სამკუთხედის კუთხის ბისექტორი ყოფს მოპირდაპირე მხარეს ორი მიმდებარე გვერდის თანაფარდობის ტოლი თანაფარდობით.

სამკუთხედის შიდა კუთხეების ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება. ამ წერტილს ეძახიან ჩაწერილი წრის ცენტრს.

შიდა და გარე კუთხეების ბისექტრები პერპენდიკულარულია.

თუ სამკუთხედის გარე კუთხის ბისექტრი კვეთს მოპირდაპირე მხარის გაგრძელებას, მაშინ ADBD = ACBC.

სამკუთხედის ერთი შიდა და ორი გარე კუთხის ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება. ეს წერტილი არის ამ სამკუთხედის სამი წრედან ერთ-ერთის ცენტრი.

სამკუთხედის ორი შიდა და ერთი გარე კუთხის ბისექტრების ფუძეები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, თუ გარე კუთხის ბისექტრი არ არის სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარის პარალელურად.

თუ სამკუთხედის გარე კუთხეების ბისექტრები არ არის მოპირდაპირე გვერდების პარალელურად, მაშინ მათი ფუძეები ერთ სწორ ხაზზე დევს.

ინსტრუქციები

თუ მოცემული სამკუთხედი არის ტოლფერდა ან რეგულარული, ანუ აქვს
ორი ან სამი გვერდი, შემდეგ მისი ბისექტორი, ქონების მიხედვით სამკუთხედი, ასევე იქნება მედიანა. და, შესაბამისად, საპირისპირო ბისექტორი ორად გაიყოფა.

გაზომეთ საპირისპირო მხარე მმართველით სამკუთხედისადაც ბისექტორი მიისწრაფვის. გაყავით ეს მხარე შუაზე და შუაზე დაადეთ წერტილი.

დახაზეთ სწორი ხაზი აგებულ წერტილსა და მოპირდაპირე წვეროზე. ეს იქნება ბისექტორი სამკუთხედი.

წყაროები:

• სამკუთხედის მედიანები, ბისექტრები და სიმაღლეები

საჭრელებს, ამზომველებს, ასამბლერებს და სხვა პროფესიის ადამიანებს უნდა შეეძლოთ კუთხის შუაზე გაყოფა და ზემოდან მოპირდაპირე მხარეს დახაზული ხაზის სიგრძის გამოთვლა.

დაგჭირდებათ

• ინსტრუმენტები ფანქრის სახაზავი პროტრაქტორი სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილები მათემატიკური ფორმულები და ცნებები: ბისექტრის განმარტება სინუსებისა და კოსინუსების თეორემა ბისექტორის თეორემა

ინსტრუქციები

ააგეთ საჭირო და ზომის სამკუთხედი, იმის მიხედვით, თუ რას მოგცემთ? dfe გვერდები და მათ შორის კუთხე, სამი გვერდი ან ორი კუთხე და მათ შორის მდებარე მხარე.

მონიშნეთ კუთხეების წვეროები და გვერდები ტრადიციული ლათინური A, B და C ასოებით. მონიშნე კუთხეები ბერძნული ასოებით?,? და?

სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების გამოყენებით გამოთვალეთ კუთხეები და გვერდები სამკუთხედი.

გაიხსენეთ ბისექტრები. ბისექტორი - კუთხის გაყოფა. კუთხის ბისექტორი სამკუთხედისაპირისპიროს ყოფს ორ სეგმენტად, რაც უდრის ორი მიმდებარე მხარის თანაფარდობას სამკუთხედი.

დახაზეთ კუთხეების ბისექტრები. აღნიშნეთ მიღებული სეგმენტები კუთხეების სახელებით, დაწერილი მცირე ასოებით, ლ-ის ნიშნით. მხარე c იყოფა a და b სეგმენტებად l ინდექსებით.

გამოთვალეთ მიღებული ხაზის სეგმენტების სიგრძე სინუსების თეორემის გამოყენებით.

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

სეგმენტის სიგრძე, რომელიც ამავე დროს არის სამკუთხედის გვერდი, რომელიც წარმოიქმნება თავდაპირველი სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდით, ბისექტრით და თავად სეგმენტით, გამოითვლება სინუსების თეორემით. იმავე გვერდის სხვა სეგმენტის სიგრძის გამოსათვლელად გამოიყენეთ მიღებული სეგმენტების და თავდაპირველი სამკუთხედის მიმდებარე გვერდების თანაფარდობა.

სასარგებლო რჩევა

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, დახაზეთ სხვადასხვა კუთხის ბისექტრები სხვადასხვა ფერებით.

ბისექტორი კუთხეეწოდება სხივი, რომელიც იწყება ზემოდან კუთხედა ყოფს ორ თანაბარ ნაწილად. იმათ. დახარჯვა ბისექტორი, შუაში უნდა იპოვო კუთხე... ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა არის კომპასი. ამ შემთხვევაში, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე გამოთვლების ჩატარება და შედეგი არ იქნება დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა მნიშვნელობა კუთხემთელი რიცხვი.

დაგჭირდებათ

• კომპასი, ფანქარი, სახაზავი.

ინსტრუქციები

კომპასის ხსნარის სიგანე იგივე დატოვეთ, მოათავსეთ ნემსი ხაზის სეგმენტის ბოლოს ერთ მხარეს და დახაზეთ წრის ნაწილი ისე, რომ იგი მდებარეობს შიგნით. კუთხე... იგივე გააკეთე მეორესთან ერთად. თქვენ მიიღებთ ორ ცალი წრეს, რომლებიც იკვეთება შიგნით. კუთხე- დაახლოებით შუაში. წრეების ნაწილები შეიძლება გადაიკვეთოს ერთ ან ორ წერტილში.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროტრატორი კუთხის ბისექტრის გამოსათვლელად, მაგრამ ეს მეთოდი მეტ სიზუსტეს მოითხოვს. უფრო მეტიც, თუ კუთხის მნიშვნელობა არ არის მთელი რიცხვი, ბისექტრის აგებაში შეცდომების ალბათობა იზრდება.

სახლის დიზაინის პროექტების აშენებისას ან შემუშავებისას, ხშირად საჭიროა მისი აშენება ინექციაარსებულის ტოლი. გეომეტრიის შაბლონები და სკოლის ცოდნა სამაშველოში მოდის.

ინსტრუქციები

კუთხე იქმნება ორი სწორი ხაზით, რომლებიც იწყება ერთი წერტილიდან. ამ წერტილს დაერქმევა კუთხის წვერო, ხოლო ხაზები იქნება კუთხის მხარეები.

კუთხეებისთვის გამოიყენეთ სამი: ერთი ზევით, ორი გვერდებზე. Უწოდებენ ინექცია, დაწყებული ასოთი, რომელიც ერთ მხარეს დგას, შემდეგ ზევით მდგარ ასოს უწოდებენ და შემდეგ ასო მეორე მხარეს. გამოიყენეთ სხვები კუთხეების აღსანიშნავად, თუ ეს თქვენთვის უფრო მოსახერხებელია. ზოგჯერ მხოლოდ ერთ ასოს უწოდებენ, რომელიც დგას ზევით. და თქვენ შეგიძლიათ აღნიშნოთ კუთხეები ბერძნული ასოებით, მაგალითად, α, β, γ.

არის სიტუაციები, როცა ეს აუცილებელია ინექციაისე რომ უკვე მოცემულ კუთხეშია. თუ მშენებლობის დროს პროტრაქტორის გამოყენება შეუძლებელია, შეგიძლიათ გააკეთოთ მხოლოდ სახაზავი და კომპასები. დავუშვათ, MN ასოებით მონიშნულ სწორ ხაზზე, თქვენ უნდა ააგოთ ინექცია K წერტილში ისე, რომ იგი უდრის B კუთხეს. ანუ K წერტილიდან აუცილებელია სწორი ხაზის დახაზვა MN წრფით. ინექცია, რომელიც B კუთხის ტოლი იქნება.

დასაწყისში ამ კუთხის თითოეულ მხარეს მონიშნეთ წერტილი, მაგალითად, A და C წერტილები, შემდეგ C და A წერტილები შეაერთეთ სწორი ხაზით. მიიღეთ tre ინექციანიკ ABC.

ახლა შექმენით MN-ზე იგივე სამი ინექციანიკა ისე, რომ მისი წვერო B იყოს წრფეზე K წერტილში. გამოიყენეთ წესი სამკუთხედის ასაგებად ინექციანიკა სამში. K წერტილიდან გამოვყოთ KL სეგმენტი. ის უნდა იყოს BC სეგმენტის ტოლი. მიიღეთ L წერტილი.

K წერტილიდან დახაზეთ წრე BA სეგმენტის ტოლი რადიუსით. დახაზეთ წრე L-დან CA რადიუსით. შეაერთეთ ორი წრის გადაკვეთის წერტილი (P) K-სთან. ინექცია KPL მეტსახელი, რომელიც სამის ტოლი იქნება ინექციანიკ ABC. ასე რომ თქვენ მიიღებთ ინექცია K. ის B კუთხის ტოლი იქნება. იმისათვის, რომ ის უფრო მოსახერხებელი და სწრაფი იყოს, B წვეროდან გამოვყოთ თანაბარი სეგმენტები ერთი კომპასის ამოხსნის გამოყენებით, ფეხების გადაადგილების გარეშე, აღწერეთ წრე K წერტილიდან იგივე რადიუსით.

Მსგავსი ვიდეოები

რჩევა 5: როგორ ავაშენოთ სამკუთხედი ორი გვერდით და შუალედით

სამკუთხედი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს სამი წვერო, რომლებიც დაკავშირებულია წყვილებში ამ მრავალკუთხედის გვერდებთან. წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუათან დამაკავშირებელ სეგმენტს მედიანა ეწოდება. იცოდეთ ორი გვერდის სიგრძე და ერთ-ერთ წვეროზე დამაკავშირებელი მედიანა, შეგიძლიათ ააგოთ სამკუთხედი მესამე მხარის სიგრძისა და კუთხეების ცოდნის გარეშე.

ინსტრუქციები

A წერტილიდან დახაზეთ სეგმენტი, რომლის სიგრძე არის სამკუთხედის (a) ერთ-ერთი ცნობილი გვერდი. მიუთითეთ ამ სეგმენტის ბოლო წერტილი B ასოთი. ამის შემდეგ სასურველი სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი (AB) უკვე შეიძლება ჩაითვალოს აგებულად.

კომპასის გამოყენებით დახაზეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია მედიანის სიგრძის ორჯერ (2∗ მ) და ცენტრით A წერტილში.

კომპასის გამოყენებით დახაზეთ მეორე წრე, რომლის რადიუსი ტოლია ცნობილი მხარის (b) სიგრძისა და ცენტრით B წერტილზე. ცოტა ხნით დაადეთ კომპასი, მაგრამ დატოვეთ გაზომილი - ცოტა მოგვიანებით დაგჭირდებათ.

დახაზეთ A წერტილის დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი თქვენს მიერ დახატული ორის გადაკვეთის წერტილთან. ამ სეგმენტის ნახევარი იქნება ის, რასაც თქვენ აშენებთ - გაზომეთ ეს ნახევარი და დააყენეთ წერტილი M. ამ დროს თქვენ გაქვთ სასურველი სამკუთხედის (AB) ერთი გვერდი და მისი მედიანა (AM).

კომპასის გამოყენებით დახაზეთ წრე მეორე ცნობილი მხარის (b) სიგრძის ტოლი რადიუსით და ცენტრით A წერტილში.

დახაზეთ ხაზი, რომელიც უნდა დაიწყოს B წერტილიდან, გაიაროს M წერტილი და დასრულდეს წინა საფეხურზე დახაზული წრფის კვეთაზე. მიუთითეთ გადაკვეთის წერტილი ასო C-ით. ახლა უცნობი მხარე BC ასევე აგებულია საძიებო ერთში.

ნებისმიერი კუთხის ბისექტრით გაყოფის უნარი აუცილებელია არა მხოლოდ მათემატიკაში "A"-ს მისაღებად. ეს ცოდნა ძალიან გამოადგება მშენებელს, დიზაინერს, მიწის ამზომველს და მკერავს. ცხოვრებაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ბევრის გაყოფა შუაზე.

სკოლაში ყველას ასწავლეს ხუმრობა ვირთხაზე, რომელიც კუთხეებში დარბის და კუთხეს შუაზე ყოფს. ამ მოხერხებული და ჭკვიანი მღრღნელის სახელია Bisectrix. უცნობია, როგორ დაჰყო ვირთხამ კუთხე და მათემატიკოსებს სასკოლო სახელმძღვანელოში „გეომეტრია“ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ შემდეგი მეთოდები.

პროტრაქტორის გამოყენებით

ბისექტრის დახატვის უმარტივესი გზაა. აუცილებელია პროტრატორის მიმაგრება კუთხის ერთ მხარეს, ათვლის წერტილის გასწორება მის წერტილთან O. შემდეგ გაზომეთ კუთხის მნიშვნელობა გრადუსებში ან რადიანებში და გაყავით ორზე. ერთი გვერდიდან მიღებული გრადუსები ერთი და იგივე პროტრაქტორის დახმარებით გავაცილოთ და გავავლოთ სწორი ხაზი, რომელიც გახდება ბისექტორი O კუთხის წარმოშობის წერტილამდე.

კომპასის გამოყენებით

თქვენ უნდა აიღოთ კომპასი და გაავრცელოთ იგი ნებისმიერ თვითნებურ ზომაზე (ნახატის ფარგლებში). კუთხის O-ს წარმოშობის წერტილში წვერის დადგენის შემდეგ, დახაზეთ რკალი, რომელიც კვეთს სხივებს და აღნიშნეთ მათზე ორი წერტილი. ისინი დანიშნულია A1 და A2 მიერ. შემდეგ, კომპასის მონაცვლეობით დაყენებით ამ წერტილებზე, უნდა დახაზოთ იგივე თვითნებური დიამეტრის ორი წრე (ნახატის მასშტაბით). მათი გადაკვეთის წერტილები დანიშნულია C და B. შემდეგი, თქვენ უნდა დახაზოთ სწორი ხაზი O, C და B წერტილების გავლით, რომელიც იქნება სასურველი ბისექტორი.

მმართველის გამოყენება

კუთხის ბისექტრის დასახაზად სახაზავის გამოყენებით, თქვენ უნდა გამოყოთ O წერტილიდან იმავე სიგრძის სეგმენტები სხივებზე (გვერდებზე) და მონიშნოთ ისინი A და B წერტილებით. შემდეგ ისინი უნდა დააკავშიროთ სწორი ხაზით. და გამოიყენეთ სახაზავი, რომ გაყოთ მიღებული სეგმენტი შუაზე, მონიშნეთ წერტილი C. ბისექტორი გამოვა, თუ სწორ ხაზს გაავლებთ C და O წერტილებს შორის.

არანაირი იარაღები

თუ არ გაქვთ საზომი ხელსაწყოები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თქვენი ჭკუა. საკმარისია მხოლოდ კუთხის დახატვა ტრასაზე ან ჩვეულებრივ თხელ ქაღალდზე და ფრთხილად გადაკეცოთ ფურცელი ისე, რომ კუთხის სხივები გასწორდეს. ნახაზში დასაკეცი ხაზი იქნება სასურველი ბისექტორი.

გაშლილი კუთხე

180 გრადუსზე მეტი კუთხეები შეიძლება დაიყოს იმავე გზით. მხოლოდ არ იქნება საჭირო მისი გაყოფა, მაგრამ წრიდან დარჩენილი მკვეთრი კუთხე მის მიმდებარედ. ნაპოვნი ბისექტრის გაგრძელება გახდება საჭირო სწორი ხაზი, რომელიც გაშლილ კუთხეს შუაზე ყოფს.

კუთხეები სამკუთხედში

უნდა გვახსოვდეს, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედში, ბისექტორი ასევე არის შუასაფარი და სიმაღლე. მაშასადამე, მასში ბისექტრის პოვნა შესაძლებელია კუთხის (სიმაღლის) მოპირდაპირე მხარის პერპენდიკულარულის უბრალოდ დაწევით ან ამ მხარის შუაზე გაყოფით და შუა წერტილის მოპირდაპირე კუთხესთან (მედიანა) შეერთებით.

Მსგავსი ვიდეოები

მნემონური წესი „ბისექტორი არის ვირთხა, რომელიც ეშვება კუთხეების გარშემო და ყოფს მათ შუაზე“ აღწერს კონცეფციის არსს, მაგრამ არ იძლევა რეკომენდაციებს ბისექტრის ასაგებად. მის დასახატავად, წესის გარდა, დაგჭირდებათ კომპასი და სახაზავი.

ინსტრუქციები

ვთქვათ, თქვენ გჭირდებათ აშენება ბისექტორიკუთხე A. აიღეთ კომპასი, მოათავსეთ იგი წვერით A წერტილში (კუთხეში) და დახაზეთ წრე ნებისმიერისთვის. სადაც ის კვეთს კუთხის გვერდებს, დაამატეთ B და C წერტილები.

გაზომეთ პირველი წრის რადიუსი. დახაზეთ მეორე იგივე რადიუსით, B წერტილში მოათავსეთ კომპასი.

დახაზეთ შემდეგი წრე (იგივე ზომით, როგორც წინა წრეები) ცენტრით C წერტილში.

სამივე წრე უნდა იკვეთებოდეს ერთ წერტილში - დავარქვათ მას F. სახაზავის გამოყენებით დავხატოთ A და F წერტილებზე გამავალი სხივი. ეს იქნება A კუთხის სასურველი ბისექტორი.

არსებობს რამდენიმე წესი, რომელიც დაგეხმარებათ იპოვოთ. მაგალითად, ის საპირისპიროა, უდრის ორი მიმდებარე მხარის თანაფარდობას. ტოლფერდაში