როგორ გავარკვიოთ ოთხკუთხედის ფართობი სხვადასხვა მხარეს. თვითნებური ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულები

I. წინასიტყვაობა

ეს უბედურებაა: ავადმყოფობის ორი კვირის შემდეგ, თქვენ მიხვედით სკოლაში და გაარკვიეთ, რომ გამოტოვეთ ძალიან მნიშვნელოვანი თემა, რომლის პრობლემებიც მეცხრე კლასში იქნება გამოცდებზე - "სამკუთხედები, ოთხკუთხედები და მათი არე". აქ გეომეტრიის მასწავლებელს მივვარდებოდი კითხვებით: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" მაგრამ მოსწავლეთა ნახევარს ეშინია მიუახლოვდეს მასწავლებლებს ისე, რომ ისინი ჩამორჩენილებად არ ჩაითვალონ, ხოლო მეორე ნახევარი იღებს მასწავლებლებისგან "დახმარებას", მსგავსი "შეხედეთ სახელმძღვანელოში, იქ ყველაფერი წერია!" ან "თქვენ არ უნდა გამოტოვოთ გაკვეთილები!" მაგრამ სახელმძღვანელოში საერთოდ არ არის ინფორმაცია სამკუთხედებისა და ოთხკუთხედების ფართობის პოვნის წესების შესახებ. და გაკვეთილები გამოტოვებული იყო კარგი მიზეზის გამო, არის ექიმის ჩანაწერი. მაგრამ ბევრი მასწავლებელი მხოლოდ უარს იტყვის ამ არგუმენტებზე. რასაკვირველია, მათი გაგება შესაძლებელია: მათ არ უხდიან ანაზღაურებას გაკვეთილის მასალის დამატებით ჩამორთმევისთვის იმ მოსწავლეებში, რომლებსაც არაფერი ესმით. ბევრი სტუდენტი ტოვებს ამ უსარგებლო ამოცანას და ერთი წლის შემდეგ ჩავარდება გამოცდაში, ვერ აიღო ათეული ქულა სამკუთხედებისა და ოთხკუთხედების ფართობის პოვნაში. და მხოლოდ რამდენიმე მიდის ბიბლიოთეკებში და მეგობრებთან კითხვაზე: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" და განსხვავებული ადამიანები და წიგნები განსხვავებულ პასუხებს იძლევა და წესების ბევრი დაბნეულობაა. ქვემოთ მე დავასახელებ სამკუთხედებისა და ოთხკუთხედების ფართობების პოვნის ძირითად გზებს.

II ოთხკუთხედები

დავიწყოთ ოთხკუთხედებით. სკოლებსა და გამოცდებში განიხილება მხოლოდ ამოზნექილი ოთხკუთხედები, ასე რომ მოდით ვისაუბროთ მათზე. განათლების საშუალო დონეზე შესწავლილია პარალელოგრამებისა და ტრაპეციის ფართობები. პარალელოგრამები რამდენიმე ტიპისაა: ოთხკუთხედი, კვადრატი, რომბი და თვითნებური პარალელოგრამი, რომელშიც შეინიშნება მხოლოდ მისი ძირითადი მახასიათებლები: გვერდები წყვილ პარალელურად და თანაბარია, მიმდებარე კუთხეების ჯამი 180 °. მაგრამ ტერიტორიების პოვნის გზები ყველა ამ ფიგურისთვის განსხვავებულია. განვიხილოთ თითოეული ცალკე.

1. მართკუთხედი

მართკუთხედის S გვხვდება ფორმულით: S = a * b, სადმაგრამ- ჰორიზონტალური მხარე, ბ- ვერტიკალური მხარე. *

2. კვადრატების ფართობი

კვადრატის S გვხვდება ფორმულით: S = a * a, სადა- კვადრატის მხარე.

3. რომბის არე

რომბის S გვხვდება ფორმულით: S = 0.5 * (d 1 * d 2), სადაცდ 1- დიდი დიანოგონალი, ** დ 2- უფრო პატარა დიაგონალი.

4. თვითნებური პარალელოგრამის ფართობი

თვითნებური პარალელოგრამის S გვხვდება ფორმულით: S = a * h a, ა- პარალელოგრამის მხარე, თ ა

Ყველა არა?

ჩვენ დავასრულეთ პარალელოგრამები. "თქვენ უბრალოდ უნდა ისწავლოთ ეს?" - შვებით გეკითხებით. პასუხი არის: პარალელოგრამებიდან - დიახ, მხოლოდ ეს. მაგრამ ჯერ კიდევ არსებობს ტრაპეციები და სამკუთხედები. ასე რომ გავაგრძელოთ.

III. ტრაპი გდა მე

ტრაპეციის ფართობი

S ტრაპეცია გვხვდება ერთ ფორმულაში, იქნება ეს ჩვეულებრივი თუ ტოლფერდა: S = ((a + b): 2) * h, სადა, ბ- მისი საფუძველი, თ- ეე სიმაღლე. ეს ყველაფერი ტრაპეციის შესახებ. ახლა კითხვაზე: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" - თქვენ შეგიძლიათ არა მარტო საკუთარ თავს უპასუხოთ, არამედ სხვებსაც გაანათლოთ. ახლა მოდით გადავიდეთ სამკუთხედებზე.

IV. სამკუთხედი

გეომეტრიაში, მათი ფართობის საპოვნელად, გამოიკვეთა სამი ფორმულა: მართკუთხა, ტოლგვერდა და თვითნებური სამკუთხედებისთვის.

1. სამკუთხედის ფართობი

თვითნებური სამკუთხედის S გამოითვლება ფორმულით: S = 0.5 ა * სთ ა, ა- სამკუთხედის მხარე, თ აარის სიმაღლე შედგენილი ამ მხარეს.

2. ტოლგვერდა სამკუთხედების ფართობი

ტოლგვერდა სამკუთხედის S შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: S = 0.5 ა * სთ, სადა- სამკუთხედის საფუძველი, თარის ამ სამკუთხედის სიმაღლე.

3. მართკუთხა სამკუთხედების ფართობი

მართკუთხა სამკუთხედების ფართობი გვხვდება ფორმულით: S = (a * b): 2, სადმაგრამ- პირველი ფეხი, ბ- მეორე ფეხი.

დასკვნა

ისე, ეს ყველაფერი, ჩემი აზრით. თქვენ ასევე უნდა ისწავლოთ ცოტაოდენი სამკუთხედების შესახებ, არა? ახლა გადახედე ყველაფერს რაც აქ დავწერე. "ნაძვის ხეები, ჩხირები, ამის შესწავლას ერთი თვე დასჭირდება!" -იძახი ალბათ ვინ თქვა რომ ყველაფერი სწრაფად ისწავლება? მეორეს მხრივ, როდესაც ეს ყველაფერი ისწავლეთ, არ შეგეშინდებათ კითხვების თემაზე "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი" ან "თვითნებური სამკუთხედის ფართობი" მე -9 კლასში დამოწმება. ასე რომ, თუ გსურთ სადმე წასვლა, ისწავლეთ, ისწავლეთ და იყავით მეცნიერი!

___________________________________

შენიშვნა

* - ადა ბარ უნდა იყოს ჩემს მიერ მითითებულ ადგილებში. პრობლემების გადაჭრისას ვერტიკალურ მხარეს შეიძლება დავარქვათ ადა ჰორიზონტალური - ბ;

** - დიაგონალების შეცვლა შესაძლებელია და მათი სახელების შეცვლა ისევე, როგორც შენიშვნაში. *

გეომეტრიული ფორმის ფართობი- გეომეტრიული ფიგურის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს ამ ფიგურის ზომას (ზედაპირის ნაწილი შემოსაზღვრულია ამ ფიგურის დახურული კონტურით). ფართობის ზომა გამოიხატება მასში შემავალი კვადრატული ერთეულების რაოდენობით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა გვერდისა და სიმაღლის მიხედვით
სამკუთხედის ფართობიტოლია სამკუთხედის გვერდის სიგრძის პროდუქტის ნახევრისა ამ მხარეზე დახატული სიმაღლის სიგრძით
სამკუთხედის ფართობის ფორმულა სამი მხრიდან და შემოსაზღვრული წრის რადიუსი
სამკუთხედის ფართობის ფორმულა სამი მხრიდან და ჩაწერილი წრის რადიუსი
სამკუთხედის ფართობიუდრის სამკუთხედის ნახევარ პერიმეტრისა და ჩაწერილი წრის რადიუსს.

კვადრატული ფორმულების ფართობი

კვადრატის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძის მიხედვით
კვადრატული ფართობიუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატს.
კვადრატის ფართობის ფორმულა დიაგონალის სიგრძით
კვადრატული ფართობიუდრის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარს.
S = 1 2
2

ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა

მართკუთხედის ფართობი

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა მხარის სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით
პარალელოგრამის ფართობი
ორ მხარეს პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა და მათ შორის კუთხე
პარალელოგრამის ფართობიტოლია მისი გვერდების სიგრძეების პროდუქტის გამრავლებული მათ შორის არსებული კუთხის სინუსზე.
a b ცოდვა α

რომბის ფართობის ფორმულები

ფორმულა რომბის ფართობის გვერდითა სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით
რომბის არეუდრის მისი გვერდის სიგრძისა და ამ მხარეს დაწეული სიმაღლის სიგრძეს.
ფორმულა რომბის ფართობისთვის გვერდის სიგრძისა და კუთხის მიხედვით
რომბის არეუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატის პროდუქტს და რომბის გვერდებს შორის კუთხის სინუსს.
რომბის ფართობის ფორმულა მისი დიაგონალების სიგრძით
რომბის არეუდრის მისი დიაგონალების სიგრძის პროდუქტის ნახევარს.

ფართობის ფორმულები ტრაპეციისთვის

ჰერონის ფორმულა ტრაპეციისთვის
სადაც S არის ტრაპეციის ფართობი,
- ტრაპეციის ფუძეების სიგრძე,
- ტრაპეციის გვერდითი მხარეების სიგრძე,

ოთხკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წვეროდან, რომელთაგან სამი არ დევს ერთ სწორ ხაზზე და მათ დამაკავშირებელ სეგმენტებს.

ბევრი ოთხკუთხედია. ესენია პარალელოგრამები, კვადრატები, რომბები, ტრაპეციები. პოვნა შესაძლებელია გვერდებზე, ადვილად გამოითვლება დიაგონალებით. თვითნებურ ოთხკუთხედში ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყველა ელემენტი ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულის გამოსაყვანად. დასაწყისისთვის განვიხილოთ ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა დიაგონალის თვალსაზრისით. მისი გამოსაყენებლად საჭიროა დიაგონალების სიგრძე და მათ შორის მწვავე კუთხის ზომა. საჭირო მონაცემების ცოდნით, შეგიძლიათ განახორციელოთ ოთხკუთხედის ფართობის გაანგარიშების მაგალითი შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

დიაგონალების პროდუქტის ნახევარი და მათ შორის მწვავე კუთხის სინუსი არის ოთხკუთხედის ფართობი. მოდი განვიხილოთ ოთხკუთხედის ფართობის დიაგონალის საშუალებით გამოთვლის მაგალითი.

მიეცით ოთხკუთხედი ორი დიაგონალით d1 = 5 სმ; d2 = 4 სმ. მათ შორის მწვავე კუთხე α = 30 ° –ის ტოლია. ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა დიაგონალების თვალსაზრისით ადვილად გამოიყენება ცნობილი პირობებისთვის. მოდით შევცვალოთ მონაცემები:

ოთხკუთხედის ფართობის დიაგონალების საშუალებით გამოთვლის მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ გვესმის, რომ ფორმულა ძალიან ჰგავს გამოთვლას.

ოთხკუთხედის ფართობი მხარეებზე

როდესაც იცით ფორმის გვერდების სიგრძე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ოთხკუთხედის ფართობის გვერდების გასწვრივ. ამ გამოთვლების გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ნახევრად პერიმეტრი. ჩვენ გვახსოვს, რომ პერიმეტრი არის ყველა მხარის სიგრძეების ჯამი. ნახევარ პერიმეტრი ნახევარი პერიმეტრია. ჩვენს ოთხკუთხედში a, b, c, d გვერდებით, ნახევარგამტარული ფორმულა ასე გამოიყურება:
მხარეების ცოდნით, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას. ოთხკუთხედის ფართობი არის ნახევარ პერიმეტრის სხვაობის პროდუქტის ფესვი თითოეული მხარის სიგრძესთან ერთად:

განვიხილოთ ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი გვერდების გავლით. თვითნებური ოთხკუთხედი მოცემულია გვერდებზე a = 5 სმ, b = 4 სმ, c = 3 სმ, d = 6 სმ. პირველ რიგში, ჩვენ ვხვდებით ნახევრად პერიმეტრს:

ჩვენ ვიყენებთ ნაპოვნი მნიშვნელობას ფართობის გამოსათვლელად:

ოთხკუთხედის ფართობი მოცემულია კოორდინატებით

ოთხკუთხედის საკოორდინატო ფართობის ფორმულა გამოიყენება ფორმების ფართობის გამოსათვლელად, რომლებიც მდებარეობს საკოორდინატო სისტემაში. ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გამოთვალოთ საჭირო მხარეების სიგრძე. ოთხკუთხედის ტიპიდან გამომდინარე, თავად ფორმულა შეიძლება შეიცვალოს. მოდით განვიხილოთ ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი კვადრატის გამოყენებით, რომელიც მდებარეობს XY კოორდინატთა სისტემაში.

გეძლევათ ABCD კვადრატი, რომელიც მდებარეობს XY კოორდინატთა სისტემაში. იპოვეთ ფიგურის ფართობი, თუ წვეროების კოორდინატები არის A (2; 10); B (10; 8); C (8; 0); D (0; 2).

ჩვენ ვიცით, რომ ფიგურის ყველა მხარე თანაბარია და კვადრატის ფართობის ფორმულა გვხვდება ფორმულით:
მოდით ვიპოვოთ ერთ -ერთი მხარე, მაგალითად, AB:
მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები ფორმულაში:
ჩვენ ვიცით, რომ ყველა მხარე ერთნაირია. ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას ფორმულის ფართობის გამოსათვლელად:

გეომეტრიის კურსის პლანმეტრიული ამოცანების ამოხსნისას ხშირად გვხვდება ფიგურა 4 გვერდით. დიახ, ჩვენ ვსაუბრობთ ოთხკუთხედზე. ოთხი კუთხის მქონე თვითნებური მრავალკუთხედი უფრო იშვიათია, ვიდრე მისი განსაკუთრებული შემთხვევები - ტრაპეცია, დელტოიდები, პარალელოგრამები. ბოლო "ჯგუფი" ასევე მოიცავს რომბებს, ოთხკუთხედებს, კვადრატებს.
განვიხილოთ ფიგურის რა მონაცემები უნდა იცოდეთ მისი ფართობის გამოსათვლელად.

როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი

თვითნებური მრავალკუთხედი

მისი ფართობის საპოვნელად გჭირდებათ ფიგურის დიაგონალები, ასევე მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე.

S = (d1 * d2 * sinα) / 2,
d1, d2 - დიაგონალები,
α არის მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე.

პოლიგონი წრეში

თუ მოცემული ოთხკუთხედი მოთავსებულია წრეში, ფიგურის გვერდების სიგრძე ცნობილია, მაშინ თანაფარდობა ხელს შეუწყობს პოლიგონის ფართობის განსაზღვრას:

S = √ (p - m) (p - k) (p - l) (p - e), p = (m + k + l + e)/ 2.
მ, კ, ლ, ე - მისი მხარეები.

როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - ტრაპეცია

ეს ფიგურა გამოირჩევა პარალელური 2 მხარის არსებობით. ასეთი მრავალკუთხედის ფართობის დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი პარამეტრები:

თუ პარალელური გვერდების მნიშვნელობები და მათზე შედგენილი პერპენდიკულარული სიმაღლე ცნობილია, ფართობი გამოითვლება S = ((a + b) * h) / 2 გამოყენებით,
a და b - ბაზები,
თ - პერპენდიკულარულ -სიმაღლეზე.
შუა ხაზის განსაზღვრის საფუძველზე (k = (a + b) / 2)), წინა ფორმულა მიიღებს შემდეგ ფორმას: S = k * h,
k არის შუა ხაზი.
ტრაპეციის ცნობილი დიაგონალები და მათი გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი კუთხის ხარისხი ასევე დაეხმარება ფიგურის ფართობის განსაზღვრას: S = (d1 * d2 * sinβ) / 2,
d1, d2 - დიაგონალები,
β არის მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე.
მოცემულია 4 გვერდი: S = ((მ + ლ) √k 2 - ((მ - ლ) 2 + კ 2 - დ 2) 2 / (4 (მ - ლ) 2)) / 2,
მ, ლ - მხარეები პარალელურია,
k, d - გვერდითი მხარეები.

როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - დელტოიდი

დელტოიდური მრავალკუთხედი ხასიათდება 2 წყვილი თანაბარი გვერდების არსებობით. გამოთვალეთ ასეთი ოთხკუთხედის ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ცნობილია ფიგურის მხარეები და სხვადასხვა სიგრძის გვერდებით ჩამოყალიბებული კუთხე:
S = m * l * sinϕ,
მ, ლ - დელტოიდის მხარეები,
ϕ არის კუთხე მათ შორის.
ფიგურის მხარეები და თანაბარი სიგრძის გვერდებზე ჩამოყალიბებული კუთხეები ცნობილია:
S = m 2 * sinα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
მ, ლ - დელტოიდის მხარეები,
α, β - კუთხეები თანაბარ გვერდებს შორის.
ცნობილი დიაგონალების არსებობა ასევე საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფიგურის ფართობი:
S = d1 * d2 / 2,
d1, d2 - დელტოიდური დიაგონალები.
თუ წრე ფიგურაშია ჩაწერილი, მაშინ მისი რადიუსის ცოდნა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ დელტოიდის ფართობი: S = (მ + ლ) * რ,
მ, ლ - დელტოიდის მხარეები,
r არის რადიუსი ჩაწერილი წრის შემთხვევაში.

როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - პარალელოგრამი

თუ ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს 2 წყვილი განუყოფელი მხარე, მაშინ თქვენ გაქვთ პარალელოგრამი თქვენს წინაშე.

ზოგადი გამოხატულება

ამ ტიპის ფიგურის ფართობის დასადგენად დაგჭირდებათ:

ოთხკუთხედის მხარე და სიმაღლე მასზე შემცირებული: S = k * h (k),
k - ფიგურის მხარე,
h (k) - სიმაღლე მასზე.
ორი მხარის სიგრძე ერთი წვეროთი და კუთხის ზომა მოცემულ წვერზე:
S = l * k * sinϕ,
k, l - მრავალკუთხედის მხარეები,
ϕ არის კუთხე მათ შორის.
ფიგურის დიაგონალები და მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე: S = d1 * d2 * sinβ / 2,
d1, d2 - დიაგონალები,
β - კუთხე - მათი გადაკვეთის შედეგი.

რომბი

ეს ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელსაც აქვს 4 თანაბარი მხარე. მაშასადამე, გამოთქმები, რომლებიც პარალელოგრამისთვის მოქმედებს, ასევე მოქმედებს მისთვის. მაშინ

S = k * h (k),
k არის ფიგურის მხარე, h (k) არის მისი სიმაღლე.
S = k 2 * sinϕ,
k არის ოთხკუთხედის მხარე, არის კუთხე გვერდებს შორის.
S = d1 * d2 / 2 (ვინაიდან ფიგურის დიაგონალები გადაკვეთისას ქმნიან სწორ კუთხეს და sin90 ° = 1),
d1, d2 - მრავალკუთხედის დიაგონალები.

მართკუთხედი

ასეთ მრავალკუთხედს აქვს 2 წყვილი თანაბარი მხარე, ხოლო მისი კუთხეების ხარისხის ზომაა 90 °. მისი ფართობის საპოვნელად მოქმედებს შემდეგი გამონათქვამები:

S = k * l,
k, l - ფიგურის მხარეები.
S = d 2 * sinβ / 2,
d - ოთხკუთხედის დიაგონალები, β - კუთხე - მათი გადაკვეთის შედეგი.
S = 2R 2 * sinβ,
R არის რადიუსი შემოსაზღვრული წრის შემთხვევაში.

მოედანი

ამ შემთხვევაში, წინა ეტაპზე მიღებული კოეფიციენტები მიიღებენ შემდეგ ფორმას (ვინაიდან ამ ტიპის ოთხკუთხედის გვერდები ტოლია):

S = k 2, k არის ფიგურის გვერდი.

S = d 2/2, d არის კვადრატის დიაგონალი.

S = 2R 2, R არის რადიუსი შემოსაზღვრული წრის შემთხვევაში.
S = 4r 4, r არის რადიუსი ჩაწერილი წრის შემთხვევაში.