მოცემული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პრობლემა ერთ – ერთი მთავარი ამოცანაა მათემატიკის კურსში საშუალო სკოლაში და უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში. შეუძლებელია ფუნქციის სრულად გამოძიება, მისი გრაფიკის შედგენა მისი წარმოებულის მიღების გარეშე. ფუნქციის წარმოებული შეიძლება ადვილად მოიძებნოს დიფერენციაციის ძირითადი წესების, ასევე ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილის ცოდნით. ვნახოთ, როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული.
ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის თანაფარდობის ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის მატება ნულისკენ მიდის.
ამ განსაზღვრების გაგება საკმაოდ რთულია, ვინაიდან ლიმიტის კონცეფცია სრულად არ არის შესწავლილი სკოლაში. მაგრამ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ სხვადასხვა ფუნქციის წარმოებულები, არ არის აუცილებელი განსაზღვრების გაგება, ჩვენ ამას მივცემთ სპეციალურ მათემატიკოსებს და უშუალოდ გავაგრძელებთ წარმოებულის პოვნას.
წარმოებულის პოვნის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება. ფუნქციის დიფერენცირებისას მივიღებთ ახალ ფუნქციას.
მათი დასახასიათებლად ჩვენ გამოვიყენებთ ლათინურ ასოებს f, g და ა.შ.
წარმოშობის მრავალი განსხვავებული აღნიშვნა არსებობს. ჩვენ გამოვიყენებთ ინსულტს. მაგალითად, აღნიშვნა g "ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიპოვით g ფუნქციის წარმოებულს.
წარმოებულების ცხრილი
იმისათვის, რომ ვუპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ წარმოებული, აუცილებელია მივცეთ ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლა არ საჭიროებს რთულ გამოთვლებს. საკმარისია შევხედოთ მის ღირებულებას წარმოებულების ცხრილში.
- (ცოდვა x) "= cos x
- (cos x) "= –in x
- (x n) "= n x n-1
- (e x) "= e x
- (ln x) "= 1 / x
- (a x) "= a x ln a
- (log a x) "= 1 / x ln a
- (tg x) "= 1 / cos 2 x
- (ctg x) "= - 1 / ცოდვა 2 x
- (arcsin x) "= 1 / √ (1-x 2)
- (arccos x) "= - 1 / √ (1 -x 2)
- (არქტანი x) "= 1 / (1 + x 2)
- (arcctg x) "= - 1 / (1 + x 2)
მაგალითი 1. იპოვეთ y = 500 ფუნქციის წარმოებული.
ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის მუდმივი. წარმოებულების ცხრილის მიხედვით, ცნობილია, რომ მუდმივის წარმოებული ნულის ტოლია (ფორმულა 1).
მაგალითი 2. იპოვეთ y = x 100 ფუნქციის წარმოებული.
ეს არის ძალაუფლების ფუნქცია 100 – ის ექსპონენტში და მისი წარმოებულის საპოვნელად საჭიროა ფუნქციის გამრავლება ექსპონენტზე და შემცირება 1 – ით (ფორმულა 3).
(x 100) "= 100 x 99
მაგალითი 3. იპოვნეთ y = 5 x ფუნქციის წარმოებული
ეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, ჩვენ გამოვთვლით მის წარმოებულს ფორმულა 4 -ით.
მაგალითი 4. იპოვეთ y = log 4 x ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ვიპოვით ლოგარითმის წარმოებულს 7 ფორმულის მიხედვით.
(ჟურნალი 4 x) "= 1 / x ln 4
დიფერენცირების წესები
მოდით ახლა გავარკვიოთ, თუ როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, თუ ის ცხრილში არ არის. შესწავლილი ფუნქციების უმეტესობა არ არის ელემენტარული, მაგრამ წარმოადგენს ელემენტარული ფუნქციების კომბინაციას უმარტივესი ოპერაციების გამოყენებით (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, ასევე რიცხვზე გამრავლება). მათი წარმოებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ დიფერენციაციის წესები. გარდა ამისა, ასო f და g აღნიშნავს ფუნქციებს, ხოლო C არის მუდმივი.
1. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება მიღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნის მიღმა
მაგალითი 5. იპოვეთ y ფუნქციის წარმოებული y = 6 * x 8
ჩვენ ვიღებთ მუდმივ 6 – ს და განვასხვავებთ მხოლოდ x 4 – ს. ეს არის ძალაუფლების ფუნქცია, რომლის წარმოებული გვხვდება წარმოებულების ცხრილის ფორმულა 3 -ით.
(6 * x 8) "= 6 * (x 8)" = 6 * 8 * x 7 = 48 * x 7
2. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს
(f + g) "= f" + g "
მაგალითი 6. იპოვნეთ y = x 100 + sin x ფუნქციის წარმოებული
ფუნქცია არის ორი ფუნქციის ჯამი, რომელთა წარმოებულები შეგვიძლია ვიპოვოთ ცხრილიდან. ვინაიდან (x 100) "= 100 x 99 და (sin x)" = cos x. ჯამის წარმოებული უდრის ამ წარმოებულების ჯამს:
(x 100 + ცოდვა x) "= 100 x 99 + cos x
3. სხვაობის წარმოებული უდრის წარმოებულების სხვაობას
(f - g) "= f" - g "
მაგალითი 7. იპოვეთ y = x 100 - cos x ფუნქციის წარმოებული
ეს ფუნქცია არის განსხვავება ორ ფუნქციებს შორის, რომელთა წარმოებულებიც შეგვიძლია ვიპოვოთ ცხრილიდან. მაშინ სხვაობის წარმოებული უდრის წარმოებულთა სხვაობას და არ დაგავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, ვინაიდან (cos x) "= - sin x.
(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + ცოდვა x
მაგალითი 8. იპოვეთ y = e x + tg x– x 2 ფუნქციის წარმოებული.
ეს ფუნქცია შეიცავს როგორც ჯამს, ასევე განსხვავებას, ჩვენ ვპოულობთ თითოეული ტერმინის წარმოებულებს:
(e x) "= e x, (tg x)" = 1 / cos 2 x, (x 2) "= 2 x. მაშინ ორიგინალური ფუნქციის წარმოებული უდრის:
(e x + tg x– x 2) "= e x + 1 / cos 2 x –2 x
4. ნაწარმოების წარმოებული
(f * g) "= f" * g + f * g "
მაგალითი 9. იპოვეთ y = cos x * e x ფუნქციის წარმოებული
ამისათვის ჩვენ პირველად ვიპოვით თითოეული ფაქტორის წარმოებულს (cos x) "= - sin x და (e x)" = e x. ახლა მოდით შევცვალოთ ყველაფერი პროდუქტის ფორმულაში. ჩვენ ვამრავლებთ პირველი ფუნქციის წარმოებულს მეორეზე და ვამატებთ პირველი ფუნქციის პროდუქტს მეორის წარმოებულზე.
(cos x * e x) "= e x cos x - e x * sin x
5. კოეფიციენტის წარმოებული
(f / g) "= f" * g - f * g " / g 2
მაგალითი 10. იპოვეთ y = x 50 / sin x ფუნქციის წარმოებული
კოეფიციენტის წარმოებულის საპოვნელად, ჯერ იპოვეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებული ცალკე: (x 50) "= 50 x 49 და (sin x)" = cos x. კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულაში ჩანაცვლება, ვიღებთ:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
რთული ფუნქციის წარმოებული
რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც წარმოდგენილია რამდენიმე ფუნქციის შემადგენლობით. რთული ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ასევე არსებობს წესი:
(u (v)) "= u" (v) * v "
მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქციის წარმოებული. მოდით y = u (v (x)) იყოს რთული ფუნქცია. U ფუნქციას გარე ეწოდება, ხოლო v - შიდა.
Მაგალითად:
y = sin (x 3) არის რთული ფუნქცია.
მაშინ y = sin (t) არის გარეგანი ფუნქცია
t = x 3 - შიდა.
შევეცადოთ გამოვთვალოთ ამ ფუნქციის წარმოებული. ფორმულის მიხედვით, აუცილებელია შიდა და გარე ფუნქციების წარმოებულების გამრავლება.
(sin t) "= cos (t) არის გარე ფუნქციის წარმოებული (სადაც t = x 3)
(x 3) "= 3x 2 არის შიდა ფუნქციის წარმოებული
მაშინ (ცოდვა (x 3)) "= cos (x 3) * 3x2 არის რთული ფუნქციის წარმოებული.
წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.
უმარტივესი (და არა ძალიან მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის პრობლემების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის განსაზღვრით, როგორც ნამატის თანაფარდობის ზღვარი არგუმენტის მატებასთან ერთად, წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის ზუსტად განსაზღვრული წესები გამოჩნდა. პირველი წარმოებულების მოძიების სფეროში იყო ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).
ამიტომ, ჩვენს დროში, რაიმე ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად, არ არის აუცილებელი გამოვთვალოთ ფუნქციის ზრდის თანაფარდობის ზემოაღნიშნული ზღვარი არგუმენტის მატებასთან ერთად, მაგრამ თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.
წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოთქმა ინსულტის ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაშლადა განსაზღვრავს რა ქმედებებს (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. გარდა ამისა, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები გვხვდება წარმოებულების ცხრილში, ხოლო პროდუქტის წარმოებულების ფორმულები, ჯამი და კოეფიციენტი გვხვდება დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენცირების წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.
მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. დიფერენციაციის წესებიდან ვიგებთ, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციების წარმოებულთა ჯამი, ე.ი.
წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით, რომ "x" - ის წარმოშობა ერთის ტოლია, ხოლო სინუსის წარმოებული - კოსინუსის. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს წარმოებულების ჯამში და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც მოითხოვს პრობლემის მდგომარეობას:
მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ როგორც ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე ტერმინი მუდმივი ფაქტორით, ის შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშანიდან:
თუ ჯერ კიდევ არსებობს კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის, ისინი, როგორც წესი, უფრო ნათლად ხდებიან წარმოებულების ცხრილის გაცნობისა და დიფერენციაციის უმარტივესი წესების შემდეგ. ჩვენ ახლა მათთან მივდივართ.
მარტივი ფუნქციების წარმოებული ცხრილი
| 1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200 ...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულოვანი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რადგან ამას ძალიან ხშირად მოითხოვს. | |
| 2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "x". ყოველთვის ერთის ტოლი. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში. | |
| 3. წარმოებული ხარისხი. პრობლემების გადაჭრისას თქვენ უნდა გადააკეთოთ არა კვადრატული ფესვები ძალაუფლებაში. | |
| 4. ცვლადის წარმოშობა -1 სიმძლავრისგან | |
| 5. კვადრატული ფესვის წარმოებული | |
| 6. სინუსის წარმოებული | |
| 7. კოსინუსის წარმოებული |  |
| 8. ტანგენტის წარმოებული |  |
| 9. კოტანგენცენტის წარმოებული |  |
| 10. არკინის წარმოებული |  |
| 11. არკოზინის წარმოებული |  |
| 12. არქტანგენცენტის წარმოებული |  |
| 13. რკალის კოტანგენსის წარმოებული |  |
| 14. ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოშობა | |
| 15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული |  |
| 16. ექსპონენტის წარმოებული | |
| 17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული |
დიფერენცირების წესები
| 1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული |  |
| 2. ნაწარმოების წარმოებული |  |
| 2 ა მუდმივი ფაქტორით გამრავლებული გამოთქმის წარმოებული | |
| 3. კოეფიციენტის წარმოებული |  |
| 4. რთული ფუნქციის წარმოებული |  |
წესი 1.თუ ფუნქციები
დიფერენცირებადი რაღაც მომენტში, შემდეგ იმავე წერტილში ფუნქციები
უფრო მეტიც
იმ ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს.
შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი ვადით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.
წესი 2.თუ ფუნქციები
დიფერენცირებადი რაღაც მომენტში, შემდეგ ერთსა და იმავე დროს მათი პროდუქტიც დიფერენცირებადია
უფრო მეტიც
იმ ორი ფუნქციის პროდუქტის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის პროდუქტების ჯამს მეორის წარმოებულით.
დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება გადაადგილდეს წარმოებულის ნიშნის მიღმა:
დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის პროდუქტის პროდუქტი უტოლდება თითოეული ფაქტორის წარმოებულის პროდუქტების ჯამს ყველა დანარჩენის მიერ.
მაგალითად, სამი ფაქტორის გამო:
წესი 3.თუ ფუნქციები
დიფერენცირებადი რაღაც მომენტში და , მაშინ ამ დროს ის დიფერენცირებადია და მათი კოეფიციენტიu / v და
იმ ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული უდრის წილადს, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი წინა მრიცხველი.
სად რა უნდა ვეძებოთ სხვა გვერდებზე
რეალურ პრობლემებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის აღმოჩენისას, ყოველთვის აუცილებელია ერთდროულად გამოიყენოთ რამდენიმე დიფერენცირების წესი, ამიტომ სტატიაში უფრო მეტი მაგალითია ამ წარმოებულებზე."ნაწარმოების და კონკრეტული ფუნქციის წარმოშობა".
კომენტარი.არ აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი) როგორც ჯამი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში, მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში, იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშანიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც წარმოიქმნება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რამდენიმე ერთი ან ორი კომპონენტის მაგალითის ამოხსნის შემდეგ, საშუალო სტუდენტი აღარ უშვებს ამ შეცდომას.
და თუ, ნაწარმოების ან ნაწარმოების დიფერენცირებისას, გაქვთ ვადა შენ"v, რომელშიც შენ- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი ტერმინი ნულის ტოლი იქნება (ეს შემთხვევა გაანალიზებულია მე –10 მაგალითში).
კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური გადაწყვეტა, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებული. Ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია მიეძღვნა. მაგრამ პირველ რიგში, ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.
გზად, თქვენ არ შეგიძლიათ გამოხატვის გარდაქმნების გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ გაკვეთილების გახსნა ახალ ფანჯარაში ძალები და ფესვებიდა წილადის მოქმედებები .
თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს წილადების წარმოებულებისთვის, რომლებსაც აქვთ ძალა და ფესვები, ანუ როდესაც ფუნქცია გამოიყურება 
, შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს წილადების ჯამი ძალებითა და ფესვებით.
თუ თქვენ გაქვთ ისეთი ამოცანა, როგორიცაა 
, შემდეგ თქვენი გაკვეთილი "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები".
ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული
მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოთქმა წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამი, რომელთაგან მეორე ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენცირების წესს: ორი ფუნქციის პროდუქტის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის პროდუქტების ჯამს მეორის წარმოებულისაგან:
შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში, მეორე ტერმინი მინუს ნიშნით. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივობას (რიცხვს), რომლის წარმოებული ნულის ტოლია. ასე რომ, ჩვენთვის "x" ერთში გადადის და მინუს 5 - ნულში. მეორე გამოთქმაში "x" მრავლდება 2 -ით, ამიტომ ჩვენ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x" - ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ წარმოებულების შემდეგ მნიშვნელობებს:
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:
მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ჩვენ მოეთხოვებათ მოვძებნოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული უდრის წილადს, რომლის მრიცხველი არის განსხვავება მნიშვნელის პროდუქტებს შორის მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველს წარმოებულის მიხედვით მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ უკვე აღმოვაჩინეთ ფაქტორების წარმოებული მრიცხველში მაგალითში 2. ნუ დაგავიწყდებათ, რომ პროდუქტი, რომელიც მრიცხველის მეორე ფაქტორია მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:
თუ თქვენ ეძებთ იმ პრობლემების გადაწყვეტას, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და გრადუსების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, 
შემდეგ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადების ჯამის წარმოშობა ძალებითა და ფესვებით" .
თუ გჭირდებათ მეტი შეიტყოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როდესაც ფუნქცია გამოიყურება შემდეგ თქვენი გაკვეთილი "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .
მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ -ერთი ფაქტორი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულს ჩვენ გავეცანით წარმოებულების ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებული ცხრილის მნიშვნელობის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ:
მაგალითი 6.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტის დიფერენცირების წესის თანახმად, რომელიც ჩვენ გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მე –4 მაგალითში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობა, ჩვენ ვიღებთ:
მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად გამრავლდით მრიცხველი და მნიშვნელი.
განმარტება.მოდით ფუნქცია \ (y = f (x) \) განისაზღვროს რაღაც ინტერვალში, რომელიც შეიცავს წერტილს \ (x_0 \). მიეცით არგუმენტი ნამატი \ (\ დელტა x \) ისე, რომ არ გამოვიდეს ამ ინტერვალიდან. იპოვეთ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა \ (\ დელტა y \) (როდესაც გადადიხართ წერტილიდან \ (x_0 \) წერტილში \ (x_0 + \ დელტა x \)) და შეადგინეთ თანაფარდობა \ (\ ფრაკი (\ დელტა y) (\ დელტა x) \). თუ არსებობს ამ თანაფარდობის ზღვარი \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), მაშინ მითითებულ ლიმიტს ეწოდება წარმოებული ფუნქცია\ (y = f (x) \) წერტილში \ (x_0 \) და აღნიშნეთ \ (f "(x_0) \).
$$ \ lim _ (\ დელტა x \ 0 -მდე) \ frac (\ დელტა y) (\ დელტა x) = ვ "(x_0) $$
სიმბოლო y "ხშირად გამოიყენება წარმოებულის აღსანიშნავად. გაითვალისწინეთ, რომ y" = f (x) არის ახალი ფუნქცია, მაგრამ ბუნებრივად არის დაკავშირებული y = f (x) ფუნქციასთან, განსაზღვრულია x ყველა წერტილში, სადაც ზემოთ მოყვანილი ზღვარი არსებობს ... ამ ფუნქციას ეწოდება ასე: ფუნქციის წარმოებული y = f (x).
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობაარის შემდეგი თუ ფუნქციის გრაფიკი y = f (x) აბსცესის მქონე წერტილში x = a შეიძლება დაიხუროს ტანგენტად და არა y ღერძის პარალელურად, მაშინ f (a) გამოხატავს ტანგენტის დახრილობას:
\ (k = f "(a) \)
ვინაიდან \ (k = tg (a) \), თანასწორობა \ (f "(a) = tg (a) \) მართალია.
ახლა მოდით განვმარტოთ წარმოებულის განმარტება სავარაუდო ტოლობის თვალსაზრისით. მოდით ფუნქცია \ (y = f (x) \) ჰქონდეს წარმოებული კონკრეტულ წერტილში \ (x \):
$$ \ lim _ (\ დელტა x \ 0 -მდე) \ frac (\ დელტა y) (\ დელტა x) = ვ "(x) $$
ეს ნიშნავს, რომ x წერტილის მახლობლად არის შესრულებული სავარაუდო თანასწორობა \ (\ frac (\ დელტა y) (\ დელტა x) \ დაახლ. F "(x) \), ანუ \ (\ დელტა y \ დაახლოებით f" (x) \ cdot \ დელტა x \). მიღებული სავარაუდო თანასწორობის აზრი ასეთია: ფუნქციის ზრდა "თითქმის პროპორციულია" არგუმენტის ზრდასთან და პროპორციულობის კოეფიციენტი არის წარმოებულის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში x. მაგალითად, ფუნქცია \ (y = x ^ 2 \) აკმაყოფილებს სავარაუდო თანასწორობას \ (\ დელტა y \ დაახლოებით 2x \ cdot \ დელტა x \). თუ საგულდაგულოდ გავაანალიზებთ წარმოებულის განმარტებას, აღმოვაჩენთ, რომ იგი შეიცავს ალგორითმს მისი მოსაძიებლად.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ იგი.
როგორ ვიპოვოთ y = f (x) ფუნქციის წარმოებული?
1. დააფიქსირეთ მნიშვნელობა \ (x \), იპოვეთ \ (f (x) \)
2. მიეცით არგუმენტი \ (x \) ნამატი \ (\ დელტა x \), გადადით ახალ პუნქტზე \ (x + \ დელტა x \), იპოვეთ \ (f (x + \ დელტა x) \)
3. იპოვეთ ფუნქციის ზრდა: \ (\ დელტა y = f (x + \ დელტა x) - f (x) \)
4. შეადგინეთ ურთიერთობა \ (\ frac (\ დელტა y) (\ დელტა x) \)
5. გამოთვალეთ $ $ \ lim _ (\ Delta x \ 0 - მდე) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $ $
ეს ზღვარი არის ფუნქციის წარმოებული x წერტილში.
თუ y = f (x) ფუნქციას აქვს წარმოებული x წერტილში, მაშინ მას დიფერენცირებადი ეწოდება x წერტილში. Y = f (x) ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცედურას ეწოდება დიფერენციაციაფუნქცია y = f (x).
მოდი განვიხილოთ შემდეგი შეკითხვა: როგორ არის ერთმანეთთან დაკავშირებული ფუნქციის უწყვეტობა და განსხვავებულობა?
მოდით ფუნქცია y = f (x) იყოს დიფერენცირებული x წერტილში. მაშინ ტანგენსი შეიძლება მიაპყროს ფუნქციის გრაფიკს M წერტილში (x; f (x)) და, გავიხსენოთ, ტანგენსის დახრილობა ტოლია f "(x). ასეთი გრაფიკი ვერ" იშლება " M წერტილში, ანუ ფუნქცია უნდა იყოს უწყვეტი x წერტილში.
ეს იყო "თითის თითის" მსჯელობა. მოდით მივცეთ უფრო მკაცრი მსჯელობა. თუ ფუნქცია y = f (x) დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ სავარაუდო თანასწორობა \ (\ დელტა y \ დაახლ. F "(x) \ cdot \ დელტა x \). თუ ამ თანასწორობაში \ (\ დელტა x \) მიისწრაფვის ნულისკენ, მაშინ \ (\ დელტა y \) ნულისკენ მიისწრაფვის და ეს არის წერტილი ფუნქციის უწყვეტობის პირობა.
Ისე, თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ ის ასევე უწყვეტია ამ წერტილში.
პირიქით არ არის სიმართლე. მაგალითად: ფუნქცია y = | x | არის უწყვეტი ყველგან, კერძოდ x = 0 წერტილში, მაგრამ "შეერთების წერტილში" (0; 0) ფუნქციის გრაფის ტანგენცია არ არსებობს. თუ რაიმე მომენტში შეუძლებელია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახატვა, მაშინ ამ ეტაპზე არ არის წარმოებული.
კიდევ ერთი მაგალითი. ფუნქცია \ (y = \ sqrt (x) \) უწყვეტია მთელ რიცხვით წრფეზე, მათ შორის x = 0. წერტილში და ფუნქციის გრაფის ტანგენცია არსებობს ნებისმიერ წერტილში, მათ შორის x = 0 წერტილში მაგრამ ამ მომენტში tangent ხაზი ემთხვევა y ღერძს, ანუ ის არის აბსცესის ღერძის პერპენდიკულარული, მის განტოლებას აქვს ფორმა x = 0. ასეთი სწორი ხაზის დახრილობა არ არსებობს, ამიტომ ის არ არსებობს და \ (f "(0) \)
ასე რომ, ჩვენ გავეცანით ფუნქციის ახალ თვისებას - განსხვავებულობას. და როგორ შეგვიძლია ფუნქციის გრაფიკიდან დავასკვნათ მისი განსხვავებულობის შესახებ?
რეალურად პასუხი მიღებულია ზემოთ. თუ ფუნქციის გრაფიკზე რაღაც მომენტში შესაძლებელია ისეთი ტანგენტის დახატვა, რომელიც არ არის აბსცესის ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ ამ დროს ფუნქცია დიფერენცირებადია. თუ რაღაც მომენტში ფუნქციის გრაფის ტანგენცია არ არსებობს ან ის პერპენდიკულარულია აბსცესის ღერძზე, მაშინ ამ დროს ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი.
დიფერენცირების წესები
წარმოებულის პოვნის ოპერაციას ეწოდება დიფერენციაცია... ამ ოპერაციის შესრულებისას ხშირად გიწევთ მუშაობა კოეფიციენტებთან, ჯამებთან, ფუნქციების პროდუქტებთან, ასევე "ფუნქციების ფუნქციებთან", ანუ რთულ ფუნქციებთან. წარმოებულის განმარტების საფუძველზე შესაძლებელია დიფერენცირების წესების გამოტანა, რაც ხელს უწყობს ამ სამუშაოს. თუ C არის მუდმივი რიცხვი და f = f (x), g = g (x) არის დიფერენცირებადი ფუნქციები, მაშინ შემდეგი დიფერენცირების წესები:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $ $
ზოგიერთი ფუნქციის წარმოებული ცხრილი
$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $ $ $ $ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $ $ \ მარცხნივ (e ^ x \ მარჯვნივ) "= e ^ x $ $ $ $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $ $ $ $ (\ log_a x) "= \ ფრაკი (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $ $ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $ $ $ $ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ $ $ $ (\ arccos x) "= \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ $ $ $ (\ ტექსტი (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ $ $ $ (\ ტექსტი (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევისწავლით როგორ გამოვიყენოთ დიფერენცირების ფორმულები და წესები.
მაგალითები. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები.
1. y = x 7 + x 5 -x 4 + x 3 -x 2 + x -9. გამოიყენეთ წესი მე, ფორმულები 4, 2 და 1... ჩვენ ვიღებთ:
y '= 7x 6 + 5x 4 -4x 3 + 3x 2 -2x + 1.
2. y = 3x 6 -2x + 5. ჩვენ ვხსნით ანალოგიურად, იგივე ფორმულებისა და ფორმულის გამოყენებით 3.
y ’= 3 ∙ 6x 5 -2 = 18x 5 -2.
გამოიყენეთ წესი მე, ფორმულები 3, 5
და 6
და 1.
გამოიყენეთ წესი IV, ფორმულები 5 და 1 .
მეხუთე მაგალითში, წესის მიხედვით მეჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს და ჩვენ ახლახან ვიპოვეთ პირველი ტერმინის წარმოებული (მაგალითი 4 ), შესაბამისად, ჩვენ ვიპოვით წარმოებულებს მე -2და მე -3პირობები და 1 -ისთვისვადა, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავწეროთ შედეგი.
დიფერენცირება მე -2და მე -3პირობები ფორმულის მიხედვით 4
... ამისათვის ჩვენ მესამე და მეოთხე გრადუსების ფესვები გარდამქმნელებად ვაქცევთ უარყოფით ექსპონენტებთან ერთად ხარისხს და შემდეგ, 4
ფორმულა, ჩვენ ვპოულობთ ძალათა წარმოებულებს.
შეხედეთ ამ მაგალითს და შედეგს. გაქვთ ნიმუში? კარგი ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს ახალი ფორმულა და შეგვიძლია მისი დამატება წარმოებულების ცხრილში.
მოდით გადავწყვიტოთ მეექვსე მაგალითი და გამოვიტანოთ სხვა ფორმულა.
ჩვენ ვიყენებთ წესს IVდა ფორმულა 4
... შეამცირეთ მიღებული წილადები.
ჩვენ ვუყურებთ ამ ფუნქციას და მის წარმოებულს. თქვენ, რა თქმა უნდა, გესმით ნიმუში და მზად ხართ დაასახელოთ ფორმულა:
ისწავლეთ ახალი ფორმულები!
მაგალითები.
1. იპოვეთ არგუმენტის ზრდა და ფუნქციის ზრდა y = x 2თუ არგუმენტის საწყისი მნიშვნელობა იყო 4 და ახალი - 4,01 .
გამოსავალი.
ახალი არგუმენტის მნიშვნელობა x = x 0 + Δx... შეცვალეთ მონაცემები: 4.01 = 4 + Δx, აქედან გამომდინარე არგუმენტი იზრდება Δx= 4.01-4 = 0.01. ფუნქციის გაზრდა, განსაზღვრებით, უდრის განსხვავებას ფუნქციის ახალ და წინა მნიშვნელობებს შორის, ე.ი. Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0). ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ფუნქცია y = x 2, მაშინ Δy= (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx + (Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
პასუხი: არგუმენტის გაზრდა Δx= 0.01; ფუნქციის გაზრდა Δy=0,0801.
შესაძლებელი გახდა ფუნქციის გაზრდის პოვნა სხვაგვარად: Δy= y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4.01) -y (4) = 4.01 2 -4 2 = 16.0801-16 = 0.0801.
2. იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე y = f (x)წერტილში x 0, თუ f "(x 0) = 1.
გამოსავალი.
წარმოებული მნიშვნელობა tangency წერტილში x 0და არის ტანგენტის დახრის კუთხის ტანგენციის ღირებულება (წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა). Ჩვენ გვაქვს: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 °,რადგან tg45 ° = 1.
პასუხი: ამ ფუნქციის გრაფის ტანგენცია ქმნის კუთხეს ოქსის ღერძის პოზიტიური მიმართულების ტოლი 45 °.
3. ამოიღეთ ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა y = x n.
დიფერენციაციაარის ფუნქციის წარმოებულის პოვნის მოქმედება.
წარმოებულების პოვნისას გამოიყენება ფორმულები, რომლებიც მიღებული იყო წარმოებულის განმარტების საფუძველზე, ისევე, როგორც ჩვენ მივიღეთ მიღებული ხარისხის ფორმულა: (x n) "= nx n-1.
ეს არის ფორმულები.
წარმოებულების ცხრილიუფრო ადვილი იქნება დასამახსოვრებელი სიტყვიერი ფორმულირებების გამოთქმით:
1. მუდმივის წარმოებული არის ნული.
2. X ინსულტი ერთის ტოლია.
3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშანიდან.
4. ხარისხის წარმოებული უდრის ამ ხარისხის გამომხატველის პროდუქტს იმავე ფუძის მქონე ხარისხით, მაგრამ ექსპონენტი ერთით ნაკლებია.
5. ფესვის წარმოებული უდრის ერთს გაყოფილი ორ ერთსა და იმავე ფესვზე.
6. ერთეულის წარმოებული x გაყოფილი უდრის ერთს x კვადრატზე გაყოფილი.
7. სინუსის წარმოებული არის კოსინუსის ტოლი.
8. კოსინუსის წარმოებული უდრის მინუს სინუსს.
9. ტანგენტის წარმოებული უდრის ერთს კოსინუსის კვადრატზე.
10. კოტანგენტური წარმოებული უდრის მინუს ერთს გაყოფილი სინუს კვადრატზე.
ჩვენ ვასწავლით დიფერენცირების წესები.
1.
ალგებრული ჯამის წარმოებული უტოლდება ტერმინთა წარმოებულების ალგებრულ ჯამს.
2. პროდუქტის წარმოებული უდრის პირველი ფაქტორის წარმოებულის პროდუქტს მეორე პლუს პირველი ფაქტორის პროდუქტს მეორის წარმოებულით.
3. "Y" -ის წარმოებული "ve" -ზე უდრის წილადს, რომლის მრიცხველში "y არის ინსულტი გამრავლებული" ve "მინუს" y გამრავლებული პრემიერზე ", ხოლო მნიშვნელში -" ve კვადრატში " რა
4. ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა 3.
ჩვენ ერთად ვასწავლით!
გვერდი 1 1 – დან 1 1 – დან
