Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției o variabilă f (x) cu designul soluției în Word. Dacă funcția f (x, y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele de creștere și scădere ale funcției.
Reguli de introducere a funcției:
O condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile
Ecuația f "0 (x *) = 0 este o condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x *, derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Selectează punctele staționare xc la care funcția nu crește sau scade...Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile
Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită următoarea condiție:F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)> 0
Atunci punctul x * este punctul minimului local (global) al funcției.
Dacă la punctul x * este îndeplinită următoarea condiție:
F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)< 0
Punctul x * este maximul local (global).
Exemplul #1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie. 
Un punct critic x 1 = 2 (f '(x) = 0). Acest punct aparține segmentului de dreaptă. (Punctul x = 0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f (1) = 9, f (2) = 5/2, f (3) = 3 8/81
Răspuns: f min = 5/2 la x = 2; f max = 9 la x = 1
Exemplul nr. 2. Folosind derivatele de ordine superioară, găsiți extremul funcției y = x-2sin (x).
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y ’= 1-2cos (x). Aflați punctele critice: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Găsim y ’’ = 2sin (x), calculați, deci x = π / 3 + 2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; 
, deci x = - π / 3 + 2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.
Exemplul nr. 3. Explorați extremul funcției în vecinătatea punctului x = 0.
Soluţie. Aici este necesar să se găsească extremele funcției. Dacă extrema este x = 0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f (x = 0).
De remarcat că atunci când derivata de fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte, trebuie să aplicați alte metode pentru a studia funcțiile pentru extremum.
Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Următorul an școlar se apropie de sfârșit, toată lumea își dorește să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, trec imediat la treabă:
Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte ale planului. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv tot triunghiul (dacă de la limite„Gouge out” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă)... În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teoria analizei matematice sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.
O regiune plată este desemnată cu o literă ca standard și, de regulă, este stabilită analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. Cifra de afaceri tipică: „zonă închisă, delimitată de linii”.
O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția unei zone în desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz, 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață: 
Aceeași zonă poate fi setată și inegalități liniare:, care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă enumerată, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, toate inegalitățile, desigur, lax.
Și acum esența problemei. Imaginează-ți o axă care se extinde de la origine direct către tine. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct al zonei. Graficul acestei funcții reprezintă unele suprafaţă, iar o mică fericire constă în faptul că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm cum arată această suprafață. Poate fi situat mai sus, mai jos, să intersecteze planul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuu v limitat închis zona, functia atinge maximul (cel mai inalt") iar cel mai mic (cel mai mic") valorile pe care doriți să le găsiți. Astfel de valori sunt atinse sau v punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei zone. Din ceea ce urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:
Exemplul 1
Într-o zonă închisă limitată
Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona din desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, acestea sunt fixate unul după altul pe măsură ce se găsesc: 
Pe baza preambulului, este convenabil să împărțim decizia în două puncte:
I) Găsiți puncte staționare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. extrema mai multor variabile:
Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției în acest moment:
- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Este convenabil să le conturați într-un caiet cu un creion.
Atenție la a doua noastră fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru extremum... De ce? Chiar dacă la un moment dat funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci TOT NU ÎNSEAMNA că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .
Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie reținut că și treceți la următorul punct.
II) Explorați granița regiunii.
Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 subsecțiuni. Dar e mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai profitabil să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, situate pe axele în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură mișcare”:
1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:
Alternativ, îl puteți aranja astfel: 
Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„Sculpte” afară suprafaţă O parabolă „spațială”, al cărei vârf intră imediat sub bănuială. Să aflăm unde este ea:
- valoarea obținută a „lovit” zona și poate fi că la punctul respectiv (marca in desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Într-un fel sau altul, efectuăm calcule:
Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului de linie. Calculăm valorile funcției în puncte 
(marca in desen):
Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare verbală utilizând versiunea „dezvoltată”: 
2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, o înlocuim în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:
Aici vom efectua imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.
Situația geometrică este legată de punctul anterior:
- valoarea obținută este, de asemenea, „inclusă în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul care apare:
Să examinăm al doilea capăt al segmentului:
Folosind funcția 
, Hai să verificăm: 
3) Probabil că toată lumea știe să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:
Se termină segmentul 
au fost deja cercetate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit funcția corect 
:
- a coincis cu rezultatul de la al 1-lea paragraf;
- a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.
Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:
- există! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:
Marcam un punct în desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:
Să verificăm calculele conform versiunii „buget”. 
:
, Ordin.
Și pasul final: Privim cu ATENȚIE toate numerele „grase”, recomand ca începătorilor să facă chiar și o singură listă: 
din care selectăm cele mai mari și cele mai mici valori. Răspuns scriem în stilistica problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției de pe segment:
Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
- aici se afla cel mai inalt punct al suprafetei din zona;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.
În problema analizată am identificat 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o zonă triunghiulară, „setul de cercetare” minim este de trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când o funcție, de exemplu, se setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge cele mai mari / mai mici valori doar la vârfurile triunghiului. Dar există prea multe astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te ocupi de unele suprafata de ordinul 2.
Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci capul se poate întoarce din triunghiuri și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))
Exemplul 2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției 
într-o zonă închisă delimitată de linii
Exemplul 3
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.
Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de explorare a graniței regiunii, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.
Să sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu sârguința mea de păianjen, s-a pierdut cumva în firul lung de comentarii din primul exemplu:
- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În cursul soluției, vor apărea puncte care trebuie plasate pe desen.
- Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea dintre ele care apartin zonei. Selectăm valorile obținute în text (de exemplu, le conturăm cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține regiunii, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!
- Să explorăm granița zonei. În primul rând, este benefic să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (dacă există)... De asemenea, evidențiem valorile funcției calculate la punctele „suspecte”. S-au spus multe mai sus despre tehnica soluției, iar mai jos se va spune altceva - citiți, recitiți, aprofundați!
- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați răspunsul. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, 
și s-a dovedit a fi cea mai mică valoare. Apoi scriem asta
Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:
Exemplul 4
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă 
.
Am păstrat formularea autorului, în care regiunea este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă printr-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă: 
Vă reamintesc că de atunci neliniară inegalitățile pe care le-am întâlnit și dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a notației, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)
Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construirea unei zone, care este un fel de „talpă”: 
Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei...
I) Găsiți puncte staționare: 
Visul idiotului de sistem :)
Un punct staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.
Și așa este, nimic... lecția a mers vesel - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)
II) Explorați granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu abscisa:
1) Dacă, atunci
Aflați unde este vârful parabolei:
- apreciază astfel de momente - „loviți” chiar în punctul din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați: 
Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului: 
2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:
Control:
Acest lucru aduce deja o oarecare revigorare condusului monoton pe pista moletă. Să găsim punctele critice:
Rezolvăm ecuație pătratică, mai ții minte asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați fi citit aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele în fracții zecimale erau convenabile (ceea ce, de altfel, este o raritate), atunci aici așteptăm fracțiile obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și folosim ecuația pentru a determina coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”: 
Să calculăm valorile funcției în punctele găsite: 
Verificați singur funcția.
Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:
Aceștia sunt „candidați”, deci „candidați”!
Pentru o soluție independentă:
Exemplul 5
Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții 
într-o zonă închisă 
O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte, astfel încât”.
Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l aplica este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă o funcție este dată cu același domeniu "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit „într-o linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complexe în care, fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, aceeași ecuație a cercului) este greu de gestionat – cât de greu este să faci fără o odihnă bună!
Este bine ca toată lumea să treacă de sesiune și să ne vedem în curând în sezonul viitor!
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 2: Soluţie: descrieți zona din desen:
Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?
Pentru aceasta urmam algoritmul binecunoscut:
1 ... Găsim funcția ODZ.
2 ... Aflați derivata funcției
3 ... Echivalarea derivatei cu zero
4 ... Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:
Dacă pe intervalul I derivata funcției 0 "titlu =" (! LANG: f ^ (prim) (x)> 0">, то функция !} crește în acest interval.
Dacă derivata funcției pe intervalul I, atunci funcția scade in acest interval.
5 ... Găsim punctele maxime și minime ale funcției.
V punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”.
V punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.
6 ... Găsiți valoarea funcției la capetele segmentului,
- apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele, dacă trebuie să găsim cea mai mare valoare a funcției
- sau comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsim cea mai mică valoare a funcției
Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.
Luați în considerare funcția 
... Graficul acestei funcții arată astfel:
Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Bank de sarcini pentru
1 . Sarcina B15 (# 26695)
Pe segment.
1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x
Evident, aceste ecuații nu au soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x = 0.
Raspuns: 5.
2 . Sarcina B15 (# 26702)
Găsiți cea mai mare valoare a funcției 
pe segment.
1. Funcții ODZ titlu = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
Derivata este egală cu zero la, totuși, în aceste puncte nu își schimbă semnul:
Prin urmare, titlu = „(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la.
Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:
Titlu = "(! LANG: y ^ (prim) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}
Raspuns: 5.
3. Sarcina B15 (# 26708)
Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.
1. Funcția ODZ: titlu = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
Asezam radacinile acestei ecuatii pe un cerc trigonometric.
Există două numere între ele: și
Să punem semnele. Pentru a face acest lucru, definim semnul derivatei în punctul x = 0: 
... La trecerea prin puncte și derivata își schimbă semnul.
Să reprezentăm schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:
Evident, punctul este un punct minim (la el, derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului,.
Declarația problemei 2:
Este dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Este necesar să se găsească cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe acest interval.
Baza teoretica.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):
Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.
Funcția poate atinge cele mai mari și cele mai mici valori fie în punctele interioare ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile. 
Explicaţie:
1) Funcția atinge valoarea maximă la marginea stângă a intervalului într-un punct, iar cea mai mică valoare la marginea dreaptă a intervalului într-un punct.
2) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct (acesta este un punct maxim), iar cea mai mică valoare la marginea dreaptă a intervalului într-un punct.
3) Funcția atinge valoarea maximă la marginea din stânga a intervalului într-un punct și cea mai mică valoare într-un punct (acesta este un punct minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct și cea mai mică valoare într-un punct (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct (acesta este un punct maxim) și cea mai mică valoare într-un punct (acesta este un punct minim).
Cometariu:
„Maximă” și „valoare maximă” sunt lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.
Algoritmul de rezolvare a problemei 2.
4) Selectați cea mai mare (cea mai mică) valoare dintre valorile obținute și notați răspunsul.
Exemplul 4:
Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției 
pe segment.
Soluţie:
1) Aflați derivata funcției. 
2) Găsiți puncte staționare (și puncte suspecte de un extremum) rezolvând ecuația. Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe. 
3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.
4) Selectați cea mai mare (cea mai mică) valoare dintre valorile obținute și notați răspunsul.
Funcția de pe acest segment atinge valoarea maximă în punctul cu coordonate.
Funcția de pe acest segment atinge cea mai mică valoare într-un punct cu coordonate.
Corectitudinea calculelor poate fi verificată privind graficul funcției studiate. 
Cometariu: Funcția atinge valoarea maximă în punctul maxim, iar cea mai mică - la marginea segmentului.
Un caz special.
Să presupunem că doriți să găsiți valoarea maximă și minimă a unei funcții pe un segment. După finalizarea primului pas al algoritmului, i.e. calculând derivata, devine clar că, de exemplu, ia doar valori negative pe întregul interval considerat. Amintiți-vă că dacă derivata este negativă, atunci funcția scade. Am obținut că funcția scade pe întregul segment. Această situație este prezentată în graficul nr.1 de la începutul articolului.
Pe un segment, funcția scade, adică. nu are puncte extreme. Din imagine puteți vedea că funcția va lua cea mai mică valoare pe marginea dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare - în stânga. dacă derivata pe interval este peste tot pozitivă, atunci funcția crește. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.
