Rezolvarea inegalităților exponențiale: metode de bază. Inegalități liniare, exemple, soluții

Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva complex și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...

Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna rezolvate simplu. Ei bine, aproape întotdeauna.

Astăzi vom analiza acest subiect în interior și în exterior. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Sa incepem cu sarcini simpleși vom trece la probleme mai complexe. Nu va fi nicio muncă grea astăzi, dar ceea ce urmează să citiți va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților la toate tipurile de teste și teste. muncă independentă. Și la acest examen al tău.

Ca întotdeauna, să începem cu definiția. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei

\[((a)^(x)) \gt b\]

Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da, te rog:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(align)\]

Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri deosebit de clinice, în loc de variabila $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea.

Desigur, în unele cazuri inegalitatea poate părea mai gravă. De exemplu:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Sau chiar asta:

În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar în cele din urmă ele încă se reduc la construcția simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom da seama cumva de o astfel de construcție (în cazuri mai ales clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vă vom învăța cum să rezolvați astfel de construcții simple.

Rezolvarea inegalităților exponențiale simple

Să luăm în considerare ceva foarte simplu. De exemplu, aceasta:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă într-o formă foarte convenabilă:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Și acum mâinile mele sunt mâncărime să le „trisească” pe cei doi din bazele puterilor pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia orice, să ne amintim puterile a doi:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

După cum vedem, decât număr mai mare este în exponent, cu atât numărul de ieșire este mai mare. — Mulțumesc, Cap! – va exclama unul dintre elevi. Este diferit? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică, împărțit la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:

Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
Și invers, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.

Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație pe care se bazează întreaga decizie inegalități exponențiale:

Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.

Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza mai putin de unul, atunci poate fi și eliminat, dar în același timp va trebui să schimbați semnul inegalității.

Vă rugăm să rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri apare incertitudinea. Să spunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Unul pentru orice putere va da din nou unul - nu vom primi niciodată trei sau mai multe. Acestea. nu exista solutii.

Din motive negative, totul este și mai interesant. De exemplu, luați în considerare această inegalitate:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

La prima vedere, totul este simplu:

Dreapta? Dar nu! Este suficient să înlocuiți în loc de $x$ câte un cuplu par și un cuplu numere impare pentru a vă asigura că soluția este incorectă. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există mai mult puteri fracționateși alte tablă. Cum, de exemplu, ați ordona să calculați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi la puterea lui șapte)? În nici un caz!

Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, apropo, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]

În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza într-o ecuație exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, îndepărtată, dar semnul inegalității se va schimba.

Exemple de soluții

Deci, să ne uităm la câteva inegalități exponențiale simple:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Sarcina principală în toate cazurile este aceeași: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Este exact ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile gradelor și ale funcțiilor exponențiale. Deci să mergem!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ce poți face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie orientativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!

Cu toate acestea, să ne amintim regulile de lucru cu fracții și puteri:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracțiune transformând-o într-o putere cu exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul are o rădăcină, ar fi bine să-l transformăm într-o putere - de data aceasta cu un exponent fracționar.

Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, exponenții acestor grade se adună. Și, în general, atunci când lucrezi cu ecuații exponențialeși inegalități este absolut necesar să cunoaștem cel puțin cele mai simple reguli de lucru cu puteri:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

De fapt, tocmai am aplicat ultima regulă. Prin urmare, inegalitatea noastră inițială va fi rescrisă după cum urmează:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Acum scăpăm de cele două de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității va rămâne același:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și rapid la forma sa cea mai simplă.

Luați în considerare a doua inegalitate:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Asa si asa. Fracțiile zecimale ne așteaptă aici. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri ar trebui să scapi de zecimale - aceasta este adesea singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și simplă. Aici vom scăpa de:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Aici avem din nou cea mai simplă inegalitate și chiar și cu o bază de 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mult”, și obținem:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți: răspunsul este tocmai o mulțime, și în niciun caz o construcție de forma $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!

Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare decât unu. Aruncă o privire:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

După o astfel de transformare, vom obține din nou o inegalitate exponențială, dar cu o bază de 10 > 1. Aceasta înseamnă că putem tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, răspunsul a fost exact același. În același timp, ne-am ferit de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit orice regulă.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cu toate acestea, nu lăsați acest lucru să vă sperie. Indiferent de ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, să remarcăm mai întâi că 16 = 2 4. Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ura! Am obținut inegalitatea pătratică obișnuită! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este doi - un număr mai mare decât unu.

Zerurile unei funcții pe linia numerică

Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor exista „plusuri”. ” pe laterale. Ne interesează regiunea în care funcția este mai mică decât zero, adică. $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.

În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală la bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

ÎN în acest caz, Am folosit observația anterioară - am redus baza la numărul 5 > 1 pentru a simplifica soluția noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de ambele transformări:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2))\dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]

Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și depășesc unul. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „trăgem” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Aici trebuie să fii mai atent. Mulți studenți le place să ia pur și simplu rădăcina pătrată a ambelor părți ale inegalității și să scrie ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. În niciun caz nu trebuie făcut acest lucru , deoarece rădăcina unui pătrat exact este un modul și în niciun caz o variabilă originală:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]

Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu-i așa? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Marcam din nou punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:

Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.

În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în ceea ce privește inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un algoritm simplu:

Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
Efectuați cu atenție transformările pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în loc de variabilele $x$ și $n$ pot fi mult mai multe funcții complexe, dar sensul nu se va schimba;
Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.

De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vă vor spune despre acest subiect este doar tehnici și trucuri specifice care vor simplifica și accelera transformarea. Vom vorbi despre una dintre aceste tehnici acum :)

Metoda raționalizării

Să luăm în considerare un alt set de inegalități:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Deci, ce este atât de special la ei? Sunt usoare. Deși, oprește-te! Este numărul π ridicat la o anumită putere? Ce nonsens?

Cum se ridică numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Scriitorii cu probleme au băut, evident, prea mult Hawthorn înainte de a se așeza la muncă :)

De fapt, nu este nimic înfricoșător în aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja asta. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de observat dacă le compari cu zero.

Se pare că toate aceste inegalități „înfricoșătoare” sunt rezolvate cu nimic diferit de cele simple discutate mai sus? Și sunt rezolvate în același mod? Da, este absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare o tehnică care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci, atentie:

Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.

Asta e toată metoda :) Te-ai gândit că va exista un alt joc? Nimic de genul asta! Dar acest fapt simplu, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Deci nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare o nouă problemă: ce să faci cu blestemul de multiplicare \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm care este valoarea exactă a numărului π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

În general, valoarea exactă a lui π nu ne privește cu adevărat - este important doar pentru noi să înțelegem că, în orice caz, $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. aceasta este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în anumit moment A trebuit să împart cu minus unu - și semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătratic folosind teorema lui Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=-1$ . Apoi totul este rezolvat folosind metoda clasică a intervalului:

Rezolvarea inegalității folosind metoda intervalului

Toate punctele sunt eliminate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează regiunea cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. Asta e solutia :)

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Totul aici este în general simplu, deoarece există o unitate în dreapta. Și ne amintim că unu este orice număr ridicat la puterea zero. Chiar dacă acest număr este expresie irațională, stând la baza din stânga:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]

Ei bine, hai să raționalizăm:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tot ce rămâne este să descoperi semnele. Factorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea la ea, semnul inegalității originale se schimbă în opus:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Acum totul devine complet evident. Rădăcini trinom pătratic, stând în dreapta: $((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Cazul când ne interesează intervalele laterale

Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Să trecem la următorul exemplu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]

Ei bine, totul este complet evident aici: bazele conțin puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x \dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în timpul procesului de transformare a trebuit să ne înmulțim cu un număr negativ, deci semnul inegalității s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza trinomul pătratic. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oricine poate verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

După cum puteți vedea, la bază există din nou un număr irațional, iar în dreapta este din nou o unitate. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]

Aplicam rationalizarea:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Mutați-vă la o altă bază

O problemă separată la rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, nu este întotdeauna evident la prima vedere asupra unei sarcini ce să ia ca bază și ce să facă în funcție de gradul acestei baze.

Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie sau tehnologie „secretă”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru aceasta va trebui să rezolvați probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, așa:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]

Dificil? Infricosator? E mai ușor decât să lovești un pui pe asfalt! Sa incercam. Prima inegalitate:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ei bine, cred că totul este clar aici:

Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza două:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, ați auzit bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să aducem totul la un numitor comun și să scăpăm de factorul constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. Există trei puncte în total care trebuie marcate pe linia numerică (toate punctele sunt fixate deoarece semnul inegalității este strict). Primim:

Mai mult caz dificil: trei rădăcini

După cum ați putea ghici, umbrirea marchează acele intervale la care expresia din stânga ia valori negative. Prin urmare, răspunsul final va include două intervale simultan:

Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară verificarea suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără ODZ, fără restricții etc.

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2 \dreapta) \dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în a treia linie am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar două au fost reduse cu un factor constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți când vă înregistrați calcule reale pe independentă şi teste— nu este nevoie să descriem fiecare acțiune și transformare.

În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerouri ale numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este resetat numai când $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că în dreapta lui $x=0$ fracția va lua valori pozitive, iar în stânga - negativă. Deoarece ne interesează valorile negative, răspunsul final este: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Ce ar trebui să faci cu fracțiile zecimale din inegalitățile exponențiale? Așa este: scapă de ele, transformându-le în altele obișnuite. Aici vom traduce:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ stânga(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\dreapta))^(x)). \\\end(align)\]

Deci, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc inverse:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]

Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. În plus, am reprezentat unitatea din dreapta, tot ca putere în baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. al doilea factor este o constantă negativă, iar la împărțirea la acesta, semnul inegalității se va schimba:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\în \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

În principiu, ideea soluției de aici este, de asemenea, clară: totul funcții exponențiale, inclusă în inegalitate, trebuie redusă la baza „3”. Dar pentru asta va trebui să te chinui puțin cu rădăcini și puteri:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Luând în considerare aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\dreapta))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Atenție la rândurile 2 și 3 ale calculelor: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că o aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Atâta timp cât aveți niște factori stângaci, constante suplimentare etc. în stânga sau în dreapta, nu poate fi efectuată nicio raționalizare sau „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost finalizate incorect din cauza neînțelegerii acestui fapt simplu. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.

Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Să ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Asta e tot. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolarea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile

În concluzie, propun rezolvarea a încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, emiterea factori comuni din paranteze.

Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi ce anume poate fi scos din paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Să începem de la prima linie. Să scriem separat această inegalitate:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, deci mâna dreaptă partea poate fi rescrisa:

Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare nicăieri altundeva, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Avem:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Cam așa trebuie să elaborezi o soluție pentru teste reale și muncă independentă.

Ei bine, hai să încercăm ceva mai complicat. De exemplu, iată inegalitatea:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Totuși, 25 = 5 2, deci primul termen poate fi transformat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

După cum puteți vedea, mai întâi am adus totul la aceeasi baza, și apoi a observat că primul termen poate fi redus cu ușurință la al doilea - trebuie doar să extindeți exponentul. Acum puteți introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Și din nou, fără dificultăți! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Să trecem la inegalitatea finală în lecția de astăzi:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, zecimal la baza gradului I. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Grozav, am făcut primul pas – totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să selectați expresie stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Desigur, poate apărea întrebarea: cum am descoperit că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Același lucru este valabil și cu trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt gradele sale) și cu șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cele cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Desigur, dacă doriți, toate aceste numere pot fi restaurate în mintea voastră prin simpla înmulțire succesivă între ele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvați mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care doriți să vă gândiți este puterile unor numere. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice” care sunt rezolvate prin metoda intervalului.

Lecție și prezentare pe tema: „Sisteme de inegalități. Exemple de soluții”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Manual interactiv pentru clasa a 9-a „Reguli și exerciții de geometrie”
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9

Sistemul de inegalități

Băieți, ați studiat inegalitățile liniare și pătratice și ați învățat cum să rezolvați probleme pe aceste subiecte. Acum să trecem la un nou concept în matematică - un sistem de inegalități. Un sistem de inegalități este similar cu un sistem de ecuații. Îți amintești sistemele de ecuații? Ai studiat sistemele de ecuații în clasa a șaptea, încearcă să-ți amintești cum le-ai rezolvat.

Să introducem definiția unui sistem de inegalități.
Mai multe inegalități cu o variabilă x formează un sistem de inegalități dacă trebuie să găsiți toate valorile lui x pentru care fiecare dintre inegalitățile formează un adevărat expresie numerică.

Orice valoare a lui x pentru care fiecare inegalitate are expresia numerică corectă este o soluție a inegalității. Poate fi numită și o soluție privată.
Ce este o soluție privată? De exemplu, în răspuns am primit expresia x>7. Atunci x=8, sau x=123, sau orice alt număr mai mare de șapte este o soluție particulară, iar expresia x>7 este decizie comună. Soluția generală este formată din multe soluții private.

Cum am combinat sistemul de ecuații? Așa e, o acoladă, și deci fac același lucru cu inegalitățile. Să ne uităm la un exemplu de sistem de inegalități: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Dacă sistemul de inegalități constă din expresii identice, de exemplu, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Deci, ce înseamnă: a găsi o soluție la un sistem de inegalități?
O soluție a unei inegalități este un set de soluții parțiale ale unei inegalități care satisfac ambele inegalități ale sistemului simultan.

Scriem forma generală a sistemului de inegalități ca $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Să notăm $Х_1$ ca soluție generală a inegalității f(x)>0.
$X_2$ este soluția generală a inegalității g(x)>0.
$X_1$ și $X_2$ sunt un set de soluții speciale.
Soluția sistemului de inegalități va fi numerele aparținând atât $X_1$ cât și $X_2$.
Să ne amintim operațiunile pe platouri. Cum găsim elemente dintr-o mulțime care aparțin ambelor mulțimi simultan? Așa este, există o operațiune de intersecție pentru asta. Deci, soluția inegalității noastre va fi mulțimea $A= X_1∩ X_2$.

Exemple de soluții la sisteme de inegalități

Să ne uităm la exemple de rezolvare a sistemelor de inegalități.

Rezolvați sistemul de inegalități.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Soluţie.
a) Rezolvați fiecare inegalitate separat.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Să ne marchem intervalele pe o singură linie de coordonate.

Soluția sistemului va fi segmentul de intersecție al intervalelor noastre. Inegalitatea este strictă, atunci segmentul va fi deschis.
Răspuns: (1;3).

B) De asemenea, vom rezolva fiecare inegalitate separat.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5$.

Soluția sistemului va fi segmentul de intersecție al intervalelor noastre. A doua inegalitate este strictă, apoi segmentul va fi deschis în stânga.
Răspuns: (-5; 5].

Să rezumam ceea ce am învățat.
Să presupunem că este necesar să rezolvăm sistemul de inegalități: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Apoi, intervalul ($x_1; x_2$) este soluția primei inegalități.
Intervalul ($y_1; y_2$) este soluția celei de-a doua inegalități.
Soluția unui sistem de inegalități este intersecția soluțiilor fiecărei inegalități.

Sistemele de inegalități pot consta nu numai din inegalități de ordinul întâi, ci și din orice alte tipuri de inegalități.

Reguli importante pentru rezolvarea sistemelor de inegalități.
Dacă una dintre inegalitățile sistemului nu are soluții, atunci întregul sistem nu are soluții.
Dacă una dintre inegalități este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei, atunci soluția sistemului va fi soluția celeilalte inegalități.

Exemple.
Rezolvați sistemul de inegalități:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Soluţie.
Să rezolvăm fiecare inegalitate separat.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Să rezolvăm a doua inegalitate.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Soluția inegalității este intervalul.
Să desenăm ambele intervale pe aceeași linie și să găsim intersecția.
Intersecția intervalelor este segmentul (4; 6).
Răspuns: (4;6].

Rezolvați sistemul de inegalități.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.

Soluţie.
a) Prima inegalitate are o soluție x>1.
Să găsim discriminantul pentru a doua inegalitate.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Să ne amintim de regula: când una dintre inegalități nu are soluții, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: Nu există soluții.

B) Prima inegalitate are o soluție x>1.
A doua inegalitate este mai mare decât zero pentru tot x. Atunci soluția sistemului coincide cu soluția primei inegalități.
Răspuns: x>1.

Probleme privind sistemele de inegalități pentru soluție independentă

Rezolvarea sistemelor de inegalități:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36

Acum puteți înțelege cum sunt rezolvate inegalitățile liniare a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Principala modalitate de a le rezolva este de a folosi transformări echivalente care să permită ajungerea la a≠0 to inegalități elementare tip x

, ≥), p - un anumit număr, care sunt soluția dorită, iar pentru a=0 - la inegalitățile numerice de forma a

, ≥), din care se trage o concluzie despre soluția inegalității inițiale. O vom analiza mai întâi.

De asemenea, nu strica să te uiți la rezolvarea inegalităților liniare dintr-o variabilă din alte perspective. Prin urmare, vom arăta și modul în care inegalitatea liniară poate fi rezolvată grafic și folosind metoda intervalului.

Folosind transformări echivalente

Trebuie să rezolvăm inegalitatea liniară a x+b<0 (≤, >, ≥). Să arătăm cum se face acest lucru folosind transformări de inegalități echivalente.

Abordările diferă în funcție de faptul că coeficientul a al variabilei x este egal sau nu egal cu zero. Să le privim unul câte unul. Mai mult, atunci când luăm în considerare, vom adera la o schemă în trei puncte: mai întâi vom oferi esența procesului, apoi vom oferi un algoritm pentru rezolvarea unei inegalități liniare și, în final, vom oferi soluții la exemple tipice.

Sa incepem cu algoritm pentru rezolvarea inegalității liniare a x+b<0 (≤, >, ≥) pentru a≠0.

În primul rând, numărul b este transferat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus. Acest lucru ne permite să trecem la inegalitatea echivalentă a x<−b (≤, >, ≥).
În al doilea rând, ambele părți ale inegalității rezultate sunt împărțite la un număr diferit de zero a. Mai mult, dacă a este un număr pozitiv, atunci semnul inegalității este păstrat, iar dacă a este un număr negativ, atunci semnul inegalității este inversat. Rezultatul este o inegalitate elementară echivalentă cu inegalitatea liniară inițială, iar acesta este răspunsul.

Rămâne de înțeles aplicarea algoritmului anunțat folosind exemple. Să considerăm cum poate fi folosit pentru a rezolva inegalitățile liniare pentru a≠0.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 3·x+12≤0.

Soluţie.

Pentru o inegalitate liniară dată avem a=3 și b=12. Evident, coeficientul a pentru variabila x este diferit de zero. Să folosim algoritmul de soluție corespunzător dat mai sus.

Mai întâi, mutăm termenul 12 în partea dreaptă a inegalității, fără a uita să-i schimbăm semnul, adică −12 va apărea în partea dreaptă. Ca rezultat, ajungem la inegalitatea echivalentă 3·x≤−12.

Și, în al doilea rând, împărțim ambele părți ale inegalității rezultate la 3, deoarece 3 este un număr pozitiv, nu schimbăm semnul inegalității. Avem (3 x):3≤(−12):3, care este același cu x≤−4.

Inegalitatea elementară rezultată x≤−4 este echivalentă cu inegalitatea liniară inițială și este soluția dorită a acesteia.

Deci, soluția inegalității liniare 3 x + 12≤0 este orice număr real mai mic sau egal cu minus patru. Răspunsul poate fi scris și sub forma unui interval numeric corespunzător inegalității x≤−4, adică ca (−∞, −4] .

După ce au dobândit abilități de lucru cu inegalitățile liniare, soluțiile acestora pot fi scrise pe scurt, fără explicații. În acest caz, notați mai întâi inegalitatea liniară inițială, iar mai jos - inegalitățile echivalente obținute la fiecare pas al soluției:
3 x+12≤0;
3 x≤−12;
x≤−4 .

Răspuns:

x≤−4 sau (−∞, −4] .

Exemplu.

Enumerați toate soluțiile inegalității liniare −2,7·z>0.

Soluţie.

Aici coeficientul a pentru variabila z este egal cu −2,7. Și coeficientul b este absent în mod explicit, adică este egal cu zero. Prin urmare, primul pas al algoritmului pentru rezolvarea unei inegalități liniare cu o variabilă nu trebuie efectuat, deoarece mutarea unui zero din partea stângă la dreapta nu va schimba forma inegalității inițiale.

Rămâne să împărțim ambele părți ale inegalității la −2,7, fără a uita să schimbăm semnul inegalității în cel opus, deoarece −2,7 este un număr negativ. Avem (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , și apoi z<0 .

Și acum pe scurt:
−2,7·z>0;
z<0 .

Răspuns:

z<0 или (−∞, 0) .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate liniară cu coeficientul a pentru variabila x egală cu −5 și cu coeficientul b, care corespunde fracției −15/22. Procedăm după schema binecunoscută: mai întâi transferăm −15/22 în partea dreaptă cu semnul opus, după care împărțim ambele părți ale inegalității la numărul negativ −5, schimbând în același timp semnul inegalității:

Ultima tranziție din partea dreaptă folosește , apoi executat .

Răspuns:

Acum să trecem la cazul când a=0. Principiul rezolvării inegalității liniare a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Pe ce se bazează asta? Foarte simplu: la determinarea soluției inegalității. Cum? Da, iată cum: indiferent de ce valoare a variabilei x o înlocuim în inegalitatea liniară inițială, vom obține o inegalitate numerică de forma b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Să formulăm argumentele de mai sus sub forma algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Se consideră inegalitatea numerică b<0 (≤, >, ≥) și

dacă este adevărat, atunci soluția inegalității inițiale este orice număr;
dacă este falsă, atunci inegalitatea liniară inițială nu are soluții.

Acum să înțelegem asta cu exemple.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 0·x+7>0.

Soluţie.

Pentru orice valoare a variabilei x, inegalitatea liniară 0 x+7>0 se va transforma în inegalitatea numerică 7>0. Ultima inegalitate este adevărată, prin urmare, orice număr este o soluție a inegalității inițiale.

Răspuns:

soluția este orice număr sau (−∞, +∞) .

Exemplu.

Are inegalitatea liniară 0·x−12.7≥0 soluții?

Soluţie.

Dacă înlocuiți orice număr în loc de variabila x, atunci inegalitatea inițială se transformă într-o inegalitate numerică −12,7≥0, ceea ce este incorect. Aceasta înseamnă că niciun număr nu este o soluție a inegalității liniare 0·x−12.7≥0.

Răspuns:

nu, nu.

Pentru a încheia această secțiune, vom analiza soluțiile la două inegalități liniare, ai căror coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplu.

Care dintre inegalitățile liniare 0·x+0>0 și 0·x+0≥0 nu are soluții și care are infinite de soluții?

Soluţie.

Dacă înlocuiți orice număr în loc de variabila x, atunci prima inegalitate va lua forma 0>0, iar a doua – 0≥0. Prima dintre ele este incorectă, iar a doua este corectă. În consecință, inegalitatea liniară 0·x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0·x+0≥0 are infinite soluții, și anume, soluția sa este orice număr.

Răspuns:

inegalitatea 0 x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0 x+0≥0 are infinite de soluții.

Metoda intervalului

În general, metoda intervalelor este studiată într-un curs de algebră școlară mai târziu decât subiectul rezolvării inegalităților liniare într-o variabilă. Dar metoda intervalului vă permite să rezolvați o varietate de inegalități, inclusiv cele liniare. Prin urmare, să ne oprim asupra ei.

Să observăm imediat că este recomandabil să folosim metoda intervalului pentru a rezolva inegalitățile liniare cu un coeficient diferit de zero pentru variabila x. În caz contrar, este mai rapid și mai convenabil să trageți o concluzie despre soluția inegalității folosind metoda discutată la sfârșitul paragrafului anterior.

Metoda intervalului presupune

introducerea unei funcții corespunzătoare laturii stângi a inegalității, în cazul nostru – funcție liniară y=a x+b ,
găsirea zerourilor sale, care împart domeniul definiției în intervale,
determinarea semnelor care au valori de funcție pe aceste intervale, pe baza cărora se face o concluzie despre soluția unei inegalități liniare.

Să colectăm aceste momente în algoritm, dezvăluind cum se rezolvă inegalitățile liniare a x+b<0 (≤, >, ≥) pentru a≠0 folosind metoda intervalului:

Se găsesc zerourile funcției y=a·x+b, pentru care se rezolvă a·x+b=0. După cum se știe, pentru a≠0 are o singură rădăcină, pe care o notăm x 0 .
Este construit și un punct cu coordonata x 0 este reprezentat pe el. Mai mult, dacă se rezolvă o inegalitate strictă (cu semnul< или >), atunci acest punct se pune punctat (cu un centru gol), iar dacă nu este strict (cu semn ≤ sau ≥), atunci se pune un punct regulat. Acest punct împarte linia de coordonate în două intervale (−∞, x 0) și (x 0, +∞).
Se determină semnele funcției y=a·x+b pe aceste intervale. Pentru a face acest lucru, valoarea acestei funcții este calculată în orice punct al intervalului (−∞, x 0), iar semnul acestei valori va fi semnul dorit pe interval (−∞, x 0). În mod similar, semnul de pe intervalul (x 0 , +∞) coincide cu semnul valorii funcției y=a·x+b în orice punct al acestui interval. Dar puteți face fără aceste calcule și puteți trage concluzii despre semne pe baza valorii coeficientului a: dacă a>0, atunci pe intervalele (−∞, x 0) și (x 0, +∞) va exista semnele − și respectiv +, iar dacă a >0, atunci + și −.
Dacă se rezolvă inegalitățile cu semne > sau ≥, atunci se plasează o hașura peste decalaj cu semnul plus, iar dacă se rezolvă inegalitățile cu semne< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unei inegalități liniare folosind metoda intervalului.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea −3·x+12>0.

Soluţie.

Deoarece analizăm metoda intervalului, o vom folosi. Conform algoritmului, găsim mai întâi rădăcina ecuației −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Apoi, desenăm o linie de coordonate și marchem un punct pe ea cu coordonata 4 și facem acest punct perforat, deoarece rezolvăm o inegalitate strictă:

Acum determinăm semnele pe intervale. Pentru a determina semnul intervalului (−∞, 4), puteți calcula valoarea funcției y=−3·x+12, de exemplu, la x=3. Avem −3·3+12=3>0, ceea ce înseamnă că există un semn + pe acest interval. Pentru a determina semnul pe alt interval (4, +∞), puteți calcula valoarea funcției y=−3 x+12, de exemplu, în punctul x=5. Avem −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, desenăm umbrirea peste decalajul cu semnul +, desenul ia forma

Pe baza imaginii rezultate, concluzionăm că soluția dorită este (−∞, 4) sau în altă notație x<4 .

Răspuns:

(−∞, 4) sau x<4 .

Grafic

Este util să înțelegem interpretarea geometrică a rezolvării inegalităților liniare într-o variabilă. Pentru a-l obține, să considerăm patru inegalități liniare cu aceeași parte stângă: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 și 0,5 x−1≥0 , soluțiile lor sunt x<2 , x≤2 , x>2 și x≥2 și, de asemenea, desenați un grafic al funcției liniare y=0,5 x−1.

Este ușor de observat asta

soluția inegalității 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
soluția inegalității 0,5 x−1≤0 reprezintă intervalul în care graficul funcției y=0,5 x−1 se află sub axa Ox sau coincide cu aceasta (cu alte cuvinte, nu deasupra axei absciselor),
în mod similar, soluția inegalității 0,5 x−1>0 este intervalul în care graficul funcției este deasupra axei Ox (această parte a graficului este afișată cu roșu),
iar soluția inegalității 0,5·x−1≥0 este intervalul în care graficul funcției este mai mare sau coincide cu axa absciselor.

Metoda grafică de rezolvare a inegalităților, în special liniară, și presupune găsirea de intervale în care graficul funcției corespunzătoare laturii stângi a inegalității se află deasupra, dedesubt, nu sub sau nu deasupra graficului funcției corespunzătoare laturii drepte a inegalității. În cazul nostru de inegalitate liniară, funcția corespunzătoare laturii stângi este y=a·x+b, iar partea dreaptă este y=0, coincizând cu axa Ox.

Având în vedere informațiile oferite, este ușor de formulat algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților liniare:

Se construiește (schematic posibil) un grafic al funcției y=a x+b și

la rezolvarea inegalității a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
la rezolvarea inegalității a x+b≤0 se determină intervalul în care graficul este mai mic sau coincide cu axa Ox,
la rezolvarea inegalității a x+b>0 se determină intervalul în care graficul este deasupra axei Ox,
la rezolvarea inegalităţii a·x+b≥0 se determină intervalul în care graficul este mai mare sau coincide cu axa Ox.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea grafic.

Soluţie.

Să schițăm un grafic al unei funcții liniare . Aceasta este o linie dreaptă care este în scădere, deoarece coeficientul lui x este negativ. Avem nevoie și de coordonatele punctului său de intersecție cu axa x, este rădăcina ecuației , care este egal cu . Pentru nevoile noastre, nici nu trebuie să descriem axa Oy. Deci desenul nostru schematic va arăta astfel

Deoarece rezolvăm o inegalitate cu semnul >, ne interesează intervalul în care graficul funcției se află deasupra axei Ox. Pentru claritate, să evidențiem această parte a graficului cu roșu, iar pentru a determina cu ușurință intervalul corespunzător acestei părți, să evidențiem cu roșu partea din planul de coordonate în care se află partea selectată a graficului, ca în figura de mai jos:

Decalajul care ne interesează este partea axei Ox care este evidențiată cu roșu. Evident, acesta este un fascicul de numere deschis . Aceasta este soluția pe care o căutăm. Rețineți că dacă am rezolva inegalitatea nu cu semnul >, ci cu semnul inegalității nestricte ≥, atunci ar trebui să adăugăm în răspuns, deoarece în acest moment graficul funcției coincide cu axa Ox .y=0·x+7, care este aceeași cu y=7, definește o dreaptă pe planul de coordonate paralel cu axa Ox și situată deasupra acesteia. Prin urmare, inegalitatea 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Iar graficul funcției y=0·x+0, care este același cu y=0, este o linie dreaptă care coincide cu axa Ox. Prin urmare, soluția inegalității 0·x+0≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:

a doua inegalitate, soluția sa este orice număr real.

Inegalități care se reduc la liniare

Un număr mare de inegalități pot fi înlocuite cu inegalități liniare echivalente folosind transformări echivalente, cu alte cuvinte, reduse la o inegalitate liniară. Astfel de inegalități se numesc inegalități care se reduc la liniare.

La școală, aproape concomitent cu rezolvarea inegalităților liniare, sunt luate în considerare și inegalitățile simple care se reduc la liniare. Sunt cazuri speciale inegalități întregi, și anume în părțile lor din stânga și din dreapta există expresii întregi care reprezintă sau binoame liniare, sau sunt convertite la acestea prin și . Pentru claritate, dăm câteva exemple de astfel de inegalități: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Inegalitățile care sunt similare ca formă cu cele indicate mai sus pot fi întotdeauna reduse la cele liniare. Acest lucru se poate face prin deschiderea parantezelor, aducerea de termeni similari, rearanjarea termenilor și mutarea termenilor dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus.

De exemplu, pentru a reduce inegalitatea 5−2 x>0 la liniară, este suficient să rearanjam termenii din partea stângă, avem −2 x+5>0. Pentru a reduce a doua inegalitate 7·(x−1)+3≤4·x−2+x la liniar, aveți nevoie de câțiva pași: în partea stângă deschidem parantezele 7·x−7+3≤4· x−2+x , după Pentru a face acest lucru, prezentăm termeni similari în ambele părți 7 x−4≤5 x−2 , apoi transferăm termenii din partea dreaptă în stânga 7 x−4−5 x+2≤ 0 , în final, prezentăm termeni similari în partea stângă 2 ·x−2≤0 . În mod similar, a treia inegalitate poate fi redusă la o inegalitate liniară.

Datorită faptului că astfel de inegalități pot fi întotdeauna reduse la inegalități liniare, unii autori le numesc chiar și liniare. Dar le vom considera în continuare reductibile la liniare.

Acum devine clar de ce astfel de inegalități sunt considerate împreună cu inegalitățile liniare. Iar principiul soluției lor este absolut același: efectuând transformări echivalente, ele pot fi reduse la inegalități elementare care reprezintă soluțiile dorite.

Pentru a rezolva o inegalitate de acest tip, o puteți reduce mai întâi la una liniară și apoi rezolvați această inegalitate liniară. Dar este mai rațional și mai convenabil să faci asta:

după deschiderea parantezelor, colectați toți termenii cu variabila din partea stângă a inegalității și toate numerele din dreapta,
apoi aduceți termeni similari,
și apoi împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la coeficientul lui x (dacă este, desigur, diferit de zero). Aceasta va da răspunsul.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Soluţie.

Mai întâi, să deschidem parantezele, ca rezultat ajungem la inegalitatea 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Acum să dăm termeni similari: 6 x+15≤6 x−17 . Apoi mutăm termenii din partea stângă, obținem 6 x+15−6 x+17≤0, iar din nou aducem termeni similari (ceea ce ne duce la inegalitatea liniară 0 x+32≤0) și avem 32≤ 0. Așa am ajuns la o inegalitate numerică incorectă, din care tragem concluzia că inegalitatea inițială nu are soluții.

Răspuns:

fara solutii.

În concluzie, observăm că există o mulțime de alte inegalități care pot fi reduse la inegalități liniare, sau la inegalități de tipul considerat mai sus. De exemplu, soluția inegalitatea exponenţială 5 2 x−1 ≥1 se reduce la rezolvarea inegalității liniare 2 x−1≥0 . Dar despre acest lucru vom vorbi atunci când vom analiza soluțiile la inegalitățile formei corespunzătoare.

Bibliografie.

Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general ( nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Inegalitate este o expresie cu, ≤ sau ≥. De exemplu, 3x - 5 Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor valorilor variabilelor pentru care inegalitatea este adevărată. Fiecare dintre aceste numere este o soluție a inegalității, iar mulțimea tuturor acestor soluții este a acestuia multe solutii. Se numesc inegalitățile care au același set de soluții inegalități echivalente.

Inegalități liniare

Principiile de rezolvare a inegalităților sunt similare cu principiile de rezolvare a ecuațiilor.

Principii de rezolvare a inegalităților
Pentru orice numere reale a, b și c:
Principiul adunării inegalităților: În cazul în care o Principiul înmulțirii pentru inegalități: Dacă un 0 este adevărat, atunci ac Dacă un bc este și adevărat.
Afirmații similare se aplică și pentru a ≤ b.

Când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu un număr negativ, semnul inegalității trebuie inversat.
Se numesc inegalitățile de primul nivel, ca în exemplul 1 (mai jos). inegalități liniare.

Exemplul 1 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Apoi desenați un set de soluții.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Soluţie
Orice număr mai mic de 11/5 este o soluție.
Mulțimea soluțiilor este (x|x
Pentru a verifica, putem desena un grafic cu y 1 = 3x - 5 și y 2 = 6 - 2x. Atunci este clar că pentru x
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 1), sau (-∞, 1). Graficul setului de soluții este prezentat mai jos.

Inegalități duble

Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt Și, sau, apoi se formează dubla inegalitate. Dubla inegalitate ca
-3 Și 2x + 5 ≤ 7
numit conectat, pentru că folosește Și. Intrarea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.

Exemplul 2 Rezolvați -3 Soluţie Avem

Mulțimea soluțiilor (x|x ≤ -1 sau x > 3). De asemenea, putem scrie soluția folosind notația interval și simbolul pentru asociațiile sau incluzând ambele mulțimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul mulțimii soluții este prezentat mai jos.

Pentru a verifica, să reprezentăm grafic y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x|x ≤ -1 sau x > 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1 > y 3 .

Inegalități cu valoare absolută (modul)

Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a > 0 și expresia algebrică x:
|x| |x| > a este echivalent cu x sau x > a.
Afirmații similare pentru |x| ≤ a și |x| ≥ a.

De exemplu,
|x| |y| ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și |2x + 3| ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Reprezentați grafic setul de soluții.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Soluţie
a) |3x + 2|

Mulțimea soluției este (x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 2 sau x ≥ 3), sau (-∞, 2] .

Al treilea exemplu. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Soluţie. Primul pas este de a determina punctele în care funcțiile dispar. Pentru cel din stânga acest număr va fi 2, pentru cel din dreapta - 1. Trebuie marcate pe fascicul și intervalele de constanță ale semnului determinate.

Pe primul interval, de la minus infinit la 1, funcția din partea stângă a inegalității ia valori pozitive, iar funcția din partea dreaptă ia valori negative. Sub arc trebuie să scrieți două semne „+” și „-” unul lângă celălalt.

Următorul interval este de la 1 la 2. Pe el, ambele funcții iau valori pozitive. Aceasta înseamnă că există două plusuri sub arc.

Al treilea interval de la 2 la infinit va da următorul rezultat: funcția din stânga este negativă, funcția din dreapta este pozitivă.

Luând în considerare semnele rezultate, trebuie să calculați valorile inegalității pentru toate intervalele.

Prima produce următoarea inegalitate: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusul dinaintea celor doi din a doua inegalitate se datorează faptului că această funcție este negativă.

După transformare, inegalitatea arată astfel: x > 0. Oferă imediat valorile variabilei. Adică din acest interval se va răspunde doar la intervalul de la 0 la 1.

Pe al doilea: 2 - x > 2 (x - 1). Transformările vor da următoarea inegalitate: -3x + 4 este mai mare decât zero. Zeroul său va fi x = 4/3. Luând în considerare semnul de inegalitate, rezultă că x trebuie să fie mai mic decât acest număr. Aceasta înseamnă că acest interval este redus la un interval de la 1 la 4/3.

Acesta din urmă dă următoarea inegalitate: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformarea lui conduce la următoarele: -x > 0. Adică, ecuația este adevărată când x este mai mic decât zero. Aceasta înseamnă că pe intervalul necesar inegalitatea nu oferă soluții.

În primele două intervale, numărul limită s-a dovedit a fi 1. Trebuie verificat separat. Adică, înlocuiți-o în inegalitatea originală. Rezultă: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Numărarea arată că 1 este mai mare decât 0. Aceasta este o afirmație adevărată, așa că una este inclusă în răspuns.

Răspuns: x se află în intervalul (0; 4/3).