Con. Frustum

Suprafata conica este suprafața formată de toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al unei curbe date și un punct în afara curbei (Fig. 32).

Această curbă se numește ghid , Drept - formare , punct - top suprafata conica.

Suprafață conică circulară dreaptă este suprafața formată din toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al unui cerc dat și un punct de pe o dreaptă care este perpendicular pe planul cercului și trece prin centrul acestuia. În cele ce urmează vom numi pe scurt această suprafață suprafata conica (Fig. 33).

Con (con circular drept ) este un corp geometric delimitat de o suprafață conică și un plan care este paralel cu planul cercului de ghidare (Fig. 34).

Orez. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei axe care conține unul dintre catetele triunghiului.

Cercul care cuprinde un con se numește al său bază . Vârful unei suprafețe conice se numește top con Segmentul care leagă vârful unui con cu centrul bazei sale se numește înălţime con Segmentele care formează o suprafață conică se numesc formare con Axă a unui con este o linie dreaptă care trece prin vârful conului și centrul bazei acestuia. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa conului. Dezvoltarea suprafeței laterale Un con se numește sector, a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului, iar lungimea arcului sectorului este egală cu circumferința bazei conului.

Formulele corecte pentru un con sunt:

Unde R– raza bazei;

H- inaltimea;

l– lungimea generatricei;

S baza– suprafata de baza;

partea S

S plin

V– volumul conului.

Trunchi de con numită porțiunea conului cuprinsă între bază și planul de tăiere paralel cu baza conului (Fig. 35).

Un trunchi de con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul unei axe care conține latura trapezului perpendiculară pe baze.

Cele două cercuri care înconjoară un con se numesc al acestuia motive . Înălţime a unui trunchi de con este distanța dintre bazele sale. Segmentele care formează suprafața conică a unui trunchi de con se numesc formare . O linie dreaptă care trece prin centrele bazelor se numește axă trunchi de con. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa unui trunchi de con.

Pentru un trunchi de con formulele corecte sunt:

(8)

Unde R– raza bazei inferioare;

r– raza bazei superioare;

H– înălțimea, l – lungimea generatricei;

partea S– suprafata laterala;

S plin– suprafata totala;

V– volumul unui trunchi de con.

Exemplul 1. Secțiunea transversală a conului paralelă cu baza împarte înălțimea într-un raport de 1:3, numărând de sus. Aflați aria suprafeței laterale a unui trunchi de con dacă raza bazei și înălțimea conului sunt de 9 cm și 12 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 36).

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui trunchi de con, folosim formula (8). Să găsim razele bazelor Cam 1 AȘi Aproximativ 1 Vși formând AB.

Sa luam in considerare triunghiuri asemănătoare SO2BȘi SO 1 A, coeficientul de similitudine, atunci

De aici

De atunci

Suprafața laterală a unui trunchi de con este egală cu:

Răspuns: .

Exemplul 2. Un sfert de cerc de rază este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei și înălțimea conului.

Soluţie. Cadranul cercului este dezvoltarea suprafeței laterale a conului. Să notăm r– raza bazei sale, H –înălţime. Să calculăm aria suprafeței laterale folosind formula: . Este egală cu aria unui sfert de cerc: . Obținem o ecuație cu două necunoscute rȘi l(formând un con). ÎN în acest caz, generatorul este egal cu raza sfertului de cerc R, ceea ce înseamnă că obținem următoarea ecuație: , de unde Cunoscând raza bazei și a generatorului, găsim înălțimea conului:

Răspuns: 2 cm, .

Exemplul 3. Trapez dreptunghiular cu unghi ascutit 45 O, cu baza mai mică de 3 cm și latura înclinată egală cu , se rotește în jurul laturii perpendiculare pe baze. Aflați volumul corpului de revoluție rezultat.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 37).

Ca rezultat al rotației, obținem un trunchi de con pentru a-i găsi volumul, calculăm raza bazei mai mari și a înălțimii. În trapez O 1 O 2 AB vom conduce AC^O 1 B. B avem: asta înseamnă că acest triunghi este isoscel A.C.=B.C.= 3 cm.

Răspuns:

Exemplul 4. Un triunghi cu laturile de 13 cm, 37 cm și 40 cm se rotește în jurul unei axe externe, care este paralelă cu latura mai mare și situată la o distanță de 3 cm de aceasta (axa este situată în planul triunghiului). Găsiți aria suprafeței corpului de revoluție rezultat.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 38).

Suprafața corpului de revoluție rezultat este formată din suprafețele laterale a două trunchiuri de con și suprafața laterală a unui cilindru. Pentru a calcula aceste suprafețe este necesar să se cunoască razele bazelor conurilor și ale cilindrului ( FIȘi O.C.), formând conuri ( B.C.Și A.C.) și înălțimea cilindrului ( AB). Singura necunoscută este CO. aceasta este distanța de la latura triunghiului la axa de rotație. Vom găsi DC. Aria triunghiului ABC de pe o latură este egală cu produsul dintre jumătatea laturii AB și altitudinea trasă de aceasta DC, pe de altă parte, cunoscând toate laturile triunghiului, calculăm aria lui folosind formula lui Heron.

și un plan paralel cu baza ( orez. ). Volumul Regatului Unit este egal cu , Unde r 1 și r 2 – razele de bază, h –înălţime.

Mare Enciclopedia sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este un „con trunchiat” în alte dicționare:

Un corp geometric tăiat dintr-un con de un plan paralel cu baza (Fig.). Volumul unui trunchi de con este egal. * * * TUNCHI DE CON TRUNCAT DE CON, un corp geometric tăiat de con de un plan paralel cu baza. Volumul…… Dicţionar enciclopedic

frust- - Subiecte industria petrolului și gazelor EN trunchi de con ... Ghidul tehnic al traducătorului

TRUNGAT, trunchiat, trunchiat; trunchiat, trunchiat, trunchiat. 1. alin. suferinţă trecut vr. din trunchi (carte). 2. Una în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza (despre un con, o piramidă; mat.). Frustum. Piramida trunchiată... Dicţionar Ushakova

trunchiată- o, o; matematica. Una în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza. Frustum. Piramida... Dicționar cu multe expresii

TUNCHIS, oh, oh. La matematică: una în care partea apicală este separată, tăiată de un plan paralel cu baza. U. con. Piramida trunchiată. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

Aya, oh. 1. alin. suferinţă trecut din trunchiere. 2. în sens adj. mat. Una în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza. Frustum. Piramida trunchiată. 3. în sens adj. gram., lit. Cu trunchiere (2 cifre), reprezentând... Mic dicționar academic

Con circular drept. Direct și... Wikipedia

- (latină conus, din greacă konos) suprafața conică este un set de linii drepte (generatoare) de spațiu care leagă toate punctele unei anumite linii (ghid) cu un punct dat (vârful) spațiului. Cel mai simplu K. este rotund sau drept circular, îndreptându-se spre... Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary

- (latină conus, din greacă konos) (matematică), 1) K., sau suprafață conică, locul geometric al liniilor drepte (generatoare) de spațiu care leagă toate punctele unei anumite linii (ghid) cu un punct dat (vertex) de spațiu…… Marea Enciclopedie Sovietică

Lumea din jurul nostru este dinamică și diversă și nu orice obiect poate fi măsurat pur și simplu cu o riglă. Pentru un astfel de transfer se folosesc tehnici speciale, cum ar fi triangularea. Necesitatea de a compila dezvoltări complexe, de regulă, ... ... Wikipedia

este o parte a unui con delimitată între două baze paralele perpendiculare pe axa sa de simetrie Bazele conului sunt cercuri geometrice.

Un trunchi de con poate fi obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul laturii sale, care este înălțimea acestuia. Limita conului este un cerc cu raza R, un cerc cu raza r și suprafața laterală a conului. Suprafața laterală a conului este descrisă de partea laterală a trapezului în timpul rotației acestuia.

Zona suprafeței laterale a unui trunchi de con prin ghidaj și razele bazelor sale

La găsirea zonei, este mai potrivit să se ia în considerare suprafața laterală a unui trunchi de con ca fiind diferența dintre suprafața laterală a conului și suprafața laterală a conului tăiat.

Lăsați conul A`MB` să fie tăiat dintr-un con AMB dat. Este necesar să se calculeze aria laterală a trunchiului de con AA`B`B. Se știe că razele bazelor sale sunt AO=R, A`O` =r, generatorul este egal cu L. Să notăm MB` ca x. Atunci suprafața laterală a conului A`MB` va fi egală cu πrx. Și suprafața laterală a conului AMB va fi egală cu πR(L+x).
Apoi suprafața laterală a trunchiului de con AA`B`B poate fi exprimată prin diferența dintre suprafața laterală a conului AMB și a conului A`MB`:

Triunghiurile OMB și O`MB` sunt similare din punct de vedere al egalității unghiurilor ∠(MOB) = ∠(MO`B`) și ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Din asemănarea acestor triunghiuri rezultă:
Să folosim derivata proporției. Avem:
De aici găsim x:
Înlocuind această expresie în formula suprafeței laterale, avem:
Astfel, aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu produsul numărului π prin ghidajul său și suma razelor bazelor sale.

Un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unui trunchi de con, dacă raza și generatoarea acestuia sunt cunoscute
Raza bazei mai mari, generatorul și înălțimea trunchiului de con sunt de 7, 5 și, respectiv, 4 cm. Găsiți aria suprafeței laterale a conului.
Secțiunea axială a trunchiului de con este un trapez isoscel, cu bazele 2R și 2r. Generator de trunchi de con, care este partea unui trapez, înălțime, pubescent la baza mare iar diferenţa razelor bazei formei trunchi de con triunghi egiptean. Acest triunghi dreptunghic cu un raport de aspect de 3:4:5. În funcție de condițiile problemei, generatoarea este egală cu 5, iar înălțimea este 4, atunci diferența dintre razele bazei trunchiului de con va fi egală cu 3.
Avem:
L=5
R=7
R=4
Formula pentru suprafața laterală a unui trunchi de con este următoarea:

Înlocuind valorile, avem:

Suprafața laterală a unui trunchi de con prin ghid și rază medie

Raza medie a unui trunchi de con este egală cu jumătate din suma razelor bazelor sale:


Apoi formula pentru zona suprafeței laterale a unui trunchi de con poate fi prezentată după cum urmează:

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu produsul dintre circumferința secțiunii din mijloc și generatoarea acesteia.

Zona suprafeței laterale a unui trunchi de con prin razele bazei sale și unghiul de înclinare al generatricei față de planul bazei

Dacă baza mai mică este proiectată ortogonal pe baza mai mare, atunci proiecția suprafeței laterale a trunchiului de con va avea forma unui inel, a cărui zonă este calculată prin formula:

Apoi:

Suprafața laterală a unui trunchi de con conform lui Arhimede

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu aria unui cerc a cărui rază este media proporțională dintre generatrice și suma razelor bazelor sale

Suprafața completă a unui trunchi de con

Suprafața totală a unui con este suma aria suprafeței sale laterale și aria bazelor conului:

Bazele conului sunt cercuri cu raze R și r. Aria lor este egală cu produsul numărului cu pătratul razei lor:


Suprafața laterală se calculează cu formula:

Apoi, suprafața totală a trunchiului de con este:

Formula arată astfel:

Un exemplu de calcul al suprafeței totale a unui trunchi de con dacă raza și generatoarea acestuia sunt cunoscute
Raza bazei trunchiului de con este de 1 și 7 dm, iar diagonalele secțiunii axiale sunt reciproc perpendiculare. Aflați aria totală a unui trunchi de con
Secțiunea axială a trunchiului de con este un trapez isoscel, cu bazele 2R și 2r. Adică, bazele trapezului sunt de 2, respectiv 14 dm. Deoarece diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este egală cu jumătate din suma bazelor sale. Apoi:

Generatoarea trunchiului de con, care este latura trapezului, înălțimea pubescentă pe baza mare și diferența razelor bazei trunchiului de con formează un triunghi dreptunghic.
Folosind teorema lui Pitagora, găsim generatoarea unui trunchi de con:

Formula pentru suprafața totală a unui trunchi de con este următoarea:

Înlocuind valorile din condițiile problemei și valorile găsite, avem: