În acest articol voi vorbi despre algoritm pentru găsirea celei mai mari și cele mai mici valori funcții, puncte minime și maxime.
Din teorie, va veni cu siguranță la îndemână tabel derivatși reguli de diferențiere... Toate acestea sunt în această placă:
Algoritm pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare.
Pentru mine este mai convenabil să explic cu un exemplu specific. Considera:
Exemplu: Găsiți cea mai mare valoare a funcției y = x ^ 5 + 20x ^ 3-65x pe segmentul [–4; 0].
Pasul 1. Luăm derivatul.
Y "= (x ^ 5 + 20x ^ 3-65x)" = 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 = 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65
Pasul 2. Găsirea punctelor extremum.
Punct extrem numim astfel de puncte în care o funcție atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare.
Pentru a găsi punctele extreme, trebuie să echivalați derivata funcției cu zero (y "= 0)
5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 = 0
Acum rezolvăm această ecuație biquadratică și rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.
Rezolv astfel de ecuații înlocuind t = x ^ 2, apoi 5t ^ 2 + 60t - 65 = 0.
Reducând ecuația cu 5, obținem: t ^ 2 + 12t - 13 = 0
D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) = 196
T_ (1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1
T_ (2) = (-12 - sqrt (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13
Facem schimbarea inversă x ^ 2 = t:
X_ (1 și 2) = ± sqrt (1) = ± 1
x_ (3 și 4) = ± sqrt (-13) (excludeți, nu pot exista numere negative sub rădăcină, cu excepția cazului în care, desigur, vorbim despre numere complexe)
Total: x_ (1) = 1 și x_ (2) = -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.
Pasul 3. Determinați valoarea cea mai mare și cea mai mică.
Metoda de substituție.
În condiția în care ni s-a dat segmentul [b] [- 4; 0]. Punctul x = 1 nu este inclus în acest segment. Deci nu ne gândim la asta. Dar, pe lângă punctul x = -1, trebuie să luăm în considerare și limitele stânga și dreapta ale segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția originală. Observați cel original - acesta este cel dat în condiție (y = x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), unii încep să se substituie derivatului ...
Y (-1) = (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) = -1 - 20 + 65 = [b] 44
y (0) = (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) = 0
y (-4) = (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Aceasta înseamnă că valoarea maximă a funcției este [b] 44 și este atinsă în punctul [b] -1, care se numește punctul maxim al funcției pe segmentul [-4; 0].
Am decis și am primit un răspuns, suntem minunați, vă puteți relaxa. Dar oprește-te! Nu crezi că numărarea y (-4) este cumva prea dificilă? Într-un mediu limitat de timp, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc așa:
Prin intervale de constanță.
Aceste intervale se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biadratică.
O fac în felul următor. Trag o linie direcțională. Pun punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, ar trebui totuși marcat pentru a determina corect intervalele de constanță. Să luăm un număr de multe ori mai mare decât 1, să zicem 100, înlocuim-o mental în ecuația noastră biadratică 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Chiar și fără a număra nimic, devine evident că la punctul 100 funcția are semnul plus. Aceasta înseamnă că are un semn plus pentru intervalele de la 1 la 100. Când treceți prin 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția își va schimba semnul în minus. Când treceți prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar limita segmentului și nu rădăcina ecuației. Când treceți prin -1, funcția își va schimba din nou semnul în plus.
Din teorie, știm că unde este derivata funcției (și doar am tras-o pentru ea) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru) funcția ajunge maximul său local (y (-1) = 44 calculat anterior) pe acest interval (acest lucru este logic foarte clar, funcția a încetat să crească, deoarece a atins maximul și a început să scadă).
În consecință, în cazul în care derivata funcției schimbă semnul de la minus la plus, realizat minim local al funcției... Da, da, am găsit și punctul minimului local, acesta este 1 și y (1) este valoarea minimă a funcției pe segment, să spunem de la -1 la + ∞. Acordați o atenție deosebită faptului că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pe un anumit segment. Deoarece minimul real (global) funcția va ajunge undeva acolo, la -∞.
În opinia mea, prima metodă este mai simplă teoretic, iar a doua este mai simplă din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai complicată din punct de vedere al teoriei. Într-adevăr, uneori există cazuri în care funcția nu schimbă semnul când treceți prin rădăcina ecuației și, în general, vă puteți confunda cu aceste maxime și minime locale, globale, deși va trebui să o stăpâniți bine dacă intenționați să introduceți o universitate tehnică (și pentru ce altceva susțineți examenul de profil și rezolvați această sarcină). Dar practica și numai practica vă vor învăța o dată pentru totdeauna cum să rezolvați astfel de probleme. Și vă puteți antrena pe site-ul nostru. Aici .
Dacă aveți întrebări sau ceva nu este clar, nu uitați să întrebați. Voi fi bucuros să vă răspund și să fac modificări, adăugiri la articol. Amintiți-vă că realizăm acest site împreună!
Cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată a ordonatei pe intervalul luat în considerare.
Pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții, aveți nevoie de:
- Verificați ce puncte staționare sunt incluse în segmentul dat.
- Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele staționare din punctul 3
- Selectați cea mai mare sau cea mai mică valoare din rezultatele obținute.
Pentru a găsi punctele maxime sau minime trebuie:
- Găsiți derivata funcției $ f "(x) $
- Găsiți puncte staționare rezolvând ecuația $ f "(x) = 0 $
- Factorizați derivata funcției.
- Desenați o linie de coordonate, plasați puncte staționare pe ea și determinați semnele derivatei în intervalele obținute, folosind notația punctului 3.
- Găsiți punctele maxime sau minime conform regulii: dacă la un moment dat derivata schimbă semnul de la plus la minus, atunci acesta va fi punctul maxim (dacă de la minus la plus, atunci va fi punctul minim). În practică, este convenabil să folosiți imaginea săgeților la intervale: la intervalul în care derivata este pozitivă, săgeata este trasată și invers.
Tabel derivat al unor funcții elementare:
| Funcţie | Derivat |
| $ c $ | $0$ |
| $ x $ | $1$ |
| $ x ^ n, n∈N $ | $ nx ^ (n-1), n∈N $ |
| $ (1) / (x) $ | $ - (1) / (x ^ 2) $ |
| $ (1) / x (^ n), n∈N $ | $ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈N $ |
| $ √ ^ n (x), n∈N $ | $ (1) / (n√ ^ n (x ^ (n-1)), n∈N $ |
| $ sinx $ | $ cosx $ |
| $ cosx $ | $ -sinx $ |
| $ tgx $ | $ (1) / (cos ^ 2x) $ |
| $ ctgx $ | $ - (1) / (sin ^ 2x) $ |
| $ cos ^ 2x $ | $ -sin2x $ |
| $ sin ^ 2x $ | $ sin2x $ |
| $ e ^ x $ | $ e ^ x $ |
| $ a ^ x $ | $ a ^ xlna $ |
| $ lnx $ | $ (1) / (x) $ |
| $ log_ (a) x $ | $ (1) / (xlna) $ |
Reguli de bază pentru diferențiere
1. Derivata sumei și diferenței este egală cu derivata fiecărui termen
$ (f (x) ± g (x)) ′ = f ′ (x) ± g ′ (x) $
Găsiți derivata funcției $ f (x) = 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $
Derivata sumei și diferenței este egală cu derivata fiecărui termen
$ f ′ (x) = (3x ^ 5) ′ - (cosx) ′ + ((1) / (x)) "= 15x ^ 4 + sinx- (1) / (x ^ 2) $
2. Derivat al operei.
$ (f (x) ∙ g (x)) ′ = f ′ (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) ′ $
Găsiți derivata $ f (x) = 4x ∙ cosx $
$ f ′ (x) = (4x) ′ ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) ′ = 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $
3. Derivată a coeficientului
$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $
Găsiți derivata $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $
$ f "(x) = ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $
4. Derivata unei funcții complexe este egală cu produsul derivatei funcției externe prin derivata funcției interioare
$ f (g (x)) ′ = f ′ (g (x)) ∙ g ′ (x) $
$ f ′ (x) = cos ′ (5x) ∙ (5x) ′ = - sin (5x) ∙ 5 = -5sin (5x) $
Găsiți punctul minim al funcției $ y = 2x-ln (x + 11) + 4 $
1. Să găsim funcția ODZ: $ x + 11> 0; x> -11 $
2. Găsiți derivata funcției $ y "= 2- (1) / (x + 11) = (2x + 22-1) / (x + 11) = (2x + 21) / (x + 11) $
3. Găsiți puncte staționare echivalând derivata cu zero
$ (2x + 21) / (x + 11) = 0 $
Fracția este zero dacă numeratorul este zero și numitorul nu este zero
2x + 21 = 0 USD; x ≠ -11 $
4. Desenați o linie de coordonate, așezați puncte staționare pe ea și determinați semnele derivatei în intervalele obținute. Pentru a face acest lucru, înlocuim în derivată orice număr din regiunea extremă dreaptă, de exemplu, zero.
$ y "(0) = (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) = (21) / (11)> 0 $
5. La punctul minim, derivatul modifică semnul de la minus la plus, prin urmare, punctul -10,5 $ este punctul minim.
Răspuns: -10,5 $
Găsiți cea mai mare valoare a funcției $ y = 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ pe segmentul $ [- 5; 1] $
1. Găsiți derivata funcției $ y ′ = 30x ^ 4-270x ^ 2 $
2. Să echivalăm derivata cu zero și să găsim punctele staționare
$ 30x ^ 4-270x ^ 2 = 0 $
Scoateți factorul comun de $ 30x ^ 2 $ în afara parantezelor
$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) = 0 $
$ 30x ^ 2 (x-3) (x + 3) = 0 $
Setați fiecare factor la zero
$ x ^ 2 = 0; x-3 = 0; x + 3 = 0 $
$ x = 0; x = 3; x = -3 $
3. Alegeți puncte staționare care aparțin segmentului dat $ [- 5; 1] $
Punctele staționare $ x = 0 $ și $ x = -3 $ sunt potrivite pentru noi
4. Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele staționare din punctul 3
Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de o cunoaștere minimă a subiectului. Următorul an școlar se apropie de sfârșit, toată lumea vrea să plece în vacanță și, pentru a aduce acest moment mai aproape, mă apuc imediat de treabă:
Să începem cu zona. Zona menționată în condiție este limitat închis set de puncte ale avionului. De exemplu, un set de puncte delimitate de un triunghi, inclusiv triunghiul ÎNTREG (dacă din limite„Eliminați” cel puțin un punct, apoi zona va înceta să mai fie închisă)... În practică, există și zone cu forme dreptunghiulare, rotunde și puțin mai complexe. Trebuie remarcat faptul că definițiile stricte sunt date în teoria analizei matematice limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la un nivel intuitiv și acum nu este nevoie de mai mult.
O zonă plană este de obicei notată printr-o literă și, de regulă, este setată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. Cifra de afaceri tipică: „zonă închisă, delimitată de linii”.
O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construirea unei zone în desen. Cum să o facă? Este necesar să trasați toate liniile enumerate (în acest caz, 3 Drept) și analizează ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea ei este evidențiată cu o linie îndrăzneață: 
Aceeași zonă poate fi setată și inegalități liniare:, care dintr-un anumit motiv sunt mai des scrise ca o listă enumerată, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, toate inegalitățile, desigur, lax.
Și acum esența problemei. Imaginați-vă o axă care se extinde de la origine direct către dvs. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punctul zonei. Graficul acestei funcții reprezintă unele suprafaţă, iar o mică fericire constă în faptul că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm cum arată această suprafață. Poate fi situat mai sus, mai jos, intersectează planul - toate acestea nu sunt importante. Iar următoarele sunt importante: conform Teoreme Weierstrass, continuu v limitat închis zona, funcția atinge maximul (cel mai inalt") iar cel mai mic (cel mai mic") valorile pe care doriți să le găsiți. Astfel de valori sunt atinse sau v puncte staționare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la granița acestei zone. Din ceea ce urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:
Exemplul 1
Într-o zonă închisă închisă
Soluţie: În primul rând, trebuie să descrieți zona din desen. Din păcate, este tehnic dificil pentru mine să realizez un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi da imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, acestea sunt aplicate unul după altul pe măsură ce se găsesc: 
Pe baza preambulului, este convenabil să împărțiți decizia în două puncte:
I) Găsiți puncte staționare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. extrema mai multor variabile:
Punct staționar găsit apartine zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției în acest moment:
- ca în articol Cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe segment, Voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Este convenabil să le conturați într-un caiet cu un creion.
Fiți atenți la a doua noastră fericire - nu are rost să verificați condiție suficientă pentru extremum... De ce? Chiar dacă la un moment dat funcția atinge, de exemplu, minim local, atunci încă nu înseamnă că valoarea rezultată va fi minimîn toată regiunea (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .
Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat acest lucru și treceți la punctul următor.
II) Explorează granița regiunii.
Deoarece granița este formată din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 subsecțiuni. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, mai întâi, întinse pe axele în sine. Pentru a înțelege întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „dintr-o singură lovitură”:
1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct funcția:
Alternativ, îl puteți aranja astfel: 
Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„Sculptează” afară suprafaţă O parabolă „spațială”, al cărei vârf este imediat suspectat. Să aflăm unde este ea:
- valoarea obținută „a lovit” zona și se poate ca la punctul respectiv (marcați în desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Într-un fel sau altul, efectuăm calcule:
Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculăm valorile funcției în puncte 
(marcați în desen):
Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare verbală folosind versiunea „decupată”: 
2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, îl substituim funcției și „punem lucrurile în ordine acolo”:
Aici vom efectua imediat o verificare dură, „sunând” la sfârșitul segmentului deja procesat:
, perfect.
Situația geometrică este legată de punctul anterior:
- valoarea obținută este „inclusă și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce funcție este egală în punctul care apare:
Să examinăm al doilea capăt al segmentului:
Folosind funcția 
, Hai să verificăm: 
3) Probabil toată lumea știe să exploreze partea rămasă. Înlocuim funcția și efectuăm simplificări:
Segmentul se termină 
au fost deja cercetate, dar pe schiță verificăm în continuare dacă am găsit funcția corect 
:
- a coincis cu rezultatul paragrafului 1;
- a coincis cu rezultatul celui de-al doilea paragraf.
Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:
- există! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestei „interesanțe”:
Marcăm un punct în desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:
Vom verifica calculele conform versiunii „buget” 
:
, Ordin.
Și ultimul pas: CU ATENȚIE ne uităm la toate numerele „grase”, recomand ca începătorii chiar să facă o singură listă: 
din care selectăm cele mai mari și cele mai mici valori. Răspuns notăm în stilistica problemei găsirii cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe segment:
Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
- aici este cel mai înalt punct al suprafeței din zonă;
- aici este cel mai jos punct al suprafeței din zonă.
În problema analizată, am identificat 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la o problemă la alta. Pentru o zonă triunghiulară, „setul de cercetare” minim este de trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când o funcție, de exemplu, setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge cele mai mari / mai mici valori doar la vârfurile triunghiului. Dar există o mulțime de astfel de exemple o dată sau de două ori - de obicei trebuie să aveți de-a face cu unele suprafata de ordinul 2.
Dacă rezolvați un pic astfel de sarcini, atunci capul se poate întoarce de la triunghiuri și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca dvs. să fie pătrat :))
Exemplul 2
Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale funcției 
într-o zonă închisă mărginită de linii
Exemplul 3
Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată.
Acordați o atenție specială ordinii raționale și tehnicii de explorare a limitei regiunii, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general vorbind, îl puteți rezolva după cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același exemplu 2, există toate șansele de a vă complica în mod semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.
Să sistematizăm algoritmul soluției, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva în firul lung de comentarii din primul exemplu:
- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem marginea cu o linie îndrăzneață. Pe parcursul soluției, vor apărea puncte care trebuie plasate pe desen.
- Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai la aceia dintre ei care aparțin zonei. Selectăm valorile obținute în text (de exemplu, le conturăm cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține regiunii, atunci marcăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!
- Să explorăm granița zonei. În primul rând, este benefic să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (dacă există)... De asemenea, evidențiem valorile funcției calculate la punctele „suspecte”. S-au spus multe mai sus despre tehnica soluției, iar altceva se va spune mai jos - citiți, recitiți, intrați!
- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați răspunsul. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte simultan - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să se reflecte în răspuns. Să, de exemplu, 
și s-a dovedit a fi cea mai mică valoare. Apoi scriem asta
Ultimele exemple sunt dedicate altor idei utile care vă vor fi utile în practică:
Exemplul 4
Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă 
.
Am păstrat formularea autorului, în care regiunea este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă de un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă: 
Vă amintesc asta de atunci neliniar inegalități pe care le-am întâlnit și, dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a notației, vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)
Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construirea unei zone, care este un fel de „talpă”: 
Hmm, uneori trebuie să ronți nu numai granitul științei ...
I) Găsiți puncte staționare: 
Visul idiotului de sistem :) 
Un punct staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.
Și așa, este, nimic ... lecția a mers veselă - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)
II) Explorează granița regiunii. Fără alte întrebări, să începem cu abscisa:
1) Dacă, atunci
Aflați unde este vârful parabolei:
- apreciază astfel de momente - „lovește” chiar în punctul din care totul este deja clar. Dar încă nu uităm să verificăm: 
Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului: 
2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o substituim funcției, în plus, ne va interesa doar segmentul:
Control:
Acest lucru aduce deja o oarecare revigorare a condusului monoton pe pista moletată. Să găsim punctele critice:
Rezolvăm ecuație pătratică, îți mai amintești de asta? ... Cu toate acestea, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați fi citit aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare ar fi convenabile calculele în fracții zecimale (ceea ce, apropo, este o raritate), aici așteptăm fracții obișnuite obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și folosim ecuația pentru a determina coordonatele „jocului” corespunzătoare punctelor „candidate”: 
Să calculăm valorile funcției la punctele găsite: 
Verificați singur funcția.
Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:
Aceștia sunt „candidați”, deci „candidați”!
Pentru o soluție independentă:
Exemplul 5
Găsiți cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții 
într-o zonă închisă 
O intrare cu aparate dentare se spune astfel: „un set de puncte, astfel încât”.
Uneori, în astfel de exemple, le folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar este puțin probabil să apară nevoia reală de a o aplica. De exemplu, dacă o funcție este dată cu același domeniu "de", atunci după înlocuirea acestuia - cu un derivat fără dificultăți; mai mult, totul este întocmit „într-o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare semicercurile superioare și inferioare separat. Dar, desigur, există cazuri mai complexe în care, fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, aceeași ecuație a cercului) este greu de gestionat - cât de greu este să faci fără o odihnă bună!
Este bine ca toată lumea să treacă de sesiune și să ne vedem în curând sezonul viitor!
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 2: Soluţie: descrie zona din desen:
Funcția $ z = f (x, y) $ să fie definită și continuă într-un domeniu închis mărginit $ D $. Funcția dată are derivate parțiale finite de ordinul întâi în această regiune (cu excepția, poate, a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o anumită regiune închisă, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $ z = f (x, y) $ în domeniul închis $ D $.
- Găsiți punctele critice ale funcției $ z = f (x, y) $ care aparțin domeniului $ D $. Calculați valorile funcției în puncte critice.
- Investigați comportamentul funcției $ z = f (x, y) $ la limita domeniului $ D $, găsind punctele valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
- Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe anterioare, alegeți cel mai mare și cel mai mic.
Ce sunt punctele de vârf? arată ascunde
Sub puncte criticeînseamnă puncte în care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt zero (adică $ \ frac (\ partial z) (\ partial x) = 0 $ și $ \ frac (\ partial z) (\ partial y) = 0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.
Adesea se numesc punctele la care derivatele parțiale de primul ordin sunt egale cu zero puncte staționare... Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.
Exemplul nr. 1
Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale funcției $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ într-o regiune închisă mărginită de liniile $ x = 3 $, $ y = 0 $ și $ y = x + 1 $.
Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenul zonei date, pe care o vom nota cu litera $ D $. Ni se dau ecuațiile a trei linii drepte, care limitează această zonă. Linia dreaptă $ x = 3 $ trece prin punctul $ (3; 0) $ paralel cu axa ordonată (axa Oy). Linia dreaptă $ y = 0 $ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi o linie dreaptă $ y = x + 1 $, găsim două puncte prin care trasăm această linie dreaptă. Desigur, puteți înlocui câteva valori arbitrare în loc de $ x $. De exemplu, înlocuind $ x = 10 $, obținem: $ y = x + 1 = 10 + 1 = 11 $. Am găsit un punct $ (10; 11) $ așezat pe linia $ y = x + 1 $. Cu toate acestea, este mai bine să găsiți acele puncte în care linia dreaptă $ y = x + 1 $ intersectează liniile $ x = 3 $ și $ y = 0 $. De ce este mai bine? Deoarece vom stabili câteva păsări cu o singură piatră: vom obține două puncte pentru construirea liniei $ y = x + 1 $ și în același timp vom afla în ce puncte această linie intersectează alte linii care au legat zonă. Linia dreaptă $ y = x + 1 $ intersectează linia dreaptă $ x = 3 $ în punctul $ (3; 4) $, iar linia dreaptă $ y = 0 $ - în punctul $ (- 1; 0) $. Pentru a nu aglomera cursul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.
Cum au fost obținute punctele $ (3; 4) $ și $ (- 1; 0) $? arată ascunde
Să începem de la punctul de intersecție al liniilor $ y = x + 1 $ și $ x = 3 $. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei, cât și celei de-a doua linii drepte, prin urmare, pentru a găsi coordonatele necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:
$$ \ left \ (\ begin (align) & y = x + 1; \\ & x = 3. \ end (align) \ right. $$
Soluția unui astfel de sistem este banală: substituind $ x = 3 $ în prima ecuație, vom avea: $ y = 3 + 1 = 4 $. Punctul $ (3; 4) $ este punctul de intersecție dorit al liniilor $ y = x + 1 $ și $ x = 3 $.
Acum să găsim punctul de intersecție al liniilor $ y = x + 1 $ și $ y = 0 $. Să compunem și să rezolvăm din nou sistemul de ecuații:
$$ \ left \ (\ begin (align) & y = x + 1; \\ & y = 0. \ end (align) \ right. $$
Înlocuind $ y = 0 $ în prima ecuație, obținem: $ 0 = x + 1 $, $ x = -1 $. Punctul $ (- 1; 0) $ este punctul de intersecție dorit al liniilor $ y = x + 1 $ și $ y = 0 $ (axa abscisei).
Totul este pregătit pentru construirea unui desen, care va arăta astfel:
Întrebarea unei note pare evidentă, deoarece totul poate fi văzut din imagine. Cu toate acestea, merită să ne amintim că un desen nu poate servi drept dovadă. Cifra este doar o ilustrare pentru claritate.
Zona noastră a fost definită folosind ecuațiile liniilor care o legau. Evident, aceste linii definesc un triunghi, nu? Sau nu este cu totul evident? Sau poate ni se dă o zonă diferită, mărginită de aceleași linii drepte:
Desigur, condiția spune că regiunea este închisă, deci cifra afișată este incorectă. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiuni cu inegalități. Ne interesează partea planului situată sub linia $ y = x + 1 $? Ok, deci $ y ≤ x + 1 $. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $ y = 0 $? Super, deci $ y ≥ 0 $. Apropo, ultimele două inegalități pot fi ușor combinate într-o singură: $ 0 ≤ y ≤ x + 1 $.
$$ \ left \ (\ begin (align) & 0 ≤ y ≤ x + 1; \\ & x ≤ 3. \ end (align) \ right. $$
Aceste inegalități definesc domeniul $ D $ și îl definesc fără ambiguități, fără a permite nicio ambiguitate. Dar cum ne ajută acest lucru în întrebarea indicată la începutul notei? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $ M_1 (1; 1) $ aparține zonei $ D $. Înlocuiți $ x = 1 $ și $ y = 1 $ în sistemul inegalităților care definesc acest domeniu. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități eșuează, atunci punctul regiunii nu aparține. Asa de:
$$ \ left \ (\ begin (align) & 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1; \\ & 1 ≤ 3. \ end (align) \ right. \; \; \ left \ (\ begin (align) & 0 ≤ 1 ≤ 2; \\ & 1 ≤ 3. \ end (aliniat) \ dreapta. $$
Ambele inegalități sunt valabile. Punctul $ M_1 (1; 1) $ aparține zonei $ D $.
Acum a venit rândul de a investiga comportamentul funcției la limita regiunii, adică mergi la. Să începem cu linia $ y = 0 $.
Linia dreaptă $ y = 0 $ (axă abscisă) limitează aria $ D $ în condiția $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Înlocuiți $ y = 0 $ în funcția dată $ z (x, y) = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Funcția unei variabile $ x $ obținută ca urmare a substituției este notată ca $ f_1 (x) $:
$$ f_1 (x) = z (x, 0) = x ^ 2 + 2x \ cdot 0-0 ^ 2-4x = x ^ 2-4x. $$
Acum pentru funcția $ f_1 (x) $ trebuie să găsiți cele mai mari și mai mici valori pe segmentul $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:
$$ f_ (1) ^ (") (x) = 2x-4; \\ 2x-4 = 0; \; x = 2. $$
Valoarea $ x = 2 $ aparține segmentului $ -1 ≤ x ≤ 3 $, deci adăugați $ M_2 (2; 0) $ la lista de puncte. În plus, calculăm valorile funcției $ z $ la capetele segmentului $ -1 ≤ x ≤ 3 $, adică la punctele $ M_3 (-1; 0) $ și $ M_4 (3; 0) $. Apropo, dacă punctul $ M_2 $ nu aparținea segmentului luat în considerare, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $ z $ din acesta.
Deci, să calculăm valorile funcției $ z $ la punctele $ M_2 $, $ M_3 $, $ M_4 $. Desigur, puteți înlocui coordonatele acestor puncte cu expresia originală $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. De exemplu, pentru punctul $ M_2 $ obținem:
$$ z_2 = z (M_2) = 2 ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot 0-0 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4. $$
Cu toate acestea, calculele pot fi ușor simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $ M_3M_4 $ avem $ z (x, y) = f_1 (x) $. Îl voi nota în detaliu:
\ begin (align) & z_2 = z (M_2) = z (2,0) = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \\ & z_3 = z (M_3) = z (- 1,0) = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \\ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. \ end (aliniat)
Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de note detaliate și, în viitor, vom nota toate calculele într-un mod mai scurt:
$$ z_2 = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \; z_3 = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \; z_4 = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. $$
Acum să trecem la linia $ x = 3 $. Această linie limitează regiunea $ D $ în condiția $ 0 ≤ y ≤ 4 $. Înlocuiți $ x = 3 $ în funcția dată $ z $. Ca urmare a acestei substituții, obținem funcția $ f_2 (y) $:
$$ f_2 (y) = z (3, y) = 3 ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot y-y ^ 2-4 \ cdot 3 = -y ^ 2 + 6y-3. $$
Pentru funcția $ f_2 (y) $, trebuie să găsiți cele mai mari și mai mici valori pe segmentul $ 0 ≤ y ≤ 4 $. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:
$$ f_ (2) ^ (") (y) = - 2y + 6; \\ -2y + 6 = 0; \; y = 3. $$
Valoarea $ y = 3 $ aparține segmentului $ 0 ≤ y ≤ 4 $, deci adăugați $ M_5 (3; 3) $ la punctele găsite anterior. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $ z $ la punctele de la capetele segmentului $ 0 ≤ y ≤ 4 $, adică la punctele $ M_4 (3; 0) $ și $ M_6 (3; 4) $. La punctul $ M_4 (3; 0) $ am calculat deja valoarea $ z $. Să calculăm valoarea funcției $ z $ la punctele $ M_5 $ și $ M_6 $. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $ M_4M_6 $ avem $ z (x, y) = f_2 (y) $, prin urmare:
\ begin (align) & z_5 = f_2 (3) = - 3 ^ 2 + 6 \ cdot 3-3 = 6; & z_6 = f_2 (4) = - 4 ^ 2 + 6 \ cdot 4-3 = 5. \ end (aliniat)
Și, în cele din urmă, luați în considerare ultima limită a regiunii $ D $, adică linia dreaptă $ y = x + 1 $. Această linie limitează aria $ D $ în condiția $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Înlocuind $ y = x + 1 $ în funcția $ z $, vom avea:
$$ f_3 (x) = z (x, x + 1) = x ^ 2 + 2x \ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x = 2x ^ 2-4x-1. $$
Din nou avem o funcție de o variabilă $ x $. Și din nou, trebuie să găsiți cele mai mari și mai mici valori ale acestei funcții pe segmentul $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Găsiți derivata funcției $ f_ (3) (x) $ și egalați-o cu zero:
$$ f_ (3) ^ (") (x) = 4x-4; \\ 4x-4 = 0; \; x = 1. $$
Valoarea $ x = 1 $ aparține segmentului $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Dacă $ x = 1 $, atunci $ y = x + 1 = 2 $. Să adăugăm $ M_7 (1; 2) $ la lista de puncte și să aflăm cu ce este egală valoarea funcției $ z $ în acest moment. Puncte la capetele segmentului $ -1 ≤ x ≤ 3 $, adică punctele $ M_3 (-1; 0) $ și $ M_6 (3; 4) $, au fost luate în considerare anterior, am găsit deja valoarea funcției în ele.
$$ z_7 = f_3 (1) = 2 \ cdot 1 ^ 2-4 \ cdot 1-1 = -3. $$
Al doilea pas al soluției s-a încheiat. Avem șapte valori:
$$ z_1 = -2; \; z_2 = -4; \; z_3 = 5; \; z_4 = -3; \; z_5 = 6; \; z_6 = 5; \; z_7 = -3. $$
Să apelăm la. Alegând cele mai mari și mai mici valori din acele numere care au fost obținute în al treilea paragraf, vom avea:
$$ z_ (min) = - 4; \; z_ (max) = 6. $$
Problema este rezolvată, rămâne doar să scrieți răspunsul.
Răspuns: $ z_ (min) = - 4; \; z_ (max) = 6 $.
Exemplul nr. 2
Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale funcției $ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ în regiunea $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $.
Să construim mai întâi un plan. Ecuația $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ (aceasta este linia de graniță a zonei date) definește un cerc centrat la origine (adică la punctul $ (0; 0) $) și raza 5. La inegalitate $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ sunt satisfăcute de toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.
Vom acționa conform. Să găsim derivatele parțiale și să aflăm punctele critice.
$$ \ frac (\ partial z) (\ partial x) = 2x-12; \ frac (\ partial z) (\ partial y) = 2y + 16. $$
Nu există puncte în care nu există derivate parțiale găsite. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultane egale cu zero, adică găsiți puncte staționare.
$$ \ left \ (\ begin (align) & 2x-12 = 0; \\ & 2y + 16 = 0. \ end (align) \ right. \; \; \ left \ (\ begin (align) & x = 6; \\ & y = -8. \ End (aliniat) \ dreapta. $$
Am obținut punctul staționar $ (6; -8) $. Cu toate acestea, punctul găsit nu aparține regiunii $ D $. Acest lucru este ușor de arătat fără a desena măcar un desen. Să verificăm dacă inegalitatea $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $, care definește domeniul nostru $ D $, este valabilă. Dacă $ x = 6 $, $ y = -8 $, atunci $ x ^ 2 + y ^ 2 = 36 + 64 = 100 $, adică inegalitatea $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ nu este satisfăcută. Concluzie: punctul $ (6; -8) $ nu aparține zonei $ D $.
Deci, nu există puncte critice în interiorul regiunii $ D $. Mai departe, spre. Trebuie să investigăm comportamentul funcției la limita unei zone date, adică pe cerc $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $. Puteți, desigur, să exprimați $ y $ în termeni de $ x $ și apoi să înlocuiți expresia rezultată în funcția noastră $ z $. Din ecuația cercului obținem: $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ sau $ y = - \ sqrt (25-x ^ 2) $. Înlocuind, de exemplu, $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ în funcția dată, vom avea:
$$ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y = x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) = 25-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2); \; \; -5≤ x ≤ 5. $$
Soluția suplimentară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul anterior nr. 1. Cu toate acestea, mi se pare mai rezonabil în această situație să aplicăm metoda Lagrange. Ne va interesa doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, obținem punctele la care examinăm funcția $ z $ pentru valorile minime și maxime.
Compunem funcția Lagrange:
$$ F = z (x, y) + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$
Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și alcătuim sistemul corespunzător de ecuații:
$$ F_ (x) ^ (") = 2x-12 + 2 \ lambda x; \; \; F_ (y) ^ (") = 2y + 16 + 2 \ lambda y. \\ \ left \ (\ begin (aliniat) & 2x-12 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 2y + 16 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 = 0. \ end (align) \ dreapta. \; \; \ left \ (\ begin (align) & x + \ lambda x = 6; \\ & y + \ lambda y = -8; \\ & x ^ 2 + y ^ 2 = 25. \ sfârșit (aliniat) \ dreapta. $$
Pentru a rezolva acest sistem, să indicăm imediat că $ \ lambda \ neq -1 $. De ce $ \ lambda \ neq -1 $? Să încercăm să substituim $ \ lambda = -1 $ în prima ecuație:
$$ x + (- 1) \ cdot x = 6; \; x-x = 6; \; 0 = 6. $$
Contradicția rezultată $ 0 = 6 $ indică faptul că valoarea $ \ lambda = -1 $ este nevalidă. Ieșire: $ \ lambda \ neq -1 $. Să exprimăm $ x $ și $ y $ în termeni de $ \ lambda $:
\ begin (aliniat) & x + \ lambda x = 6; \; x (1+ \ lambda) = 6; \; x = \ frac (6) (1+ \ lambda). \\ & y + \ lambda y = -8; \; y (1+ \ lambda) = - 8; \; y = \ frac (-8) (1+ \ lambda). \ end (aliniat)
Cred că devine evident aici de ce am stipulat în mod specific condiția $ \ lambda \ neq -1 $. Acest lucru a fost făcut pentru a plasa fără probleme expresia $ 1 + \ lambda $ în numitori. Adică, pentru a fi siguri că numitorul este $ 1 + \ lambda \ neq 0 $.
Înlocuiți expresiile obținute pentru $ x $ și $ y $ în a treia ecuație a sistemului, adică la $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $:
$$ \ left (\ frac (6) (1+ \ lambda) \ right) ^ 2 + \ left (\ frac (-8) (1+ \ lambda) \ right) ^ 2 = 25; \\ \ frac ( 36) ((1+ \ lambda) ^ 2) + \ frac (64) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25; \\ \ frac (100) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25 ; \; (1+ \ lambda) ^ 2 = 4. $$
Din egalitatea obținută rezultă că $ 1 + \ lambda = 2 $ sau $ 1 + \ lambda = -2 $. Prin urmare, avem două valori ale parametrului $ \ lambda $, și anume: $ \ lambda_1 = 1 $, $ \ lambda_2 = -3 $. În consecință, obținem două perechi de valori $ x $ și $ y $:
\ begin (align) & x_1 = \ frac (6) (1+ \ lambda_1) = \ frac (6) (2) = 3; \; y_1 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_1) = \ frac (-8) (2) = - 4. \\ & x_2 = \ frac (6) (1+ \ lambda_2) = \ frac (6) (- 2) = - 3; \; y_2 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_2) = \ frac (-8) (- 2) = 4. \ end (aliniat)
Deci, am obținut două puncte ale unui eventual extrem condițional, adică $ M_1 (3; -4) $ și $ M_2 (-3; 4) $. Găsiți valorile funcției $ z $ la punctele $ M_1 $ și $ M_2 $:
\ begin (align) & z_1 = z (M_1) = 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \ cdot 3 + 16 \ cdot (-4) = - 75; \\ & z_2 = z (M_2) = (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) +16 \ cdot 4 = 125. \ end (aliniat)
Ar trebui să alegeți cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar, în acest caz, alegerea este mică :) Avem:
$$ z_ (min) = - 75; \; z_ (max) = 125. $$
Răspuns: $ z_ (min) = - 75; \; z_ (maxim) = 125 $.
Cum să găsiți cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment?
Pentru aceasta urmărim binecunoscutul algoritm:
1 ... Găsiți funcția ODZ.
2 ... Găsiți derivata funcției
3 ... Echivalând derivata la zero
4 ... Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din acestea determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:
Dacă pe intervalul I derivata funcției 0 "title =" (! LANG: f ^ (prim) (x)> 0">, то функция !} crește în acest interval.
Dacă derivata funcției pe intervalul I, atunci funcția scade în acest interval.
5 ... Găsim punctele maxime și minime ale funcției.
V punctul maxim al funcției, derivatul schimbă semnul de la "+" la "-".
V punctul minim al funcțieiderivatul modifică semnul de la "-" la "+".
6 ... Găsiți valoarea funcției la capetele segmentului,
- apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsim cea mai mare valoare a funcției
- sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cea mai mică dintre ele dacă trebuie să găsim cea mai mică valoare a funcției
Cu toate acestea, în funcție de modul în care se comportă funcția pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.
Luați în considerare funcția 
... Graficul acestei funcții arată astfel:
Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Banca Deschisă a sarcinilor pentru
1. Sarcina B15 (# 26695)
Pe segment.
1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x
Evident, aceste ecuații nu au soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și își ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x = 0.
Răspuns: 5.
2 . Sarcina B15 (# 26702)
Găsiți cea mai mare valoare a funcției 
pe segment.
1. Funcții ODZ title = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
Derivata este egală cu zero la, cu toate acestea, în aceste puncte nu schimbă semnul:
Prin urmare, title = "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la.
Pentru a face evident de ce derivata nu schimbă semnul, transformăm expresia derivatei după cum urmează:
Title = "(! LANG: y ^ (prime) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}
Răspuns: 5.
3. Sarcina B15 (# 26708)
Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe segment.
1. Funcția ODZ: title = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}
Plasăm rădăcinile acestei ecuații pe un cerc trigonometric.
Există două numere între: și
Să plasăm semnele. Pentru a face acest lucru, definim semnul derivatei la punctul x = 0: 
... La trecerea prin puncte și semnul modificărilor derivate.
Să reprezentăm schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:
Evident, punctul este un punct minim (în el derivativul schimbă semnul de la "-" la "+") și pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul stâng al segmentului.
