Cea mai importantă proprietate medie este că reflectă ceea ce este comun tuturor unităților populației studiate. Valorile caracteristicii unităților individuale ale populației variază sub influența multor factori, printre care pot fi atât de bază, cât și aleatoriu. Esența mediei constă în faptul că compensează reciproc abaterile în valorile atributului, care sunt cauzate de acțiunea unor factori aleatori, și acumulează (ține în considerare) modificări cauzate de acțiunea principalilor factori. . Acest lucru permite ca media să reflecte nivelul tipic al trăsăturii și să facă abstracție de la caracteristici individuale, inerente unităților individuale.
Pentru a in medie a fost cu adevărat tipică, trebuie calculată ținând cont de anumite principii.
Principii de bază ale utilizării mediilor.
1. Media trebuie determinată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ.
2. Media trebuie calculată pentru o populație formată dintr-un număr suficient de mare de unități.
3. Media trebuie calculată pentru populația în condiții staționare (când factorii de influență nu se modifică sau nu se modifică semnificativ).
4. Media trebuie calculată ținând cont continut economic indicatorul studiat.
Calculul majorității indicatorilor statistici specifici se bazează pe utilizarea:
· agregat mediu;
· putere medie (armonică, geometrică, aritmetică, pătratică, cubică);
· cronologic mediu (vezi secțiunea).
Toate mediile, cu excepția mediei agregate, pot fi calculate în două moduri - ponderate sau neponderate.
Agregat mediu. Formula folosită este:
Unde w i= x i* f i;
x i- i-a opțiune caracteristica fiind mediată;
f i, - greutate i-a optiune.
Putere medie. ÎN vedere generala formula de calcul:
unde este gradul k– tip putere medie.
Valorile mediilor calculate pe baza mediilor de putere pentru aceleași date inițiale nu sunt aceleași. Pe măsură ce exponentul k crește, crește și valoarea medie corespunzătoare:
Cronologic mediu. Pentru o serie de timp cu intervale egale între date, se calculează folosind formula:
,
Unde x 1Și Xn valoarea indicatorului la data de început și de sfârșit.
Formule pentru calcularea mediilor de putere
Exemplu. Conform tabelului. 2.1 impune calcularea salariului mediu pentru cele trei întreprinderi în ansamblu.
Tabelul 2.1
Salariile întreprinderilor SA
|
Companie |
Numărul de industrial producțiepersonal (PPP), pers. |
Fond lunar salariile, frecați. |
In medie salariu, freca. |
|
564840 |
2092 |
||
|
332750 |
2750 |
||
|
517540 |
2260 |
||
|
Total |
1415130 |
Formula de calcul specifică depinde de datele din tabel. 7 sunt cele originale. În consecință, sunt posibile următoarele opțiuni: date din coloanele 1 (număr de angajați) și 2 (statul de plată lunar); sau - 1 (număr de PPP) și 3 (salariul mediu); sau 2 (salariu lunar) și 3 (salariu mediu).
Dacă sunt disponibile numai datele coloanelor 1 și 2. Rezultatele acestor coloane conțin valorile necesare pentru calcularea mediei dorite. Se utilizează formula agregată medie:
Dacă sunt disponibile numai datele coloanelor 1 și 3, atunci numitorul raportului inițial este cunoscut, dar numitorul acestuia nu este cunoscut. Cu toate acestea, fondul de salarii poate fi obținut prin înmulțirea salariului mediu cu numărul de cadre didactice. Prin urmare, media generală poate fi calculată folosind formula medie aritmetică ponderată:
Trebuie avut în vedere faptul că greutatea ( f i) în unele cazuri poate fi produsul a două sau chiar trei valori.
În plus, media este utilizată și în practica statistică. aritmetică neponderată:
unde n este volumul populației.
Această medie este utilizată atunci când ponderile ( f i) sunt absente (fiecare variantă a caracteristicii apare o singură dată) sau sunt egale între ele.
Dacă există numai date din coloanele 2 și 3., adică numărătorul raportului inițial este cunoscut, dar numitorul acestuia nu este cunoscut. Numărul de angajați ai fiecărei întreprinderi poate fi obținut prin împărțirea salariului la salariul mediu. Apoi, salariul mediu pentru cele trei întreprinderi în ansamblu este calculat folosind formula medie armonică ponderată:
Dacă ponderile sunt egale ( f i) calculul mediei se poate face prin medie armonică neponderată:
În exemplul nostru am folosit forme diferite medie, dar am primit același răspuns. Acest lucru se datorează faptului că pentru date specifice a fost implementat de fiecare dată același raport inițial al mediei.
Indicatorii medii pot fi calculați utilizând serii de variații discrete și interval. În acest caz, calculul se face folosind media aritmetică ponderată. Pentru o serie discretă, această formulă este utilizată în același mod ca în exemplul de mai sus. În seria de intervale, punctele de mijloc ale intervalelor sunt determinate pentru calcul.
Exemplu. Conform tabelului. 2.2 determinăm valoarea venitului monetar mediu pe cap de locuitor pe lună într-o regiune condiționată.
Tabelul 2.2
Date inițiale (serie de variații)
| Venitul mediu pe cap de locuitor pe lună, x, rub. | Populație, % din total/ |
| Până la 400 | 30,2 |
| 400 — 600 | 24,4 |
| 600 — 800 | 16,7 |
| 800 — 1000 | 10,5 |
| 1000-1200 | 6,5 |
| 1200 — 1600 | 6,7 |
| 1600 — 2000 | 2,7 |
| 2000 și mai sus | 2,3 |
| Total | 100 |
Fiecare persoană din lumea modernă Când plănuiți să contractați un împrumut sau să faceți aprovizionare cu legume pentru iarnă, întâlniți periodic un astfel de concept ca „valoare medie”. Să aflăm: ce este, ce tipuri și clase există și de ce este folosit în statistică și alte discipline.
Valoarea medie - ce este?
O denumire similară (SV) este o caracteristică generalizată a unui set de fenomene omogene, determinată de orice caracteristică variabilă cantitativă.
Cu toate acestea, oamenii care sunt departe de astfel de definiții abstruse înțeleg acest concept ca o cantitate medie de ceva. De exemplu, înainte de a contracta un împrumut, un angajat al băncii va cere cu siguranță clientului potențial să furnizeze date privind venitul mediu pe an, adică valoare totală banii câștigați de o persoană. Se calculează prin însumarea câștigurilor pentru întregul an și împărțirea la numărul de luni. Astfel, banca va putea stabili dacă clientul său va putea rambursa datoria la timp.
De ce este folosit?
De regulă, valorile medii sunt utilizate pe scară largă pentru a oferi o descriere sumară a anumitor fenomene sociale care sunt caracter de masă. Ele pot fi folosite și pentru calcule la scară mai mică, ca în cazul unui împrumut din exemplul de mai sus.
Cu toate acestea, cel mai adesea valorile medii sunt încă folosite în scopuri globale. Un exemplu al unuia dintre ele este calculul cantității de energie electrică consumată de cetățeni pe parcursul unei luni calendaristice. Pe baza datelor obținute se stabilesc ulterior standarde maxime pentru categoriile de populație care beneficiază de beneficii de la stat.
De asemenea, folosind valori medii, se dezvoltă durata de viață în garanție a anumitor aparate electrocasnice, mașini, clădiri etc.
Practic orice fenomen viața modernă, care este de natură de masă, este într-un fel sau altul în mod necesar legat de conceptul în cauză.
Domenii de aplicare
Acest fenomen este utilizat pe scară largă în aproape toate științele exacte, în special în cele de natură experimentală.
Găsirea mediei are de mare valoareîn medicină, inginerie, gătit, economie, politică etc.
Pe baza datelor obținute din astfel de generalizări, se dezvoltă medicamente terapeutice, programe de învățare, stabiliți salarii minime de trai și salarii, construiți programe de antrenament, produc mobilă, îmbrăcăminte și încălțăminte, produse de igienă și multe altele.
În matematică, acest termen este numit „valoarea medie” și este folosit pentru a rezolva diverse exemple și probleme. Cele mai simple sunt adunarea și scăderea cu fracții obișnuite. La urma urmei, după cum știți, pentru a rezolva astfel de exemple este necesar să aduceți ambele fracții la un numitor comun.
De asemenea, în regina științelor exacte este adesea folosit termenul „valoarea medie a unei variabile aleatoare”, care are un sens similar. Este mai familiar pentru cei mai mulți ca „așteptări matematice”, mai des considerată în teoria probabilității. Este de remarcat faptul că un fenomen similar se aplică și la efectuarea calculelor statistice.
Valoarea medie în statistici
Cu toate acestea, conceptul studiat este cel mai des folosit în statistică. După cum se știe, această știință în sine este specializată în calculul și analiza caracteristicilor cantitative ale fenomenelor sociale de masă. Prin urmare, valoarea medie în statistică este utilizată ca metodă specializată pentru atingerea obiectivelor sale principale - colectarea și analizarea informațiilor.
Esența acestei metode statistice este înlocuirea valorilor individuale unice ale caracteristicii luate în considerare cu o anumită valoare medie echilibrată.
Un exemplu este celebra glumă cu mâncare. Deci, la o anumită fabrică, marți, la prânz, șefii ei mănâncă de obicei caserolă de carne, iar muncitorii obișnuiți mănâncă varză înăbușită. Pe baza acestor date, putem concluziona că, în medie, personalul fabricii ia masa cu sarmale în zilele de marți.
Cu toate că acest exemplu ușor exagerat, dar ilustrează dezavantajul principal metodă de căutare a unei valori medii - nivelarea caracteristicilor individuale ale obiectelor sau personalităților.
În valori medii, acestea sunt utilizate nu numai pentru analiza informațiilor colectate, ci și pentru planificarea și prognoza acțiunilor ulterioare.
De asemenea, este utilizat pentru evaluarea rezultatelor obținute (de exemplu, implementarea planului de cultivare și recoltare a grâului pentru sezonul primăvară-vară).
Cum să calculezi corect
Deși, în funcție de tipul de SV, există formule diferite calculul acestuia, în teoria generală a statisticii, de regulă, se utilizează o singură metodă de calcul a valorii medii a unei caracteristici. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să adunați valorile tuturor fenomenelor și apoi să împărțiți suma rezultată la numărul lor.
Atunci când faceți astfel de calcule, merită să ne amintim că valoarea medie are întotdeauna aceeași dimensiune (sau unități) ca unitatea individuală a populației.
Condiții pentru calculul corect
Formula discutată mai sus este foarte simplă și universală, așa că este aproape imposibil să faci o greșeală cu ea. Cu toate acestea, merită întotdeauna luate în considerare două aspecte, altfel datele obținute nu vor reflecta situația reală.
Clasele SV
După ce am găsit răspunsuri la întrebările de bază: „Care este valoarea medie?”, „Unde se folosește?” și „Cum îl puteți calcula?”, merită să aflați ce clase și tipuri de SV există.
În primul rând, acest fenomen este împărțit în 2 clase. Acestea sunt medii structurale și de putere.
Tipuri de SV-uri de putere
Fiecare dintre clasele de mai sus, la rândul său, este împărțită în tipuri. Clasa de calmare are patru.
- Media aritmetică este cel mai frecvent tip de SV. Este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al caracteristicii luate în considerare într-un set de date este distribuit în mod egal între toate unitățile acestui set.
Acest tip este împărțit în subtipuri: SV aritmetică simplă și ponderată.
- Media armonică este un indicator care este inversul mediei aritmetice simple, calculată din valorile reciproce ale caracteristicii luate în considerare.
Este utilizat în cazurile în care sunt cunoscute valorile individuale ale atributului și ale produsului, dar datele de frecvență nu sunt.
- Media geometrică este folosită cel mai des atunci când se analizează ratele de creștere ale fenomenelor economice. Face posibilă păstrarea neschimbată a produsului valorilor individuale ale unei cantități date, și nu a sumei.
De asemenea, poate fi simplu și echilibrat.
- Valoarea pătratică medie este utilizată la calcularea indicatorilor individuali, cum ar fi coeficientul de variație, caracterizarea ritmului producției de produs etc.
De asemenea, este folosit pentru a calcula diametrele medii ale țevilor, roților, laturile medii ale unui pătrat și cifre similare.
Ca toate celelalte tipuri de medii, rădăcina pătrată medie poate fi simplă și ponderată.
Tipuri de mărimi structurale
Pe lângă SV medii, ele sunt adesea folosite în statistici vederi structurale. Ele sunt mai potrivite pentru calcularea caracteristicilor relative ale valorilor unei caracteristici diferite și structura interna rânduri de distribuție.
Există două astfel de tipuri.
În statistici, sunt utilizate diferite tipuri de medii, care sunt împărțite în două clase mari:
Mijloace de putere (media armonică, medie geometrică, medie aritmetică, medie pătratică, medie cubică);
Mijloace structurale (mod, mediana).
A calcula medii de putere este necesar să se utilizeze toate valorile caracteristice disponibile. ModăȘi median sunt determinate numai de structura distribuției, de aceea se numesc medii structurale, poziționale. Mediana și modul sunt adesea folosite ca o caracteristică medie în acele populații în care calcularea mediei puterii este imposibilă sau nepractică.
Cel mai comun tip de medie este media aritmetică. Sub medie aritmetică se înțelege ca valoarea unei caracteristici pe care ar avea-o fiecare unitate a populației dacă suma totală a tuturor valorilor caracteristicii ar fi distribuită uniform între toate unitățile populației. Calculul acestei valori se reduce la însumarea tuturor valorilor caracteristicii variabile și la împărțirea sumei rezultate la numărul total de unități din populație. De exemplu, cinci muncitori au îndeplinit o comandă pentru producția de piese, în timp ce primul a făcut 5 piese, al doilea – 7, al treilea – 4, al patrulea – 10, al cincilea – 12. Întrucât în datele sursă valoarea fiecăruia opțiunea a apărut o singură dată, pentru a determina
Pentru a determina producția medie a unui lucrător, ar trebui să aplicați formula medie aritmetică simplă:
adică, în exemplul nostru, producția medie a unui lucrător este egală cu
Împreună cu media aritmetică simplă, ei studiază medie aritmetică ponderată. De exemplu, să calculăm varsta medie elevi într-un grup de 20 de persoane, ale căror vârste variază de la 18 la 22 de ani, unde xi– variantele caracteristicii fiind mediate, fi– frecvența, care arată de câte ori apare i-a valoarea în agregat (Tabelul 5.1).
Tabelul 5.1
Vârsta medie a elevilor
Aplicând formula mediei aritmetice ponderate, obținem:
Există o anumită regulă pentru alegerea unei medii aritmetice ponderate: dacă există o serie de date pe doi indicatori, pentru unul dintre care trebuie să calculați
valoarea medie și, în același timp, sunt cunoscute valorile numerice ale numitorului formulei sale logice, iar valorile numărătorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca produs al acestor indicatori, atunci valoarea medie ar trebui să se calculează folosind formula medie ponderată aritmetică.
În unele cazuri, natura datelor statistice inițiale este de așa natură încât calculul mediei aritmetice își pierde sensul și singurul indicator de generalizare nu poate fi decât un alt tip de valoare medie - medie armonică.În prezent, proprietățile de calcul ale mediei aritmetice și-au pierdut relevanța în calculul indicatorilor statistici generali, datorită introducerii pe scară largă a tehnologiei de calcul electronic. Valoarea medie armonică, care poate fi și simplă și ponderată, a căpătat o mare importanță practică. Dacă sunt cunoscute valorile numerice ale numărătorului unei formule logice, iar valorile numitorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca o împărțire parțială a unui indicator cu altul, atunci valoarea medie este calculată folosind armonica formula medie ponderată.
De exemplu, să se știe că mașina a parcurs primii 210 km cu o viteză de 70 km/h, iar restul de 150 km cu o viteză de 75 km/h. Este imposibil să se determine viteza medie a unei mașini pe întreaga călătorie de 360 km folosind formula medie aritmetică. Deoarece opțiunile sunt viteze în secțiuni individuale xj= 70 km/h și X2= 75 km/h, iar greutățile (fi) sunt considerate a fi secțiunile corespunzătoare ale traseului, atunci produsele opțiunilor și greutățile nu vor avea nici semnificație fizică, nici economică. ÎN în acest caz, coeficientii dobândesc semnificație din împărțirea secțiunilor traseului în viteze corespunzătoare (opțiunile xi), adică timpul petrecut cu trecerea secțiunilor individuale ale traseului (fi / xi). Dacă secțiunile căii sunt notate cu fi, atunci întregul drum va fi exprimat ca?fi, iar timpul petrecut pe întreaga cale va fi exprimat ca?fi. fi / xi , Apoi viteza medie poate fi găsită ca coeficientul întregii trasee împărțit la timpul total petrecut:
În exemplul nostru obținem:
Dacă, atunci când utilizați media armonică, ponderile tuturor opțiunilor (f) sunt egale, atunci în locul celei ponderate puteți utiliza medie armonică simplă (neponderată):
unde xi sunt opțiuni individuale; n– numărul de variante ale caracteristicii care se face media. În exemplul de viteză, media armonică simplă ar putea fi aplicată dacă segmentele de cale parcurse la viteze diferite ar fi egale.
Orice valoare medie trebuie calculată astfel încât atunci când înlocuiește fiecare variantă a caracteristicii medii, valoarea unui indicator final, general, care este asociat cu indicatorul mediu, să nu se modifice. Astfel, la înlocuirea vitezelor reale pe secțiuni individuale ale traseului cu valoarea medie a acestora ( viteza medie) distanța totală nu trebuie să se modifice.
Forma (formula) valorii medii este determinată de natura (mecanismul) relației acestui indicator final cu cel mediat, prin urmare indicatorul final, a cărui valoare nu ar trebui să se modifice la înlocuirea opțiunilor cu valoarea lor medie, este numit indicator definitoriu. Pentru a obține formula pentru medie, trebuie să creați și să rezolvați o ecuație folosind relația dintre indicatorul mediat și cel determinant. Această ecuație se construiește prin înlocuirea variantelor caracteristicii (indicatorului) care se face media cu valoarea medie a acestora.
Pe lângă media aritmetică și media armonică, în statistică sunt folosite și alte tipuri (forme) de medie. Toate sunt cazuri speciale putere medie. Dacă calculăm toate tipurile de medii de putere pentru aceleași date, atunci valorile
se vor dovedi a fi la fel, aici se aplică regula major-garantie in medie. Pe măsură ce exponentul mediei crește, valoarea medie în sine crește. Cele mai frecvent utilizate formule de calcul în cercetarea practică tipuri variate valorile medii ale puterii sunt prezentate în tabel. 5.2.
Tabelul 5.2
Tipuri de mijloace de putere
Media geometrică este folosită atunci când există n coeficienții de creștere, în timp ce valorile individuale ale caracteristicii sunt, de regulă, valori de dinamică relativă, construite sub formă de valori în lanț, ca raport față de nivelul anterior al fiecărui nivel din seria dinamică. Media caracterizează astfel rata medie de creștere. Medie geometrică simplă calculate prin formula
Formulă medie geometrică ponderată are următoarea formă:
Formulele de mai sus sunt identice, dar una se aplică pentru coeficienții sau ratele de creștere actuale, iar a doua se aplică pentru valorile absolute ale nivelurilor de serie.
Medie pătrată utilizat în calcule cu valorile funcțiilor pătratice, utilizat pentru a măsura gradul de fluctuație a valorilor individuale ale unei caracteristici în jurul mediei aritmetice din seria de distribuție și este calculat prin formula
Pătrat mediu ponderat calculat folosind o altă formulă:
Cubic mediu se utilizează la calcularea cu valori ale funcțiilor cubice și se calculează prin formula
Cubic ponderat mediu:
Toate valorile medii discutate mai sus pot fi prezentate ca o formulă generală:
unde este valoarea medie; – sens individual; n– numărul de unități ale populației studiate; k– exponent care determină tipul mediei.
Când utilizați aceleași date sursă, cu atât mai mult k V formula generala puterea medie, cu atât valoarea medie este mai mare. De aici rezultă că există o relație naturală între valorile mediilor de putere:
Valorile medii descrise mai sus oferă o idee generalizată a populației studiate, iar din acest punct de vedere, semnificația lor teoretică, aplicată și educațională este incontestabilă. Dar se întâmplă ca valoarea medie să nu coincidă cu niciuna dintre cele reale opțiunile existente, prin urmare, pe lângă mediile considerate, în analiza statistică este recomandabil să se utilizeze valorile opțiunilor specifice care ocupă o poziție bine definită în seria ordonată (clasată) de valori ale atributelor. Dintre aceste cantități, cele mai utilizate sunt structural, sau descriptiv, mediu– mod (Mo) și mediană (Me).
Modă– valoarea unei caracteristici care se găsește cel mai des la o populație dată. În raport cu o serie variațională, modul este valoarea cea mai frecventă a seriei clasate, adică opțiunea cu cea mai mare frecvență. Moda poate fi folosită în determinarea magazinelor care sunt vizitate mai des, cel mai frecvent preț pentru orice produs. Ea arată dimensiunea unei caracteristici caracteristice unei părți semnificative a populației și este determinată de formulă
unde x0 este limita inferioară a intervalului; h– dimensiunea intervalului; fm– frecvența intervalului; fm_ 1 – frecvența intervalului anterior; fm+ 1 – frecvența intervalului următor.
Median se numește opțiunea situată în centrul rândului clasat. Mediana împarte seria în două părți egale, astfel încât să existe același număr de unități de populație de ambele părți ale acesteia. În acest caz, jumătate din unitățile din populație au o valoare a caracteristicii variabile care este mai mică decât mediana, în timp ce cealaltă jumătate are o valoare mai mare decât aceasta. Mediana este utilizată atunci când se studiază un element a cărui valoare este mai mare sau egală cu, sau în același timp mai mică sau egală cu, jumătate dintre elementele unei serii de distribuție. Mediana dă ideea generala despre unde sunt concentrate valorile atributului, cu alte cuvinte, unde se află centrul lor.
Caracterul descriptiv al mediei se manifestă prin faptul că ea caracterizează limita cantitativă a valorilor unei caracteristici variabile pe care o posedă jumătate din unitățile din populație. Problema găsirii medianei pentru o serie de variații discrete este ușor de rezolvat. Dacă tuturor unităților seriei li se dau numere de serie, atunci numărul de serie al opțiunii mediane este determinat ca (n + 1) / 2 cu un număr impar de membri de n Dacă numărul de membri ai seriei este un număr par , atunci mediana va fi valoarea medie a două opțiuni care au numere de serie n/ 2 și n/ 2 + 1.
Când se determină mediana în seria de variații de interval, se stabilește mai întâi intervalul în care se află (intervalul median). Acest interval se caracterizează prin faptul că suma sa acumulată de frecvențe este egală cu sau depășește jumătate din suma tuturor frecvențelor seriei. Mediana unei serii de variații de interval este calculată folosind formula
Unde X0– limita inferioară a intervalului; h– dimensiunea intervalului; fm– frecvența intervalului; f– numărul de membri ai seriei;
M -1 – suma termenilor acumulați ai seriei premergătoare celei date.
Împreună cu mediana pentru mai mult caracteristici complete structurile populației studiate folosesc și alte valori ale opțiunilor care ocupă o poziție foarte specifică în seria clasată. Acestea includ quartilesȘi decile. Quartilele împart seria prin suma frecvențelor în 4 părți egale, iar decilele - în 10 părti egale. Există trei quartile și nouă decile.
Mediana și modul, spre deosebire de media aritmetică, nu se anulează diferențe individualeîn valorile caracteristicii diferite și, prin urmare, sunt suplimentare și foarte caracteristici importante populaţia statistică. În practică, ele sunt adesea folosite în locul mediei sau împreună cu aceasta. Este indicat mai ales să se calculeze mediana și modul în cazurile în care populația studiată conține un anumit număr de unități cu o valoare foarte mare sau foarte mică a caracteristicii variabile. Aceste valori ale opțiunilor, care nu sunt foarte caracteristice populației, deși influențează valoarea mediei aritmetice, nu afectează valorile medianei și ale modului, ceea ce face ca acestea din urmă indicatori foarte valoroși pentru economic și statistic. analiză.
În matematică, media aritmetică a numerelor (sau pur și simplu media) este suma tuturor numerelor din acest set, împărțit la numărul lor. Acesta este cel mai generalizat și răspândit concept de valoare medie. După cum ați înțeles deja, pentru a găsi media, trebuie să însumați toate numerele date și să împărțiți rezultatul rezultat la numărul de termeni.
Care este media aritmetică?
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 1. Numerele date: 6, 7, 11. Trebuie să găsiți valoarea lor medie.
Soluţie.
Mai întâi, să găsim suma tuturor acestor numere.
Acum împărțiți suma rezultată la numărul de termeni. Deoarece avem trei termeni, vom împărți la trei.
Prin urmare, media numerelor 6, 7 și 11 este 8. De ce 8? Da, pentru că suma 6, 7 și 11 va fi aceeași cu trei opturi. Acest lucru se vede clar în ilustrație.
Media se aseamănă un pic la „ieșirea în seară” a unei serii de numere. După cum puteți vedea, mormanele de creioane au devenit la același nivel.
Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida cunoștințele acumulate.
Exemplul 2. Numerele date: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Trebuie să găsiți media lor aritmetică.
Soluţie.
Găsiți suma.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Împărțiți la numărul de termeni (în acest caz - 15).
Prin urmare, valoarea medie a acestei serii de numere este 22.
Acum să luăm în considerare numere negative. Să ne amintim cum să le rezumăm. De exemplu, aveți două numere 1 și -4. Să le găsim suma.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Știind acest lucru, să ne uităm la un alt exemplu.
Exemplul 3. Aflați valoarea medie a unei serii de numere: 3, -7, 5, 13, -2.
Soluţie.
Aflați suma numerelor.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Deoarece există 5 termeni, împărțiți suma rezultată la 5.
Prin urmare, media aritmetică a numerelor 3, -7, 5, 13, -2 este 2,4.
În timpul nostru de progres tehnologic, este mult mai convenabil să folosiți pentru a găsi valoarea medie programe de calculator. Microsoft Office Excel este unul dintre ele. Găsirea mediei în Excel este rapidă și ușoară. Mai mult, acest program este inclus în pachetul software Microsoft Office. Sa luam in considerare instructiuni scurte, cum să găsiți media aritmetică folosind acest program.
Pentru a calcula valoarea medie a unei serii de numere, trebuie să utilizați funcția MEDIE. Sintaxa pentru această funcție este:
= Medie(argument1, argument2, ... argument255)
unde argument1, argument2, ... argument255 sunt fie numere, fie referințe de celule (prin celule înțelegem intervale și matrice).
Pentru a fi mai clar, haideți să încercăm cunoștințele pe care le-am dobândit.
- Introduceți numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16 în celulele C1 – C6.
- Selectați celula C7 făcând clic pe ea. În această celulă vom afișa valoarea medie.
- Faceți clic pe fila Formule.
- Selectați Mai multe funcții > Statistică pentru a deschide lista derulantă.
- Selectați MEDIE. După aceasta, ar trebui să se deschidă o casetă de dialog.
- Selectați și trageți acolo celulele de la C1 la C6 pentru a seta intervalul în caseta de dialog.
- Confirmați acțiunile dvs. cu butonul „OK”.
- Dacă ați făcut totul corect, ar trebui să aveți răspunsul în celula C7 - 13.7. Când faceți clic pe celula C7, funcția (=Medie(C1:C6)) va apărea în bara de formule.
Această caracteristică este foarte utilă pentru contabilitate, facturi sau atunci când trebuie doar să găsiți media unei serii foarte lungi de numere. Prin urmare, este adesea folosit în birouri și companii mari. Acest lucru vă permite să vă păstrați evidențele în ordine și vă permite să calculați rapid ceva (de exemplu, venitul mediu lunar). De asemenea, cu folosind Excel puteți găsi valoarea medie a funcției.
In medie
Acest termen are alte semnificații, vezi sensul mediu.In medie(în matematică și statistică) seturi de numere - suma tuturor numerelor împărțită la numărul lor. Este una dintre cele mai comune măsurători ale tendinței centrale.
A fost propusă (împreună cu media geometrică și media armonică) de către pitagoreici.
Cazuri speciale ale mediei aritmetice sunt media (populația generală) și media eșantionului (eșantionul).
Introducere
Să notăm setul de date X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei indicată printr-o bară orizontală deasupra variabilei (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), pronunțată „ X cu o linie").
Litera greacă μ este folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații. Pentru o variabilă aleatoare pentru care se determină valoarea medie, μ este medie de probabilitate sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție numere aleatorii cu o medie probabilistă μ, apoi pentru orice probă X i din această mulțime μ = E( X i) este așteptarea matematică a acestui eșantion.
În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) este că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea un eșantion mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este reprezentat aleatoriu (în termeni de teoria probabilității), atunci x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion ( distribuția de probabilitate a mediei).
Ambele cantități sunt calculate în același mod:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Dacă X este o variabilă aleatorie, apoi așteptarea matematică X poate fi considerată ca medie aritmetică a valorilor în măsurători repetate ale unei mărimi X. Aceasta este o manifestare a legii numere mari. Prin urmare, media eșantionului este utilizată pentru a estima valoarea așteptată necunoscută.
S-a dovedit în algebra elementară că media n+ 1 numere peste medie n numere dacă și numai dacă noul număr este mai mare decât vechea medie, mai puțin dacă și numai dacă noul număr este mai mic decât media și nu se modifică dacă și numai dacă noul număr este egal cu media. Cu atât mai mult n, cu atât diferența dintre mediile noi și cele vechi este mai mică.
Rețineți că există câteva alte „medii” disponibile, inclusiv media puterii, media Kolmogorov, media armonică, media aritmetică-geometrică și diverse medii ponderate (de exemplu, media aritmetică ponderată, media geometrică ponderată, media armonică ponderată).
Exemple
- Pentru trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:
- Pentru patru numere, trebuie să le adunați și să împărțiți la 4:
Sau mai simplu 5+5=10, 10:2. Pentru că adunam 2 numere, ceea ce înseamnă câte numere adunăm, împărțim la atâtea.
Variabilă aleatoare continuă
Pentru o mărime distribuită continuu f (x) (\displaystyle f(x)), media aritmetică pe intervalul [ a ; b ] (\displaystyle ) este determinată printr-o integrală definită:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Câteva probleme de utilizare a mediei
Lipsa robusteței
Articolul principal: Robustețe în statisticăDeși mediile aritmetice sunt adesea folosite ca medii sau tendințe centrale, acest concept nu este o statistică robustă, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că, pentru distribuțiile cu un coeficient mare de asimetrie, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine media centrală. tendinţă.
Un exemplu clasic este calcularea venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca o mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât există de fapt. Venitul „mediu” este interpretat ca însemnând că majoritatea oamenilor au venituri în jurul acestui număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât veniturile majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie foarte denaturată (dimpotrivă, venitul mediu la mediană). „rezistă” la o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului mediu (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă iei cu ușurință conceptele de „medie” și „majoritatea oamenilor”, poți trage concluzia incorectă că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a tuturor Venitul net locuitorii vor oferi o surpriză număr mare din cauza lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci din șase valori sunt sub această medie.
Interes compus
Articolul principal: Randamentul investițiilorDacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să folosiți media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident apare atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.
De exemplu, dacă un stoc a scăzut cu 10% în primul an și a crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să se calculeze creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (−10% + 30%) / 2 = 10%; media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă, care dă o rată de creștere anuală de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30% dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10%, valorează 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul a crescut cu 30%, ar valora 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar din moment ce acțiunile au crescut cu doar 5,1 USD în 2 ani, înălțime medie la 8,2% dă rezultatul final 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică de 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Dobânda compusă la sfârșitul a 2 ani: 90% * 130% = 117%, adică creșterea totală este de 17%, iar dobânda compusă medie anuală este de 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\aproximativ 108,2\%) , adică o creștere medie anuală de 8,2%.
Directii
Articolul principal: Statistici despre destinațieCând se calculează media aritmetică a unei variabile care se modifică ciclic (cum ar fi faza sau unghiul), trebuie avută o atenție deosebită. De exemplu, media 1° și 359° ar fi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Acest număr este incorect din două motive.
- În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite numai pentru intervalul de la 0° la 360° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani). Deci aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1° și -1°) sau ca (1° și 719°). Valorile medii ale fiecărei perechi vor fi diferite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )) .
- În al doilea rând, în acest caz, o valoare de 0° (echivalent cu 360°) va fi o valoare medie mai bună din punct de vedere geometric, deoarece numerele se abat mai puțin de la 0° decât de la orice altă valoare (valoarea 0° are cea mai mică variație). Comparaţie:
- numărul 1° se abate de la 0° cu doar 1°;
- numărul 1° se abate de la media calculată de 180° cu 179°.
Valoarea medie pentru o variabilă ciclică calculată folosind formula de mai sus va fi deplasată artificial în raport cu media reală spre mijlocul intervalului numeric. Din acest motiv, media este calculată într-un mod diferit, și anume, numărul cu cea mai mică variație (punctul central) este selectat ca valoare medie. De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulară (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe cercul dintre 359° și 360°==0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2 °).
Media ponderată - ce este și cum se calculează?
În procesul de studiere a matematicii, școlarii se familiarizează cu conceptul de medie aritmetică. Mai târziu, în statistică și în alte științe, studenții se confruntă cu calculul altor valori medii. Ce pot fi și în ce se deosebesc unul de celălalt?
Medii: sens și diferențe
Indicatorii precisi nu oferă întotdeauna o înțelegere a situației. Pentru a evalua o anumită situație, uneori este necesar să se analizeze un număr mare de cifre. Și apoi mediile vin în ajutor. Ele ne permit să evaluăm situația în ansamblu.
Încă din timpul școlii, mulți adulți își amintesc existența mediei aritmetice. Este foarte simplu de calculat - suma unei secvențe de n termeni este împărțită la n. Adică, dacă trebuie să calculați media aritmetică în succesiunea valorilor 27, 22, 34 și 37, atunci trebuie să rezolvați expresia (27+22+34+37)/4, deoarece 4 valori sunt utilizate în calcule. În acest caz, valoarea necesară va fi 30.
Media geometrică este adesea studiată ca parte a unui curs școlar. Calculul acestei valori se bazează pe extragerea rădăcinii a n-a a produsului din n termeni. Dacă luăm aceleași numere: 27, 22, 34 și 37, atunci rezultatul calculelor va fi egal cu 29,4.
Înseamnă armonică în școală gimnazială nu este de obicei subiect de studiu. Cu toate acestea, este folosit destul de des. Această valoare este inversul mediei aritmetice și se calculează ca coeficientul lui n - numărul de valori și suma 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. Dacă luăm din nou aceeași serie de numere pentru calcul, atunci armonica va fi 29,6.
Media ponderată: caracteristici
Cu toate acestea, este posibil ca toate valorile de mai sus să nu fie folosite peste tot. De exemplu, în statistici, atunci când se calculează anumite medii, „greutatea” fiecărui număr folosit în calcule joacă un rol important. Rezultatele sunt mai orientative și mai corecte deoarece țin cont de mai multe informații. Acest grup de cantități are denumirea generală " medie ponderată„Nu se predau la scoala, asa ca merita sa le privim mai in detaliu.
În primul rând, merită să spuneți ce se înțelege prin „greutatea” unei anumite valori. Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este exemplu concret. De două ori pe zi în spital se măsoară temperatura corpului fiecărui pacient. Din 100 de pacienți din diferite secții ale spitalului, 44 vor avea o temperatură normală - 36,6 grade. Alte 30 vor avea o valoare crescută - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, iar restul de două - 40. Și dacă luăm media aritmetică, atunci această valoare în general pentru spital va fi mai mare de 38. grade! Dar aproape jumătate dintre pacienți au o temperatură complet normală. Și aici ar fi mai corect să folosiți o medie ponderată, iar „greutatea” fiecărei valori ar fi numărul de persoane. În acest caz, rezultatul calculului va fi de 37,25 grade. Diferența este evidentă.
În cazul calculelor medii ponderate, „greutatea” poate fi luată ca fiind numărul de expedieri, numărul de persoane care lucrează într-o anumită zi, în general, orice poate fi măsurat și poate afecta rezultatul final.
Soiuri
Media ponderată este legată de media aritmetică discutată la începutul articolului. Cu toate acestea, prima valoare, așa cum sa menționat deja, ia în considerare și ponderea fiecărui număr utilizat în calcule. În plus, există și valori geometrice și armonice ponderate.
Mai este unul varietate interesantă, folosit în seriile de numere. Este despre aproximativ o medie mobilă ponderată. Pe această bază sunt calculate tendințele. Pe lângă valorile în sine și greutatea lor, acolo se utilizează și periodicitatea. Și atunci când se calculează valoarea medie la un moment dat, se iau în considerare și valorile pentru perioadele de timp anterioare.
Calcularea tuturor acestor valori nu este atât de dificilă, dar în practică se folosește de obicei doar media ponderată obișnuită.
Metode de calcul
În era informatizării larg răspândite, nu este nevoie să se calculeze manual media ponderată. Cu toate acestea, ar fi util să cunoașteți formula de calcul pentru a putea verifica și, dacă este cazul, ajusta rezultatele obținute.
Cel mai simplu mod este să luați în considerare calculul folosind un exemplu specific.
Este necesar să aflați care este salariul mediu la această întreprindere, ținând cont de numărul de lucrători care primesc un anumit salariu.
Deci, media ponderată se calculează folosind următoarea formulă:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
De exemplu, calculul ar fi astfel:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Evident, nu există nicio dificultate deosebită în calcularea manuală a mediei ponderate. Formula de calcul a acestei valori într-una dintre cele mai populare aplicații cu formule - Excel - arată ca funcția SUMPRODUCT (serie de numere; serie de greutăți) / SUM (serie de greutăți).
Cum să găsești media în excel?
cum se găsește media aritmetică în excel?
Vladimir09854
La fel de ușor ca o plăcintă. Pentru a găsi media în Excel, aveți nevoie doar de 3 celule. În primul vom scrie un număr, în al doilea - altul. Și în a treia celulă vom introduce o formulă care ne va oferi valoarea medie dintre aceste două numere din prima și a doua celulă. Dacă celula nr. 1 se numește A1, celula nr. 2 se numește B1, atunci în celula cu formula trebuie să scrieți acest lucru:
Această formulă calculează media aritmetică a două numere.
Pentru a ne face calculele mai frumoase, putem evidenția celulele cu linii, sub formă de plăcuță.
Există și o funcție pentru determinarea valorii medii în Excel în sine, dar eu folosesc metodă de modă vecheși introduceți formula de care am nevoie. Astfel, sunt sigur că Excel va calcula exact așa cum am nevoie și nu va veni cu un fel de rotunjire proprie.
M3sergey
Acest lucru este foarte simplu dacă datele sunt deja introduse în celule. Dacă sunteți interesat doar de un număr, trebuie doar să selectați intervalul/intervalele dorite, iar valoarea sumei acestor numere, media lor aritmetică și numărul lor vor apărea în dreapta jos în bara de stare.
Puteți selecta o celulă goală, faceți clic pe triunghiul (lista derulantă) „Suma automată” și selectați „Medie” acolo, după care veți fi de acord cu intervalul propus pentru calcul sau selectați-l pe al dvs.
În cele din urmă, puteți utiliza formulele direct făcând clic pe „Inserare funcție” de lângă bara de formule și adresa celulei. Funcția MEDIE este situată în categoria „Statistică” și ia drept argumente atât numere, cât și referințe de celule etc. Acolo puteți selecta și opțiuni mai complexe, de exemplu, MEDIEIF - calculând media în funcție de condiție.
Găsiți valoarea medie în excel este o sarcină destul de simplă. Aici trebuie să înțelegeți dacă doriți să utilizați această valoare medie în unele formule sau nu.
Dacă trebuie doar să obțineți valoarea, atunci selectați doar intervalul necesar de numere, după care Excel va calcula automat valoarea medie - va fi afișată în bara de stare, rubrica „Medie”.
În cazul în care doriți să utilizați rezultatul în formule, puteți face acest lucru:
1) Însumați celulele folosind funcția SUM și împărțiți totul la numărul de numere.
încă 2 varianta corecta- utilizați o funcție specială numită MEDIE. Argumentele acestei funcții pot fi numere specificate secvenţial sau un interval de numere.
Vladimir Tihonov
Încercuiți valorile care vor participa la calcul, faceți clic pe fila „Formule”, acolo veți vedea în stânga „AutoSum” și lângă ea un triunghi îndreptat în jos. Faceți clic pe acest triunghi și selectați „Mediu”. Voila, gata) în partea de jos a coloanei vei vedea valoarea medie :)
Ekaterina Mutalapova
Să începem de la început și în ordine. Ce înseamnă medie?
Media este o valoare care este media valoare aritmetică, adică se calculează adunând un set de numere și apoi împărțind întreaga sumă de numere la numărul lor. De exemplu, pentru numerele 2, 3, 6, 7, 2 vor fi 4 (suma numerelor 20 se împarte la numărul lor 5)
Într-o foaie de calcul Excel, pentru mine personal, cel mai simplu mod a fost să folosesc formula = MEDIE. Pentru a calcula valoarea medie, trebuie să introduceți date în tabel, să scrieți funcția =AVERAGE() sub coloana de date și să indicați intervalul de numere din celulele dintre paranteze, evidențiind coloana cu datele. După aceea, apăsați ENTER sau pur și simplu faceți clic stânga pe orice celulă. Rezultatul apare în celula de sub coloană. Pare descris de neînțeles, dar de fapt este o chestiune de câteva minute.
Aventurier 2000
Excel este un program variat, așa că există mai multe opțiuni care vă vor permite să găsiți medii:
Prima varianta. Pur și simplu însumați toate celulele și împărțiți la numărul lor;
A doua varianta. Utilizați o comandă specială, scrieți formula „= MEDIE (și aici indicați intervalul de celule)” în celula necesară;
A treia opțiune. Dacă selectați intervalul necesar, vă rugăm să rețineți că în pagina de mai jos este afișată și valoarea medie din aceste celule.
Astfel, există o mulțime de modalități de a găsi media, trebuie doar să o alegi pe cea mai bună pentru tine și să o folosești constant.
În Excel, puteți utiliza funcția MEDIE pentru a calcula media aritmetică simplă. Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți un număr de valori. Apăsați egal și selectați Statistic în Categorie, dintre care selectați funcția MEDIE
De asemenea, folosind formule statistice, puteți calcula media aritmetică ponderată, care este considerată mai precisă. Pentru a-l calcula, avem nevoie de valori și frecvență indicatoare.
Cum să găsiți media în Excel?
Aceasta este situația. Există următorul tabel:
Coloanele umbrite în roșu conțin valorile numerice ale notelor la materii. În coloana „Scor mediu”, trebuie să calculați media acestora.
Problema este aceasta: sunt 60-70 de articole în total și unele dintre ele sunt pe altă foaie.
M-am uitat într-un alt document și media a fost deja calculată, iar în celulă există o formulă de genul
="numele foii"!|E12
dar asta a fost făcut de un programator care a fost concediat.
Te rog spune-mi cine înțelege asta.
Hector
În linia de funcții, inserați „MEDIA” din funcțiile propuse și selectați de unde trebuie calculate (B6:N6) pentru Ivanov, de exemplu. Nu știu sigur despre foile adiacente, dar probabil este conținut în ajutorul standard Windows
Spune-mi cum să calculez valoarea medie în Word
Vă rog să-mi spuneți cum să calculez valoarea medie în Word. Și anume, valoarea medie a evaluărilor, și nu numărul de persoane care au primit evaluările. 
Iulia Pavlova
Word poate face multe cu macrocomenzi. Apăsați ALT+F11 și scrieți un program macro..
În plus, Insert-Object... vă va permite să utilizați alte programe, chiar și Excel, pentru a crea o foaie cu un tabel în interiorul unui document Word.
Dar, în acest caz, trebuie să vă scrieți numerele într-o coloană a tabelului și să introduceți media în celula de jos a aceleiași coloane, nu?
Pentru a face acest lucru, introduceți un câmp în celula de jos.
Inserare-Câmp... -Formulă
Conținutul câmpului
[=MEDIA(SAI)]
dă media sumei celulelor de mai sus.
Dacă selectați un câmp și faceți clic pe butonul dreapta al mouse-ului, îl puteți actualiza dacă numerele s-au schimbat,
vizualizați codul sau valoarea unui câmp, modificați codul direct în câmp.
Dacă ceva nu merge bine, ștergeți întregul câmp din celulă și creați-l din nou.
MEDIE înseamnă medie, SUS - aproximativ, adică un număr de celule situate deasupra.
Nu știam eu însumi toate acestea, dar le-am descoperit cu ușurință în HELP, desigur, cu puțină gândire.
