În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia noua metoda- metoda de selectie pătrat plinși învață cum să o aplici pentru a rezolva diverse probleme.

Subiect:Factorizarea polinoamelor

Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Combinație de metode

Să ne amintim metodele de bază de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:

Metoda de îndepărtare multiplicator comunîn afara parantezei, adică un astfel de factor care este prezent în toți termenii polinomului. Să ne uităm la un exemplu:

Amintiți-vă că un monom este produsul dintre puteri și numere. În exemplul nostru, ambii termeni au unele elemente comune, identice.

Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:

;

Să vă reamintim că înmulțind factorul scos cu o paranteză, puteți verifica corectitudinea factorului scos.

Metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să se extragă un factor comun într-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în ​​fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun în întreaga expresie și puteți continua descompunerea. Să ne uităm la un exemplu:

Să grupăm primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și al treilea cu al șaselea:

Să scoatem factorii comuni din grupuri:

Expresia are acum un factor comun. Hai să-l scoatem:

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Să ne uităm la un exemplu:

;

Să scriem expresia în detaliu:

Evident, avem în față formula diferenței pătrate, deoarece este suma pătratelor a două expresii și din ea se scade produsul lor dublu. Să folosim formula:

Astăzi vom învăța o altă metodă - metoda de selectare a unui pătrat complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Să le reamintim:

Formula pentru pătratul sumei (diferența);

Particularitatea acestor formule este că ele conțin pătratele a două expresii și produsul lor dublu. Să ne uităm la un exemplu:

Să notăm expresia:

Deci, prima expresie este , iar a doua este .

Pentru a crea o formulă pentru pătratul unei sume sau diferențe, nu este suficient de două ori produsul expresiilor. Trebuie adăugat și scăzut:

Să completăm pătratul sumei:

Să transformăm expresia rezultată:

Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate, reamintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și suma diferenței lor:

Asa de, aceasta metoda constă, în primul rând, în faptul că este necesar să se identifice expresiile a și b care sunt în pătrat, adică să se determine care sunt pătratele expresiilor. în acest exemplu. După aceasta, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, apoi adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1 - factorizați:

Să găsim expresii care sunt la pătrat:

Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:

Să adunăm și să scădem dublu produs:

Să completăm pătratul sumei și să dăm altele similare:

Să o scriem folosind formula diferenței de pătrate:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

;

În partea stângă a ecuației este un trinom. Trebuie să o ponderați în factori. Folosim formula diferenței pătrate:

Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:

Să îndoim un pătrat complet și să dăm termeni similari:

Să aplicăm formula diferenței de pătrate:

Deci avem ecuația

Știm că un produs este egal cu zero numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Să creăm următoarele ecuații pe baza acestui lucru:

Să rezolvăm prima ecuație:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Răspuns: sau

;

Procedăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.

Calculator online.
Izolarea pătratului unui binom și factorizarea unui trinom pătrat.

Acest program de matematică distinge binomul pătrat de trinomul pătrat, adică face o transformare de genul:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează trinom pătratic : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Acestea. problemele se rezumă la găsirea numerelor \(p, q\) și \(n, m\)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

La introducerea unei expresii poti folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplu solutie detaliata

Izolarea pătratului unui binom.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decide

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Izolarea pătratului unui binom de un trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+p) 2 +q, unde p și q sunt numere reale, atunci spunem că din trinom pătrat, pătratul binomului este evidențiat.

Din trinomul 2x 2 +12x+14 extragem pătratul binomului.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pentru a face acest lucru, imaginați-vă 6x ca un produs de 2*3*x, apoi adăugați și scădeți 3 2. Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Acea. Noi extrageți binomul pătrat din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizarea unui trinom pătratic

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat sub forma a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația a fost efectuată factorizarea unui trinom pătratic.

Să arătăm cu un exemplu cum se face această transformare.

Să factorizăm trinomul pătratic 2x 2 +4x-6.

Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, imaginați-vă 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Acea. Noi factorizat trinomul pătratic, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Rețineți că factorizarea unui trinom pătratic este posibilă numai dacă ecuația pătratică corespunzătoare acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, este posibil să factorăm trinomul 2x 2 +4x-6 dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factorizare, am stabilit că ecuația 2x 2 + 4x-6 = 0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și ale examenului de stat unificat online Jocuri, puzzle-uri Trasarea graficelor funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților rusești Lista a sarcinilor

x a sunat

1.2.3. Utilizarea identităților de multiplicare prescurtate

Exemplu. Factorul x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Factorizarea unui polinom folosind rădăcinile acestuia

Teorema. Fie că polinomul P x are rădăcină x 1 . Atunci acest polinom poate fi factorizat după cum urmează: P x x x 1 S x , unde S x este un polinom al cărui grad este cu unul mai puțin

valorile alternativ în expresia pentru P x Obținem că atunci când x 2 tu-.

expresia se va transforma la 0, adică P 2 0, ceea ce înseamnă că x 2 este rădăcina unui multi-

membru. Împărțiți polinomul P x la x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Selectarea unui pătrat complet

Metoda de selectare a unui pătrat complet se bazează pe utilizarea formulelor: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Izolarea unui pătrat complet este o transformare de identitate în care un trinom dat este reprezentat ca a b 2 suma sau diferența pătratului binomului și o expresie numerică sau alfabetică.

Un trinom pătrat în raport cu o variabilă oferă o expresie a formei

ax 2 bx c , unde a , b și c sunt date numere și a 0 .

Să transformăm trinomul pătratic ax 2 bx c după cum urmează.

x2:

coeficient

Apoi reprezentăm expresia b x ca 2b x (de două ori produsul

x):a x

La expresia din paranteză adunăm și scădem numărul din ea

care este pătratul unui număr

Ca rezultat obținem:

Observând acum că

Primim

4a 2

Exemplu. Selectați un pătrat complet.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 la 2,

1.4. Polinoame în mai multe variabile

Polinoamele din mai multe variabile, precum polinoamele dintr-o variabilă, pot fi adăugate, înmulțite și ridicate la o putere naturală.

O transformare importantă de identitate a unui polinom în mai multe variabile este factorizarea. Aici, astfel de metode de factorizare sunt folosite ca plasarea factorului comun din paranteze, gruparea, utilizarea identităților de multiplicare abreviate, izolarea unui pătrat complet și introducerea variabilelor auxiliare.

1. Factorizați polinomul P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Factorul P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Să aplicăm metoda de grupare

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Factorul P x ,y x 4 4y 4 . Să selectăm un pătrat complet:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Proprietăți ale unui grad cu orice exponent rațional

Un grad cu orice exponent rațional are următoarele proprietăți:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1				ar 1
					br 1

unde a 0;b 0;r 1;r 2 sunt numere raționale arbitrare.

1. Înmulțiți 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Factorizați

un 2x 3

1.6. Exerciții de făcut pe cont propriu

1. Efectuați acțiuni folosind formule de înmulțire prescurtate. 1) a 52 ;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Calculați folosind identități de multiplicare abreviate:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Demonstrați identitățile:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Factorizează următoarele polinoame:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Calculați în cel mai simplu mod:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Aflați câtul și restul unui polinom P x prin polinomQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Demonstrați că polinomul x 2 2x 2 nu are rădăcini reale.

8. Aflați rădăcinile polinomului:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Factorul:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Rezolvați ecuații prin izolarea unui pătrat complet:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Găsiți semnificațiile expresiilor:

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Calculați:

16 0,25

16 0,25

După cum am observat deja, în calculul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, există o tendință tristă: cu cât fracția este mai sofisticată, cu atât este mai dificil să-i găsești integrala. În acest sens, trebuie să apelezi la diverse trucuri, despre care vă voi povesti acum. Cititorii pregătiți pot profita imediat Cuprins: Metoda de subsumare a semnului diferenţial pentru fracţii simple Metoda de conversie a numărătorului artificial Exemplul 1 Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată și prin metoda schimbării variabilei, notând , dar scrierea soluției va fi mult mai lungă. Exemplul 2 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Trebuie remarcat faptul că metoda de înlocuire variabilă nu va mai funcționa aici. Atentie, important! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și apar frecvent. În special, astfel de integrale apar adesea în timpul rezolvării altor integrale, în special, la integrarea funcțiilor iraționale (rădăcini). Tehnica luată în considerare funcționează și în caz dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mare decât gradul cel mai înalt al numitorului. Exemplul 3 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Începem să selectăm numărătorul. Algoritmul pentru selectarea numărătorului este cam așa: 1) La numărător trebuie să organizez , dar acolo . Ce să fac? O pun intre paranteze si inmultesc cu: . 2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? . Hmm... este mai bine, dar nu există două în numărător inițial. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți cu: 3) Deschid din nou parantezele: . Și iată primul succes! S-a dovedit corect! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce să fac? Pentru a preveni schimbarea expresiei, trebuie să adaug același lucru la construcția mea: . Viața a devenit mai ușoară. Se poate organiza din nou la numărător? 4) Este posibil. Sa incercam: . Deschideți parantezele celui de-al doilea termen: . Îmi pare rău, dar la pasul anterior am avut de fapt , nu. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți al doilea termen cu: 5) Din nou, pentru a verifica, deschid parantezele în al doilea termen: . Acum e normal: derivat din construcția finală a punctului 3! Dar din nou există un mic „dar”, a apărut un termen suplimentar, ceea ce înseamnă că trebuie să adaug expresiei mele: Dacă totul este făcut corect, atunci când deschidem toate parantezele ar trebui să obținem numărătorul original al integrandului. Verificăm: Capota. Prin urmare: Gata. În ultimul termen, am folosit metoda de subsumare a unei funcții într-un diferențial. Dacă găsim derivata răspunsului și reducem expresia la un numitor comun, atunci vom obține exact funcția integrand originală. Metoda considerată de descompunere într-o sumă nu este altceva decât acțiune inversă a reduce o expresie la un numitor comun. Algoritmul pentru selectarea numărătorului în astfel de exemple este cel mai bine realizat în formă de schiță. Cu unele abilități va funcționa mental. Îmi amintesc de un caz record când făceam o selecție pentru puterea a 11-a, iar extinderea numărătorului a ocupat aproape două rânduri de Verd. Exemplul 4 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Metoda de subsumare a semnului diferenţial pentru fracţii simple Să trecem la luarea în considerare a următorului tip de fracții. , , , (coeficienții și nu sunt egali cu zero). De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au fost deja menționate în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită. Astfel de exemple sunt rezolvate prin subsumarea funcției sub semnul diferențial și integrarea în continuare folosind un tabel. Iată altul exemple tipice cu logaritm lung și mare: Exemplul 5 Exemplul 6 Aici este recomandabil să ridicați un tabel de integrale și să vedeți ce formule și Cum are loc transformarea. Notă, cum și de ce Pătratele din aceste exemple sunt evidențiate. În special, în Exemplul 6 trebuie mai întâi să reprezentăm numitorul sub formă , apoi aduceți-l sub semnul diferențial. Și toate acestea trebuie făcute pentru a utiliza formula tabelară standard . De ce uite, încearcă să rezolvi singur exemplele nr. 7, 8, mai ales că sunt destul de scurte: Exemplul 7 Exemplul 8 Aflați integrala nedefinită: Dacă reușești să verifici și aceste exemple, atunci mare respect - abilitățile tale de diferențiere sunt excelente. Metoda de selecție a pătratului complet Integrale ale formei (coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă metoda de extracție a pătratului complet, care a apărut deja în lecție Transformări geometrice ale graficelor. De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale tabulare la care tocmai ne-am uitat. Și acest lucru se realizează folosind formule de înmulțire abreviate familiare: Formulele sunt aplicate tocmai în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza artificial expresiile fie la numitor, iar apoi de a le converti în mod corespunzător în oricare dintre ele. Exemplul 9 Aflați integrala nedefinită Acest cel mai simplu exemplu, in care cu termenul – coeficient unitar(și nu vreun număr sau minus). Să ne uităm la numitor, aici întreaga chestiune se reduce în mod clar la întâmplare. Să începem conversia numitorului: Evident, trebuie să adăugați 4. Și, pentru ca expresia să nu se schimbe, scădeți aceleași patru: Acum puteți aplica formula: După finalizarea conversiei MEREU Este recomandabil să efectuați mișcarea inversă: totul este bine, nu există erori. Designul final al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa: Gata. Rezumat „freebie” functie complexa sub semnul diferenţial: , în principiu, ar putea fi neglijat Exemplul 10 Aflați integrala nedefinită: Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, răspunsul este la sfârșitul lecției Exemplul 11 Aflați integrala nedefinită: Ce să faci când există un minus în față? În acest caz, trebuie să scoatem minusul din paranteze și să aranjam termenii în ordinea de care avem nevoie: . Constant(„doi” în în acest caz,) nu atinge! Acum adăugăm unul între paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că trebuie să adăugăm una în afara parantezei: Aici obținem formula, aplică: MEREU Verificăm proiectul: , care era ceea ce trebuia verificat. Exemplul curat arată cam așa: Făcând sarcina mai dificilă Exemplul 12 Aflați integrala nedefinită: Aici termenul nu mai este un coeficient unitar, ci un „cinci”. (1) Dacă există o constantă la, atunci o scoatem imediat din paranteze. (2) În general, este întotdeauna mai bine să mutați această constantă în afara integralei, astfel încât să nu stea în cale. (3) Evident, totul se va reduce la formulă. Trebuie să înțelegem termenul, și anume, să obținem „doi” (4) Da, . Aceasta înseamnă că adunăm la expresie și scădem aceeași fracție. (5) Acum selectați un pătrat complet. În cazul general, trebuie să calculăm și , dar aici avem formula pentru un logaritm lung , și nu are rost să efectuați acțiunea de ce va deveni clar mai jos. (6) De fapt, putem aplica formula , doar în loc de „X” avem , ceea ce nu anulează validitatea integralei tabelului. Strict vorbind, un pas a fost ratat - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie subsumată sub semnul diferențial: , dar, după cum am observat în repetate rânduri, acest lucru este adesea neglijat. (7) În răspunsul de sub rădăcină, este recomandabil să extindeți toate parantezele înapoi: Dificil? Aceasta nu este cea mai dificilă parte a calculului integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complexe, cât necesită tehnici de calcul bune. Exemplul 13 Aflați integrala nedefinită: Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției. Există integrale cu rădăcini în numitor, care, folosind o substituție, sunt reduse la integrale de tipul pe care îl puteți citi în articol; Integrale complexe, dar este conceput pentru elevi foarte pregătiți. Subsumând numărătorul sub semnul diferențial Aceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă ești obosit, poate e mai bine să citești mâine? ;) Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din paragraful precedent, au forma: or (coeficienți și nu sunt egali cu zero). Adică la numărătorul pe care îl avem funcție liniară. Cum se rezolvă astfel de integrale?