Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Un multiplu comun de două numere întregi este un număr întreg care este divizibil egal cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este divizibil cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi egal cu 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există momente când trebuie să găsiți LCM pentru două cifre sau numere cu trei cifre, și, de asemenea, atunci când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin factorizarea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să se taie din rândurile rezultate factori primi aceleasi numere. Numerele rămase ale primului număr vor fi un multiplicator pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea vor fi un multiplicator pentru primul.

Exemplu pentru numerele 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere pe rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori simpli:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Din punct de vedere mental îi „tașăm”.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. Când descompunem numărul 75, rămânem cu numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, rămânem cu 2 * 2
Aceasta înseamnă că, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 60 (acesta este 2). * 2) cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
ÎN în acest caz,, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar mai întâi, ca întotdeauna, să factorizăm toate numerele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem secvențial factorii săi, tăindu-i dacă în cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere întâlnim același factor care nu a avut încă fost taiat.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Să le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12, rămâne doar numărul 3 Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 din ambele rânduri, în timp ce nu sunt așteptate acțiuni pentru numărul 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Aceasta înseamnă că constatarea LOC este finalizată. Tot ce rămâne este să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luați factorii rămași ai numărului 16 (următorul în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM a fost oarecum mai dificilă, dar când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, aceasta metoda vă permite să o faceți mai repede. Cu toate acestea, ambele metode de găsire a LCM sunt corecte.

Tema „Multiple” este studiată în clasa a 5-a școală gimnazială. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile de calcul matematic scris și oral. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se practică tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural și capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoașterea acesteia poate fi aplicată la rezolvarea exemplelor cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. El însuși este considerat cel mai mic. Multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Trebuie să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al lui 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

Există cazuri speciale când se calculează LOC.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun a 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre acestea. doua numere.

LCM(80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM(6, 7) = 42.

Sa luam in considerare ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ele împart un multiplu al unui număr fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt factori perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Un alt exemplu implică determinarea dacă 9 este un divizor al lui 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 pentru că răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin faptul că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplu însuși este divizibil cu acest număr.

Cel mai mare divizor comun numere AȘi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine AȘi b.

Și anume: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Factorim aceste numere în factori primi și le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Să ne uităm la trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Constatare prin factorizare

Prima metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM al numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, să factorăm fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere posibilă și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Astfel, LCM (99, 30, 28) = 13.860 Nici un alt număr mai mic de 13.860 nu este divizibil cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, le împotriviți în factorii lor primi, apoi luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent în care apare și înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele prime relativ nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt relativ prime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru trebuie făcut atunci când găsiți cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin selecție.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este împărțit la un alt număr dat, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai celui mai mare număr înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă produsul rezultat este divizibil cu numerele date rămase.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinăm cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și 3:

24 · 1 = 24 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 2 = 48 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 3 = 72 - divizibil cu 3 și 18.

Astfel, LCM (24, 3, 18) = 72.

Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM

A treia metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea secvenţială a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, utilizați următoarea procedură:

1. Mai întâi, găsiți LCM a oricăror două dintre aceste numere.
2. Apoi, LCM al cel mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr etc.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Găsiți LCM trei date numere: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM-ul numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al numărului 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8, 9) = 72.

Dar multe numere naturale sunt și divizibile cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A- este un număr natural care împarte număr dat A fără urmă. Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compozit .

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere AȘi b- acesta este numărul cu care ambele numere date sunt împărțite fără rest AȘi b.

Multipli comuni mai multe numere este un număr care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr este numit cel mai micmultiplu comun (CMM).

LCM este întotdeauna un număr natural care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mȘi n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mȘi n. Mai mult, setul multiplilor comuni m, n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m, n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți utiliza conexiunea acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k- diverse numere prime, și d 1 ,...,d kȘi e 1 ,...,e k— numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi NOC ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, descompunerea LCM conține toți factorii primi incluși în cel puțin una dintre descompunerea numerelor. a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui multiplicator este luat.

Exemplu:

Calcularea celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redusă la mai multe calcule secvențiale ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferă cea mai mare expansiune (produsul factorilor produsului dorit) în factorii produsului dorit un numar mare din cele date), apoi se adaugă factori din extinderea altor numere care nu apar în primul număr sau apar în el de mai puține ori;

— produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Oricare două sau mai multe numere naturale au propriul lor NOC. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) sunt completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 sunt completați cu factorul 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) care este un multiplu al tuturor numerelor date.

Numerele 2,3,11,37 sunt numere prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

Regulă. Pentru a calcula LCM a numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) scrieți puterile tuturor factorilor primi:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Scriem cele mai mari grade toți divizorii primi și înmulțiți-i:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este determinată de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dovada.

Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a·k este divizibil cu b.

Să notăm mcd(a, b) ca d. Atunci putem scrie egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere prime relativ. În consecință, condiția obținută în paragraful anterior că a · k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 · d · k se împarte la b 1 · d , iar aceasta, datorită proprietăților de divizibilitate, este echivalentă cu condiția că a 1 · k este divizibil cu b 1 .

De asemenea, trebuie să notați două corolare importante din teorema luată în considerare.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acesta este într-adevăr cazul, deoarece orice multiplu comun al lui M al numerelor a și b este determinat de egalitatea M=LMK(a, b)·t pentru o valoare întreagă t.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor prime pozitive reciproce a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt relativ primi, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea secvenţială a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multiplii comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii comuni ai numărului m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1, a 2, ..., a k este m k.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.H. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. și altele. Culegere de probleme în algebră și teoria numerelor: Tutorial pentru studenții la fizică și matematică. specialităţile institutelor pedagogice.