Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la încă de la început și înțelegeți conceptul de unghi.
Conceptul de unghi: radian, grad
Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.
Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități unghiulare, desigur!
Unghiul, atât în geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.
Unghiul (un grad) este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.
Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.
Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.
Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:
Unde este unghiul central în radiani.
Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iat-o:
Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.
Câți radiani sunt? Asta e corect!
Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:
Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:
Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului
Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghi drept(în exemplul nostru aceasta este partea); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?
Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).
În triunghiul nostru.
Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).
În triunghiul nostru.
Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăȘi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorȘi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:
Cosinu → atinge → atinge → adiacent;
Cotangent → atinge → atinge → adiacent.
În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:
Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.
Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!
Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.
Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.
Cerc unitar (trigonometric).
Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.
După cum puteți vedea, acest cerc este construit în Sistemul cartezian coordonate Raza cercului egal cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).
Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară deoarece este perpendiculară pe axă.
Cu ce este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:
Cu ce este egal triunghiul? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:
Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în niciun caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.
Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.
Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:
Ce s-a schimbat în în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare funcții trigonometrice:
Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.
S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.
Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.
În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.
Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.
Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)
Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:
Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:
Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:
De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:
Nu exista;
Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.
Raspunsuri:
Nu exista
Nu exista
Nu exista
Nu exista
Astfel, putem realiza următorul tabel:
Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:
Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:
Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:
Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:
Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.
Coordonatele unui punct pe un cerc
Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?
Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru a afla coordonatele unui punct.
De exemplu, iată un cerc în fața noastră:
Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.
După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:
Apoi avem asta pentru coordonata punctului.
Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,
Deci, în vedere generala coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:
Coordonatele centrului cercului,
Raza cercului,
Unghiul de rotație al razei vectoriale.
După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:
Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?
1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?
Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!
1.
Puteți observa asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:
2. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:
Puteți observa asta. Știm ce corespunde cu două viteza maxima punct de start. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:
Sinusul și cosinusul sunt valori din tabel. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:
Astfel, punctul dorit are coordonate.
3. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:
Puteți observa asta. Să reprezentăm exemplul în cauză în figură:
Raza formează unghiuri egale cu și cu axa. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și după ce am stabilit că cosinusul aici ia o valoare negativă și sinusul are o valoare pozitivă, avem:
Astfel de exemple sunt discutate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.
Astfel, punctul dorit are coordonate.
4.
Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție)
Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc și un unghi unitar:
După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:
Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:
Astfel, punctul dorit are coordonate.
5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde
Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,
Raza cercului (după condiție)
Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție).
Să înlocuim toate valorile în formulă și să obținem:
și - valorile tabelului. Să ne amintim și să le înlocuim în formula:
Astfel, punctul dorit are coordonate.
REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.
Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).
Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (închisă) și latura opusă (depărtată).
Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unghi ascutit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Să ne amintim asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .
Unghiul este notat cu litera greacă corespunzătoare.
Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.
Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.
Sinusul unghi ascuțit în triunghi dreptunghic- aceasta este o atitudine piciorul opus la ipotenuza:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):
Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?
Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.
Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.
Să ne uităm la mai multe probleme de trigonometrie din FIPI Task Bank.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Deoarece , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.
Problema este rezolvată.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în articolul următor.
Lecție pe tema „Sinus, cosinus și tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic”
Obiectivele lecției:
educațional - introduceți conceptul de sinus, cosinus, tangentă a unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, explorați dependențele și relațiile dintre aceste mărimi;
dezvoltarea - formarea conceptului de sinus, cosinus, tangentă ca funcții ale unui unghi, domeniul de definire a funcțiilor trigonometrice, dezvoltare gandire logica, dezvoltarea corectă a vorbirii matematice;
educațional – dezvoltarea abilităților de muncă independentă, cultură a comportamentului, acuratețe în ținerea evidenței.
Progresul lecției:
„Educația nu este numărul de lecții luate, ci numărul de înțeles. Așa că, dacă vrei să mergi înainte, grăbește-te încet și fii atent”.
2. Motivația lecției.
Un înțelept a spus: „Cea mai înaltă manifestare a spiritului este mintea. Cea mai înaltă manifestare a rațiunii este geometria. Celula de geometrie este un triunghi. Este la fel de inepuizabil ca Universul. Cercul este sufletul geometriei. Cunoaște cercul și nu numai că vei cunoaște sufletul geometriei, dar îți vei înălța sufletul.”
Vom încerca să facem o mică cercetare împreună cu tine. Haideți să vă împărtășim ideile care vă vin în minte și nu vă fie teamă să greșiți, orice gând ne poate oferi o nouă direcție de căutare. Realizările noastre pot să nu pară grozave cuiva, dar vor fi propriile noastre realizări!
3. Actualizarea cunoștințelor de bază.
Ce unghiuri pot fi?
Ce sunt triunghiurile?
Care sunt principalele elemente care definesc un triunghi?
Ce tipuri de triunghiuri există în funcție de laturi?
Ce tipuri de triunghiuri există în funcție de unghiuri?
Ce este un picior?
Ce este o ipotenuză?
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic?
Ce relații știți între laturile și unghiurile acestui triunghi?
De ce trebuie să cunoașteți relațiile dintre laturi și unghiuri?
Ce probleme din viață pot duce la necesitatea de a calcula laturile necunoscute într-un triunghi?
Termenul „ipotenuză” provine de la cuvânt grecesc„hypoinouse”, adică „întindere peste ceva”, „contractare”. Cuvântul provine din imaginea harpelor grecești antice, pe care corzile sunt întinse la capetele a două suporturi reciproc perpendiculare. Termenul „cathetus” provine din cuvântul grecesc „kathetos”, care înseamnă începutul unui „plumb”, „perpendicular”.
Euclid a spus: „Picioarele sunt laturile care încadrează un unghi drept”.
ÎN Grecia antică era deja cunoscută o metodă de construire a unui triunghi dreptunghic pe sol. Pentru a face acest lucru, au folosit o frânghie pe care s-au legat 13 noduri, la aceeași distanță unul de celălalt. În timpul construcției piramidelor din Egipt s-au făcut astfel triunghiuri dreptunghiulare. Acesta este probabil motivul pentru care un triunghi dreptunghic cu laturile 3,4,5 a fost numit triunghi egiptean.
4. Studierea materialelor noi.
În antichitate, oamenii priveau stelele și, pe baza acestor observații, țineau un calendar, calculau datele de semănat și ora viiturii râurilor; navele pe mare și caravanele pe uscat își navigau călătoria după stele. Toate acestea au dus la necesitatea de a învăța cum să calculăm laturile într-un triunghi, dintre ale cărui vârfuri două sunt pe pământ, iar al treilea este reprezentat de un punct de pe cerul înstelat. Pe baza acestei nevoi a luat naștere știința trigonometriei - o știință care studiază conexiunile dintre laturile unui triunghi.
Crezi că relațiile pe care le cunoaștem deja sunt suficiente pentru a rezolva astfel de probleme?
Scopul lecției de astăzi este de a explora noi conexiuni și dependențe, de a deriva relații, folosindu-se de care în următoarele lecții de geometrie vei putea rezolva astfel de probleme.
Să ne simțim în rolul oamenilor de știință și, urmând străvechile genii Tales, Euclid, Pitagora, vom merge pe calea căutării adevărului.
Pentru aceasta avem nevoie de o bază teoretică.
Evidențiați unghiul A și piciorul BC în roșu.
A evidentia verde picior AC.
Să calculăm ce parte este latura opusă pentru un unghi ascuțit A față de ipotenuza sa, pentru a face acest lucru, compunem raportul dintre latura opusă și ipotenuză:
Această relație are un nume special - astfel încât fiecare persoană din fiecare punct al planetei înțelege asta despre care vorbim despre un număr care reprezintă raportul dintre latura opusă a unui unghi ascuțit și ipotenuză. Acest cuvânt este sinus. Noteaza. Deoarece cuvântul sinus fără numele unghiului își pierde orice semnificație, notația matematică este următoarea:
Acum compuneți raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza pentru unghiul ascuțit A:
Acest raport se numește cosinus. Notația sa matematică:
Să considerăm un alt raport pentru un unghi ascuțit A: raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
Acest raport se numește tangentă. Notația sa matematică:
5. Consolidarea materialului nou.
Să ne consolidăm descoperirile intermediare.
Sine este...
Cosinusul este...
Tangenta este...
| sin A = | păcat DESPRE = | păcatul A 1 = |
| cos A = | cos DESPRE = | ca A 1 = |
| tan A = | tg DESPRE = | tan A 1 = |
Rezolvați oral nr. 88, 889, 892 (lucrați în perechi).
Utilizarea cunoștințelor dobândite pentru a rezolva o problemă practică:
„Din turnul farului, înalt de 70 m, se vede o navă la un unghi de 3° față de orizont. Cum este
distanța de la far la navă?
Problema este rezolvată frontal. În timpul discuției, facem un desen și notele necesare pe tablă și în caiete.
La rezolvarea problemei se folosesc tabelele Bradis.
Luați în considerare soluția problemei p. 175.
Rezolvați nr. 902(1).
6. Exerciții pentru ochi.
Fără să vă întoarceți capul, priviți în jurul peretelui clasei în jurul perimetrului în sensul acelor de ceasornic, tabla în jurul perimetrului în sens invers acelor de ceasornic, triunghiul reprezentat pe suport în sensul acelor de ceasornic și triunghiul egal în sens invers acelor de ceasornic. Întoarceți-vă capul la stânga și priviți linia orizontului, iar acum la vârful nasului. Închide ochii, numără până la 5, deschide ochii și...
Ne vom pune palmele la ochi,
Să ne întindem picioarele puternice.
Întorcându-se la dreapta
Să ne uităm maiestuos în jur.
Și trebuie să pleci și tu la stânga
Privește de sub palmele tale.
Și - la dreapta! Și mai departe
Peste umărul tău stâng!
Acum să continuăm să lucrăm.
7. Muncă independentă elevi.
Rezolvați nr.
8. Rezumatul lecției. Reflecţie. D/z.
Ce lucruri noi ai învățat? La lectie:
te-ai gandit...
ai analizat...
Ai primit …
ai concluzionat...
ai completat lexicon urmatorii termeni...
Știința mondială a început cu geometria. O persoană nu se poate dezvolta cu adevărat cultural și spiritual dacă nu a studiat geometria la școală. Geometria a apărut nu numai din nevoile practice, ci și din nevoile spirituale ale omului.
Așa și-a explicat poetic dragostea pentru geometrie
imi place geometria...
Predau geometrie pentru că îmi place
Avem nevoie de geometrie, fără ea nu putem ajunge nicăieri.
Sinus, cosinus, circumferință - totul este important aici,
Aici este nevoie de tot
Trebuie doar să înveți și să înțelegi totul foarte clar,
Finalizați sarcinile și testele la timp.
Nivel mediu
Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.
În probleme, unghiul drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați să recunoașteți un triunghi dreptunghic în această formă,
si in aceasta
si in aceasta 
Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, sunt speciale nume frumoase pentru laturile lui.
Atentie la desen!
Amintiți-vă și nu confundați: sunt două catete și există o singură ipotenuză(una și singura, unică și cea mai lungă)!
Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora.
Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru este că este simplu.
Asa de, Teorema lui Pitagora:
Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?
Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei. 
Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, sau mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:
"Sumă arii de pătrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata, construit pe ipotenuză."
Chiar sună puțin diferit? Și astfel, când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, aceasta este exact imaginea care a ieșit.
În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a venit cu această glumă despre pantalonii pitagoreici.
De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?
A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?
Vezi tu, în antichitate nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să-și amintească totul în cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm pentru a ne aminti mai bine:
Ar trebui să fie ușor acum:
| Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. |
Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... trigonometrie! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.
De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:
De ce totul este aproape de colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!
1.
De fapt suna cam asa:
Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Desigur că au! Acesta este un picior!
Dar unghiul? Priveste cu atentie. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și
Acum, fii atent! Uite ce avem:
Vezi ce tare este:
Acum să trecem la tangentă și cotangentă.
Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?
Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?
Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:
rezumat
Să scriem pe scurt tot ce am învățat.
 |
Teorema lui Pitagora: |
Principala teorema despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.
teorema lui Pitagora
Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele
Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.
Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!
Acum să conectăm punctele marcate
Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.
Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.
Să punem totul împreună acum.
Să convertim:
Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.
Triunghi dreptunghic și trigonometrie
Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:
Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei
Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.
Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:
Este foarte confortabil!
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
I. Pe două laturi
II. Prin catenă și ipotenuză
III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit
IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit
A) 
b) 
Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:
ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.
Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.
Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncă o privire la subiectul „și acordă atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?
Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.
Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare
I. De-a lungul unui unghi ascuțit
II. Pe două laturi
III. Prin catenă și ipotenuză
Mediana într-un triunghi dreptunghic
De ce este așa?
În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.
Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?
Și ce rezultă din asta?
Deci s-a dovedit că
- - mediana:
Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!
Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.
La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză
Priveste cu atentie. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce s-a întâmplat?
Deci, să începem cu acest „în afară de...”.
Să ne uităm la și.
Dar triunghiuri asemănătoare toate unghiurile sunt egale!
Același lucru se poate spune despre și
Acum să o desenăm împreună:
Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?
Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.
Să notăm relațiile părților corespunzătoare:
Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:
Deci, să aplicăm asemănarea: .
Ce se va întâmpla acum?
Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:
Trebuie să vă amintiți foarte bine de aceste două formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .
Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:
- pe doua laturi:
- prin catete și ipotenuză: or
- de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
- de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
- prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.
Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:
- un colț ascuțit: sau
- din proporționalitatea a două picioare:
- din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic
- Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
- Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
- Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
- Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .
Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.
Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .
Aria unui triunghi dreptunghic:
- prin picioare:
Profesorii cred că fiecare elev ar trebui să fie capabil să efectueze calcule, să știe formule trigonometrice, dar nu fiecare profesor explică ce sunt sinusul și cosinusul. Care este semnificația lor, unde sunt folosite? De ce vorbim despre triunghiuri, dar manualul arată un cerc? Să încercăm să conectăm toate faptele împreună.
Materia școlară
Studiul trigonometriei începe de obicei în clasa a VII-a-8 de liceu. În acest moment, elevilor li se explică ce sunt sinusul și cosinusul și li se cere să rezolve probleme geometrice folosind aceste funcții. Mai multe apar mai târziu formule complexeși expresii care trebuie transformate algebric (formule cu dublu și jumătate de unghi, funcții de putere), se lucrează cu un cerc trigonometric.
Cu toate acestea, profesorii nu sunt întotdeauna capabili să explice clar sensul conceptelor utilizate și aplicabilitatea formulelor. Prin urmare, elevul adesea nu vede rostul acest subiect, iar informațiile memorate sunt repede uitate. Cu toate acestea, merită să explicăm o dată unui elev de liceu, de exemplu, legătura dintre funcție și mișcare oscilatoare, iar legătura logică va fi amintită mulți ani, iar glumele despre inutilitatea subiectului vor deveni un lucru din trecut.
Utilizare
De dragul curiozității, să ne uităm la diferite ramuri ale fizicii. Doriți să determinați raza de acțiune a unui proiectil? Sau calculezi forța de frecare dintre un obiect și o anumită suprafață? Balanțând pendulul, urmărind razele care trec prin sticlă, calculând inducția? Conceptele trigonometrice apar în aproape orice formulă. Deci, ce sunt sinusul și cosinusul?
Definiții
Sinusul unui unghi este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, cosinusul este raportul dintre latura adiacentă și aceeași ipotenuză. Nu este absolut nimic complicat aici. Poate că studenții sunt de obicei confuzi de valorile pe care le văd pe tabelul de trigonometrie, deoarece implică rădăcini pătrate. Da, a obține zecimale de la ei nu este foarte convenabil, dar cine a spus că toate numerele din matematică trebuie să fie egale?
De fapt, puteți găsi un indiciu amuzant în cărțile cu probleme de trigonometrie: majoritatea răspunsurilor de aici sunt egale și, în cel mai rău caz, conțin rădăcina a doi sau trei. Concluzia este simplă: dacă răspunsul dvs. se dovedește a fi o fracțiune „cu mai multe etaje”, verificați soluția pentru erori în calcule sau raționament. Și cel mai probabil le vei găsi.
Ce să-ți amintești
Ca orice știință, trigonometria are date care trebuie învățate.
În primul rând, ar trebui să vă amintiți valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri ale unui triunghi dreptunghic 0 și 90, precum și 30, 45 și 60 de grade. Acești indicatori se regăsesc în nouă din zece probleme școlare. Privind aceste valori într-un manual, veți pierde mult timp și nu va exista niciunde unde să le priviți în timpul unui test sau examen.
Trebuie reținut că valoarea ambelor funcții nu poate depăși una. Dacă oriunde în calculele dvs. obțineți o valoare în afara intervalului 0-1, opriți-vă și încercați din nou problema.
Suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu unu. Dacă ați găsit deja una dintre valori, utilizați această formulă pentru a găsi cea rămasă.
Teoreme
Există două teoreme de bază în trigonometrie de bază: sinusuri și cosinusuri.
Prima afirmă că raportul dintre fiecare latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este același. Al doilea este că pătratul oricărei laturi poate fi obținut adunând pătratele celor două laturi rămase și scăzând produsul lor dublu înmulțit cu cosinusul unghiului aflat între ele.
Astfel, dacă înlocuim valoarea unui unghi de 90 de grade în teorema cosinusului, obținem... teorema lui Pitagora. Acum, dacă trebuie să calculați aria unei figuri care nu este un triunghi dreptunghic, nu trebuie să vă mai faceți griji - cele două teoreme discutate vor simplifica semnificativ soluția problemei.
Teluri si obiective
Învățarea trigonometriei va deveni mult mai ușoară când îți dai seama de un fapt simplu: toate acțiunile pe care le faci au ca scop atingerea unui singur obiectiv. Orice parametri ai unui triunghi pot fi găsiți dacă cunoașteți minimumul de informații despre acesta - aceasta ar putea fi valoarea unui unghi și lungimea a două laturi sau, de exemplu, trei laturi.
Pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta oricărui unghi, aceste date sunt suficiente și, cu ajutorul lor, puteți calcula cu ușurință aria figurii. Aproape întotdeauna, răspunsul necesită una dintre valorile menționate și pot fi găsite folosind aceleași formule.
Incoerențe în învățarea trigonometriei
Una dintre întrebările surprinzătoare pe care școlarii preferă să le evite este descoperirea conexiunii dintre concepte diferiteîn trigonometrie. S-ar părea că triunghiurile sunt folosite pentru a studia sinusurile și cosinusurile unghiurilor, dar din anumite motive simbolurile se găsesc adesea în figura cu un cerc. În plus, există un grafic sub formă de undă complet de neînțeles numit undă sinusoidală, care nu are nicio asemănare externă nici cu un cerc, nici cu triunghiuri.
Mai mult, unghiurile se măsoară fie în grade, fie în radiani, iar numărul Pi, scris simplu ca 3,14 (fără unități), din anumite motive apare în formule, corespunzător la 180 de grade. Cum sunt toate acestea legate?
Unități
De ce Pi este exact 3.14? Îți amintești care este acest sens? Acesta este numărul de raze care se potrivesc într-un arc pe jumătate de cerc. Dacă diametrul cercului este de 2 centimetri, circumferința va fi 3,14 * 2 sau 6,28.
Al doilea punct: este posibil să fi observat asemănarea dintre cuvintele „radian” și „rază”. Faptul este că un radian este numeric egal cu unghiul luat de la centrul cercului la un arc lung de o rază.
Acum vom combina cunoștințele dobândite și vom înțelege de ce „Pi în jumătate” este scris în partea de sus a axei de coordonate în trigonometrie, iar „Pi” este scris în stânga. Aceasta este o valoare unghiulară măsurată în radiani, deoarece un semicerc are 180 de grade sau 3,14 radiani. Iar acolo unde sunt grade, sunt sinusuri și cosinusuri. Este ușor să desenați un triunghi din punctul dorit, lăsând deoparte segmente spre centru și către axa de coordonate.
Să privim în viitor
Trigonometria, studiată la școală, se ocupă de un sistem de coordonate rectiliniu, unde, oricât de ciudat ar suna, o linie dreaptă este o linie dreaptă.
Dar există și moduri mai complexe de a lucra cu spațiul: suma unghiurilor triunghiului de aici va fi mai mare de 180 de grade, iar linia dreaptă din punctul nostru de vedere va arăta ca un arc real.
Să trecem de la cuvinte la fapte! Luați un măr. Faceți trei tăieturi cu un cuțit, astfel încât, privit de sus, să obțineți un triunghi. Scoateți bucata de măr rezultată și priviți „coastele” unde se termină coaja. Nu sunt deloc drepti. Fructul din mâinile tale poate fi numit în mod convențional rotund, dar acum imaginează-ți cât de complexe trebuie să fie formulele cu care poți găsi zona piesei tăiate. Dar unii specialiști rezolvă astfel de probleme în fiecare zi.
Funcții trigonometrice în viață
Ați observat că cea mai scurtă rută pentru un avion de la punctul A la punctul B de pe suprafața planetei noastre are o formă de arc pronunțată? Motivul este simplu: Pământul este sferic, ceea ce înseamnă că nu poți calcula prea mult folosind triunghiuri - trebuie să folosești formule mai complexe.
Nu te poți lipsi de sinusul/cosinusul unui unghi ascuțit în orice întrebare legată de spațiu. Este interesant că o mulțime de factori se reunesc aici: funcțiile trigonometrice sunt necesare atunci când se calculează mișcarea planetelor de-a lungul cercurilor, elipselor și diferitelor traiectorii mai mult forme complexe; procesul de lansare de rachete, sateliți, navete, dezaocare vehicule de cercetare; observând stelele îndepărtate și studiind galaxii la care oamenii nu le vor putea ajunge în viitorul apropiat.
În general, domeniul de activitate pentru o persoană care cunoaște trigonometria este foarte larg și, aparent, se va extinde doar în timp.
Concluzie
Astăzi am aflat, sau măcar am repetat, ce sunt sinusul și cosinusul. Acestea sunt concepte de care nu trebuie să vă fie frică - doriți doar să le doriți și le veți înțelege semnificația. Amintiți-vă că trigonometria nu este un scop, ci doar un instrument care poate fi folosit pentru a satisface nevoile umane reale: construiți case, asigurați siguranța traficului, chiar explorați vastitatea universului.
Într-adevăr, știința în sine poate părea plictisitoare, dar de îndată ce găsești în ea o modalitate de a-ți atinge propriile obiective și de autorealizare, procesul de învățare va deveni interesant, iar motivația ta personală va crește.
La fel de teme pentru acasăÎncercați să găsiți modalități de a aplica funcții trigonometrice într-un domeniu de activitate care vă interesează personal. Imaginează-ți, folosește-ți imaginația și atunci probabil vei descoperi că noile cunoștințe îți vor fi utile în viitor. Și în plus, matematica este utilă pentru dezvoltare generală gândire.
