Linii paralele. Linii paralele

Conceptul de linii paralele

Definiția 1

Linii paralele– liniile drepte care se află în același plan nu coincid și nu au puncte comune.

Dacă liniile drepte au un punct comun, atunci ele se intersectează.

Dacă toate punctele sunt drepte Meci, atunci avem în esență o linie dreaptă.

Dacă liniile se află în planuri diferite, atunci condițiile pentru paralelismul lor sunt oarecum mai mari.

Când se consideră drepte pe același plan, se poate da următoarea definiție:

Definiția 2

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu se intersectează.

În matematică, liniile paralele sunt de obicei notate folosind semnul de paralelism „$\parallel$”. De exemplu, faptul că linia $c$ este paralelă cu linia $d$ se notează după cum urmează:

$c\paralel d$.

Conceptul de segmente paralele este adesea luat în considerare.

Definiția 3

Cele două segmente sunt numite paralel, dacă se află pe drepte paralele.

De exemplu, în figură segmentele $AB$ și $CD$ sunt paralele, deoarece ele aparțin dreptelor paralele:

$AB \parallel CD$.

În același timp, segmentele $MN$ și $AB$ sau $MN$ și $CD$ nu sunt paralele. Acest fapt poate fi scris folosind simboluri după cum urmează:

$MN ∦ AB$ și $MN ∦ CD$.

Paralelismul unei drepte și a unui segment, a unei drepte și a unei raze, a unui segment și a unei raze sau a două raze este determinat în mod similar.

Referință istorică

CU limba greacă Conceptul de „paralelos” este tradus ca „în apropiere” sau „ținut unul lângă celălalt”. Acest termen a fost folosit în școala antică a lui Pitagora chiar înainte ca liniile paralele să fie definite. Conform fapte istorice Euclid in secolul $III$. î.Hr. lucrările sale au dezvăluit totuși semnificația conceptului de linii paralele.

În antichitate, simbolul pentru desemnarea liniilor paralele avea un aspect diferit de ceea ce folosim în matematica modernă. De exemplu, matematicianul grec antic Pappus în secolul $III$. ANUNȚ paralelismul a fost indicat folosind un semn egal. Acestea. faptul că linia $l$ este paralelă cu linia $m$ a fost anterior notat cu „$l=m$”. Mai târziu, semnul familiar „$\paralel$” a început să fie folosit pentru a desemna paralelismul dreptelor, iar semnul egal a început să fie folosit pentru a desemna egalitatea numerelor și a expresiilor.

Linii paralele în viață

Adesea nu observăm că în viață obișnuită Suntem înconjurați de un număr mare de linii paralele. De exemplu, într-o carte de muzică și o colecție de cântece cu note, personalul este realizat folosind linii paralele. Liniile paralele se găsesc și în instrumentele muzicale (de exemplu, coarde de harpă, chitară, clape de pian etc.).

Firele electrice care sunt situate de-a lungul străzilor și drumurilor sunt, de asemenea, paralele. șinele liniei de metrou și căi ferate sunt situate în paralel.

Pe lângă viața de zi cu zi, linii paralele pot fi găsite în pictură, în arhitectură și în construcția de clădiri.

Linii paralele în arhitectură

În imaginile prezentate, structurile arhitecturale conțin linii paralele. Utilizarea liniilor paralele în construcție ajută la creșterea duratei de viață a unor astfel de structuri și le conferă o frumusețe, atractivitate și măreție extraordinare. Liniile electrice sunt, de asemenea, așezate în mod deliberat în paralel, pentru a evita trecerea sau atingerea lor, ceea ce ar duce la scurtcircuite, întreruperi și pierderi de energie electrică. Pentru ca trenul să se poată deplasa liber, șinele sunt realizate și în linii paralele.

În pictură, liniile paralele sunt descrise ca convergând într-o singură linie sau aproape de aceasta. Această tehnică se numește perspectivă, care decurge din iluzia vederii. Dacă priviți în depărtare mult timp, liniile drepte paralele vor arăta ca două linii convergente.

În acest articol vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții și vom schița semnele și condițiile paralelismului. Pentru a face materialul teoretic mai clar, vom folosi ilustrații și soluții la exemple tipice.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Linii paralele pe un plan– două drepte pe un plan care nu au puncte comune.

Definiția 2

Linii paralele în spațiul tridimensional– două drepte în spațiu tridimensional, situate în același plan și fără puncte comune.

Este necesar să rețineți că pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două linii în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele. , dar intersectându-se.

Pentru a indica linii paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥. Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b. Verbal, paralelismul dreptelor se notează după cum urmează: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.

Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.

Axiomă

Printr-un punct care nu aparține unei drepte date trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.

În cazul în care vorbim despre spațiu, teorema este adevărată:

Teorema 1

Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10 - 11).

Criteriul paralelismului este o condiție suficientă, a cărei îndeplinire garantează paralelismul dreptelor. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.

În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor pe plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este îndeplinită, liniile nu sunt paralele.

Pentru a rezuma, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o condiție a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, este o proprietate inerentă liniilor paralele.

Înainte de a da formula exactă a unei condiții necesare și suficiente, să ne amintim câteva concepte suplimentare.

Definiția 3

Linie secanta– o linie dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte date necoincidente.

Intersectând două drepte, o transversală formează opt unghiuri nedezvoltate. Pentru a formula o condiție necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri încrucișate, corespunzătoare și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:

Teorema 2

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.

Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan:

Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7 - 9.

În general, aceste condiții sunt aplicabile și pentru spațiul tridimensional, în ciuda faptului că două drepte și o secanta aparțin aceluiași plan.

Să mai indicăm câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.

Teorema 3

Pe un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei de paralelism indicată mai sus.

Teorema 4

În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

Dovada unui semn este studiată în programa de geometrie de clasa a X-a.

Să dăm o ilustrare a acestor teoreme:

Să mai indicăm o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.

Teorema 5

Pe un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să formulăm un lucru similar pentru spațiul tridimensional.

Teorema 6

În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o treime sunt paralele între ele.

Să ilustrăm:

Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale, sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia etc. Dar rețineți că este adesea mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional.

Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe planul unuia dintre tipuri posibile. La fel, o linie dreaptă definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional corespunde unor ecuații pentru o dreaptă în spațiu.

Să notăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.

Să începem cu condiția paralelismului dreptelor pe un plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al unei linii și al vectorului normal al unei linii pe un plan.

Teorema 7

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei drepte să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte linii.

Devine evident că condiția de paralelism a dreptelor pe un plan se bazează pe condiția de coliniaritate a vectorilor sau condiția de perpendicularitate a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b ;

și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b, atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y sau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele ghidajelor sau ale vectorilor drepti sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să ne uităm la exemplele principale.

Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linie dreaptă b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1, B 1) și respectiv (A 2, B 2). Scriem condiția de paralelism după cum urmează:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Linia a este descrisă prin ecuația unei drepte cu o pantă de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y = k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1, - 1) și respectiv (k 2, - 1), și vom scrie condiția de paralelism după cum urmează:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți unghiulari, atunci pante liniile date vor fi egale. Și afirmația opusă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei linii cu coeficienți unghiulari identici, atunci aceste drepte date sunt paralele.

Liniile a și b dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt specificate prin ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau prin ecuații parametrice ale o dreaptă pe un plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y și x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x, a y și respectiv b x, b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:

a x = t b x a y = t b y

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Sunt date două linii: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1. Este necesar să se determine dacă sunt paralele.

Soluţie

Să scriem ecuația unei drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vedem că n a → = (2, - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0, iar n b → = 2, 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1.

Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui t pentru care egalitatea să fie adevărată:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Astfel, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns: liniile date nu sunt paralele.

Exemplul 2

Sunt date dreptele y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2. Sunt paralele?

Soluţie

Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 = y - 4 2 în ecuația dreptei cu panta:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi coincidente) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.

Să încercăm să rezolvăm problema altfel. Mai întâi, să verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct de pe dreapta y = 2 x + 1, de exemplu, (0, 1), coordonatele acestui punct nu corespund ecuației dreptei x 1 = y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu nu coincid.

Următorul pas este de a determina dacă este îndeplinită condiția de paralelism a liniilor date.

Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produsul scalar al acestor vectori este egal cu zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor inițiale. Acestea. liniile date sunt paralele.

Răspuns: aceste linii sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema 8

Pentru ca două linii necoincidente în spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari.

Acestea. la ecuații date de drepte în spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplul 3

Sunt date dreptele x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.

Soluţie

Condițiile problemei sunt date de ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de ghidare a → și b → liniile date au coordonatele: (1, 0, - 3) și (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 · b → .

În consecință, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor în spațiu.

Răspuns: este dovedit paralelismul dreptelor date.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează. În unele definiții școlare, liniile coincidente nu sunt considerate paralele, o astfel de definiție nu este luată în considerare aici.

Proprietăți

Paralelismul este o relație de echivalență binară, prin urmare împarte întregul set de linii în clase de linii paralele între ele.
Prin orice punct puteți trage exact o linie dreaptă paralelă cu cea dată. Aceasta este o proprietate distinctivă a geometriei euclidiene în alte geometrii, numărul 1 este înlocuit cu altele (în geometria Lobachevsky există cel puțin două astfel de linii)
2 drepte paralele în spațiu se află în același plan.
Când 2 drepte paralele se intersectează, o a treia, numită secantă:
1. Secanta intersectează în mod necesar ambele drepte.
2. La intersectare, se formează 8 unghiuri, dintre care unele perechi caracteristice au nume și proprietăți speciale:
  1. Întins în cruce unghiurile sunt egale.
  2. Relevant unghiurile sunt egale.
  3. Unilateral unghiurile se adună până la 180°.

În geometria Lobaciovski

În geometria Lobachevsky în plan printr-un punct Nu se poate analiza expresia (eroare lexicală): Cîn afara acestei linii $AB$

Există un număr infinit de linii drepte care nu se intersectează AB. Dintre acestea, paralel cu AB doar doi sunt numiti.

Drept CE numită linie echilaterală (paralelă). ABîn direcția de la A La B, Dacă:

puncte BȘi E stați pe o parte a unei linii drepte AC ;
Drept CE nu intersectează linia AB, dar fiecare rază care trece în interiorul unui unghi ACE, traversează raza AB .

O linie dreaptă este definită în mod similar ABîn direcția de la B La A .

Toate celelalte linii care nu o intersectează pe aceasta sunt numite ultraparalelă sau divergente.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

A întrece măsura
Nesterikhin, Yuri Efremovici

Vedeți ce sunt „linii paralele” în alte dicționare:

PARALEL DIRECT- LINII PARALELE, linii care nu se intersectează situate în același plan... Enciclopedie modernă

PARALEL DIRECT Dicţionar enciclopedic mare

Linii paralele- LINII PARALELE, drepte care nu se intersectează situate în același plan. ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Linii paralele- în geometria euclidiană, drepte care se află în același plan și nu se intersectează. În geometria absolută (Vezi Geometrie absolută), printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, cel puțin o dreaptă trece printr-un punct care nu îl intersectează pe cel dat. ÎN… … Marea Enciclopedie Sovietică

linii paralele- linii care nu se intersectează situate în același plan. * * * LINII PARALELE LINII PARALELE, drepte care nu se intersectează situate în același plan... Dicţionar enciclopedic

PARALEL DIRECT- în geometria euclidiană, drepte se află în același plan și nu se intersectează. În geometria absolută, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trece cel puțin o dreaptă care nu o intersectează pe cea dată. În geometria euclidiană există doar una... ... Enciclopedie matematică

PARALEL DIRECT- linii care nu se intersectează situate în același plan... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Lumi paralele în ficțiune- Acest articol poate conține cercetări originale. Adăugați linkuri către surse, altfel poate fi setat pentru ștergere. Mai multe informații pot fi găsite pe pagina de discuție. Aceasta... Wikipedia

Lumi paralele- O lume paralelă (în ficțiune) este o realitate care există cumva simultan cu a noastră, dar independent de aceasta. Această realitate autonomă poate avea diferite dimensiuni: de la o mică zonă geografică până la un întreg univers. În paralel... Wikipedia

Paralel- linii Dreptele drepte se numesc P. dacă nici ele, nici prelungirile lor nu se intersectează. Știrile de la una dintre aceste rânduri sunt la aceeași distanță de cealaltă. Cu toate acestea, se obișnuiește să se spună: două P. drepte se intersectează la infinit. Așa…… Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

Cărți

Set de mese. Matematică. clasa a 6-a. 12 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton gros tipărit de 680 x 980 mm. Setul include o broșură cu recomandări metodologice pentru profesor. Album educativ de 12 coli. Divizibilitate…

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă, când două drepte se intersectează cu o secante:

unghiurile încrucișate sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la a demonstra cazul 1.

Fie dreptele care se intersectează a și b să fie transversale și unghiurile AB egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Pentru certitudine, fie ∠ 4 unghiul extern al triunghiului ABM, iar ∠ 6 unghiul intern. Din teorema despre unghi exterior triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar acest lucru contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte diferite dintr-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul argumentului se face o presupunere care este contrară (opusă) a ceea ce trebuie dovedit. Se numește duce la absurd datorită faptului că, raționând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (la absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care trebuia dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu cea dată.

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat care nu se află pe o dreaptă dată, trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează și pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci:

unghiurile transversale sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă(vezi fig. 2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărat, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fii deloc vertical.

Exemplul 1. Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți aceste unghiuri.

Soluţie. Fie ca Figura 6 să îndeplinească condiția.