Конус. Усеченный конус
Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).
Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.
Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).
Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).
![]() |
|||
Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34
Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.
Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Для конуса верны формулы:
где R – радиус основания;
H – высота;
l – длина образующей;
S осн – площадь основания;
S бок
S полн
V – объем конуса.
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).
![]() |
Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.
Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.
Для усеченного конуса верны формулы:
(8)
где R – радиус нижнего основания;
r – радиус верхнего основания;
H – высота, l – длина образующей;
S бок – площадь боковой поверхности;
S полн – площадь полной поверхности;
V – объем усеченного конуса.
Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).
Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.
Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B
и SO 1 A
, коэффициент подобия , тогда
Отсюда
Так как то
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:
Ответ: .
Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:
Ответ: 2 см, .
Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).
В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.
Ответ:
Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.
Решение
.
Сделаем рисунок (рис. 38).
Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE
и OC
), образующие конусов (BC
и AC
) и высоту цилиндра (AB
). Неизвестной является только CO
. это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC
. Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC
, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.
а плоскостью, параллельной основанию (рис. ). Объём У. к. равен , где r 1 и r 2 – радиусы оснований, h – высота.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Усечённый конус" в других словарях:
Геометрическое тело, отсечённое от конуса плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённого конуса равен. * * * УСЕЧЕННЫЙ КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС, геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Объем… … Энциклопедический словарь
усечённый конус - — Тематики нефтегазовая промышленность EN truncated cone … Справочник технического переводчика
УСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушакова
усечённый - ая, ое.; матем. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус. У ая пирамида … Словарь многих выражений
УСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Ая, ое. 1. прич. страд. прош. от усечь. 2. в знач. прил. мат. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Усеченная пирамида. 3. в знач. прил. грамм., лит. С усечением (во 2 знач.), представляющий … Малый академический словарь
Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия
- (лат. conus, от греч. konos) коническая поверхность множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки нек рой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Простейший К. круглый, или прямой круговой, направляющей к … Большой энциклопедический политехнический словарь
- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия
Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия
– это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии.Основаниями конуса являются геометрические круги.
Усеченный конус может быть получен в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая является ее высотой. Границей конуса является круг радиуса R , круг радиуса r и боковая поверхность конуса. Боковую поверхность конуса описывает боковая сторона трапеции во время ее вращения.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований
При нахождении площади боковую поверхность усеченного конуса целесообразней рассматривать как разность боковой поверхности конуса и боковой поверхности отсеченного конуса.
Пусть от данного конуса AMB
отсекли конус A`MB`
. Необходимо вычислить боковую площадь усеченного конуса AA`B`B
. Известно, что радиусы его оснований AO=R, A`O`
=r
, образующая равна L
.Обозначим MB`
за x
. Тогда боковая поверхность конуса A`MB`
будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB
будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B
можно выразить через разность боковой поверхности конуса AMB
и конуса A`MB`
:
Треугольники OMB
и O`MB`
– подобны по равенству углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`}
и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}
. Из подобия этих треугольников следует:
Воспользуемся производной пропорции. Имеем:
Отсюда находим x
:
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем:
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на его направляющую и сумму радиусов его оснований.
Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R
и 2r
. Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. По условию задачи образующая равна 5, а высота – 4, тогда разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.
Имеем:
L=5
R=7
R=4
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
Подставив значения, имеем:
Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус
Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов его оснований:
Тогда формула площади боковой поверхности усеченного конуса может быть представлена следующим образом:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на его образующую.
Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания
Если меньшее основание ортогонально спроектировать на большее основание, то тогда проекция боковой поверхности усеченного конуса будет иметь вид кольца, площадь которого вычисляется по формуле:
Тогда:
Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади такого круга, радиус которого является средней пропорциональной между образующей и суммой радиусов его оснований
Полная поверхность усеченного конуса
Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади оснований конуса:
Основаниями конуса является круги с радиусом R
и r
. Их площадь равна произведению числа на квадрат их радиуса:
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
Тогда площадь полной поверхности усеченного конуса равна:
Формула имеет следующий вид:
Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь полную площадь усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R
и 2r
. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме ее оснований. Тогда:
Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора найдем образующую усеченного конуса:
Формула площади полной поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
Подставив значения из условия задачи и найденные значения, имеем: