Повторим теорию о функциях. Функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный! ) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если есть функция\(y = f(x)\) , это значит, что каждому допустимому значению переменной \(x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \(y\) (называемой «функцией»).

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида \(y = \frac{k}{x}\) ​​, где \(k \ne 0.\)

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Определим область определения. Чему может быть равен \(x\) ? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить - это 0, поэтому \(x \ne 0.\) :

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

или, что то же самое:

\(D(y) = R\backslash \{ 0\} .\)

Такая запись означает, что \(x\) может быть любым числом, кроме 0: знак «R» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком «\» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число 0 в фигурных скобках означает просто число 0; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем 0.

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если \(k \ne 0.\) , то на что бы мы его не делили, 0 не получится:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

или\(E(y) = R\backslash \{ 0\} .\)

Также возможны некоторые вариации формулы \(y = \frac{k}{x}\) ​​. Например, \(y = \frac{k}{{x + a}}\) ​​ - это тоже функция, описывающая обратную зависимость. Область определения и область значений этой функции следующие:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Рассмотрим пример , приведем выражение к виду обратной зависимости:

\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\)

\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 3 + 2}}{{x - 3}} = \frac{{(x - 3) + 5}}{{x - 3}}.\)

Искусственно ввели значение 3 в числитель, а теперь почленно разделим числитель на знаменатель, получим:

\(y = \frac{{(x - 3) + 5}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{x - 3}} + \frac{5}{{x - 3}} = 1 + \frac{5}{{x - 3}}.\)

Получили обратную зависимость плюс число 1.

График обратной зависимости

Начнем с простого случая \(y = \frac{1}{x}.\)

Составим таблицу значений:

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Соединяем точки, график будет выглядеть так:

Этот график называется «гипербола» . Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям Ox и Oy , но никогда их не достигает.

Отметим некоторые особенности функции:

1. Если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси Ox.
2. Чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный - это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. Вспомним формулу скорости:

\(v = \frac{S}{t},\)

где v - скорость, t - время в пути, S - расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: \(t = \frac{S}{v}.\)

Начальный уровень

Обратная зависимость. Начальный уровень.

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами - обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция - это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему , настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое - функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: и . Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный! ) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция, это значит что каждому допустимому значению переменной (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме « »! Все дело в понятии «область определения» : для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции отрицательные значения аргумента - недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида, где.

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить - это, поэтому:

или, что то же самое,

(такая запись означает, что может быть любым числом, кроме: знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число в фигурных скобках означает просто число; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если, то на что бы мы его не делили, не получится:

Также возможны некоторые вариации формулы. Например, - это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

Давай посмотрим на такую функцию: . Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: .

Вот еще пример: .

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

Ух ты! Снова получается обратная зависимость , только теперь к ней еще прибавляется число.
Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

Ответы:

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме « »). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: . Я найду их устно с помощью теоремы Виета: , . Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему .
Итак, получаем: , следовательно:

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас, а в знаменателе - просто. Это не беда. Нам нужно будет сократить на, поэтому в числителе следует вынести за скобки (чтобы в скобках получился уже без коэффициента):

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая: .
Составим таблицу:

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям и, но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как, график не может пересекать ось. Но и, так что график никогда не коснется и оси.

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:
:

Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси.

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, ?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная, только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен? Правильно, . Значит, график никогда не достигнет прямой. А чему не может быть равен? Теперь. Значит, теперь график будет стремиться к прямой, но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые и выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции. Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме .

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции. Определите.

2. На рисунке изображен график функции. Определите

3. На рисунке изображен график функции. Определите.

4. На рисунке изображен график функции. Определите.

5. На рисунке приведены графики функций и.

Выбери верное соотношение:

Ответы:

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный - это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости: , где - скорость, - время в пути, - расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью км/ч, и доезжает за час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

Известно, что, тогда:

Нужно найти:

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида, где.

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

или, что то же самое,

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты, и.

Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

• если, то ветви гиперболы расположены в и четвертях;
• если, то во и.

x=a - это вертикальная асимптота , то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число отвечает за смещение графика функции вверх на величину, если , и смещение вниз, если .

Следовательно, - это горизонтальная асимптота .

1 урок по теме

Выполнила:

Телегина Л.Б.

Цель урока:

1. повторить весь изученный материал по функциям.
2. ввести определение обратной пропорциональности и научить строить её график.
3. развивать логическое мышление.
4. воспитывать внимание, аккуратность, точность.

План урока:

1. Повторение.
2. Объяснение нового материала.
3. Физкультминутка.
4. Закрепление.

Оборудование: плакаты.

Ход урока:

1. Урок начинается с повторения. Учащимся предлагается разгадать кроссворд (который заранее подготовлен на большом листе бумаги).

7 11

Вопросы кроссворда:

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [Функция].

2. Независимая переменная. [Аргумент].

3. Множество точек координатной плоскости абсциссы, которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениям функции. [График].

4. Функция, заданная формулой y=kx+b. [Линейная].

5. Каким коэффициентом называют число k в формуле y=kx+b? [Угловым].

6. Что служит графиком линейной функции? [Прямая].

7. Если k≠0, то график y=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой эта ось обозначается? [Икс].

8. Слово в названии функции y=kx? [Пропорциональность].

9. Функция, заданная формулой y=x 2 . [Квадратичная].

10. Название графика квадратичной функции. [Парабола].

11. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию. [Игрек].

12. Один из способов задания функции. [Формула].

Учитель : Какие основные способы задания функции нам известны?

(Один учащийся получает задание у доски: заполнить таблицу значений функции 12/x по данным значениям её аргумента, а затем построить на координатной плоскости соответствующие точки).

Остальные отвечают на вопросы учителя: (которые заранее записаны на доске)

1. Как называются следующие функции, заданные формулами: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Укажите область определения следующих функций: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Затем учащиеся работают по таблице, отвечая на поставленные учителем вопросы:

1. На каком рисунке из таблицы изображены графики:

а) линейной функции;

б) прямой пропорциональности;

в) квадратичной функции;

г) функции вида y=kx 3 ?

2. Какой знак имеет коэффициент k в формулах вида y=kx+b, которым соответствуют графики на рисунках 1, 2, 4, 5 таблицы?

3. Найти в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты:

а) равны;

б) равны по модулю и противоположны по знаку.

(Затем весь класс проверяет, верно ли ученик, вызванный к доске заполнил таблицу и расставил точки на координатной плоскости).

2. Объяснение начинается с мотивации.

Учитель: Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире.

Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами x и y и площадью 12см 2 . Известно, что x*y=12, но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной x ?

Длину стороны y можно узнать из формулы y=12/x. Если x увеличить в 2 раза, то будет иметь y=12/2x, т.е. сторона y уменьшится в 2 раза. Если значение x увеличить в 3, 4, 5… раз, то значение y во столько же раз уменьшится. Наоборот, если x уменьшать в несколько раз, то y будет увеличиваться во столько же раз. (Работа по таблице).

Поэтому функцию вида y=12/x называют обратной пропорциональностью. В общем виде она записывается так y=k/x, где k-константа, причём k≠0.

Это тема сегодняшнего урока, записали в тетрадях. Даю строгое определение. Для функции y=12/x, являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в таблице ряд значений аргумента и функции и изобразим соответствующие точки на координатной плоскости. Как же выглядит график данной функции? По построенным точкам трудно судить обо всём графике, ведь точки можно соединить как угодно. Давайте попробуем вместе сделать выводы о графике функции, вытекающие из рассмотрения таблицы и формулы.

Вопросы к классу:

1. Какова область определения функции y=12/x?
2. Положительны или отрицательны значения y, если

а) x

б) x>0?

3. Как изменяется значение переменной y с изменением значения x ?

Итак,

1. точка (0,0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси OX, ни оси OY;
2. график находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях;
3. плавно приближается к координатным осям как в Ι координатной четверти, так и в ΙΙΙ, причём он подходит к осям как угодно близко.

Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке (учитель это делает сам на доске) и увидеть график функции y=12/x целиком. Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает «прохожу через что-либо». Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в 4 веке до н.э. Термин, гипербола ввёл Аполлоний из города Пергам (Малая Азия), живший в ΙΙΙ- ΙΙ в. до н.э.

Теперь рядом с графиком функции y=12/x построим график функции y=-12/x. (Учащиеся выполняют это задание в тетрадях, а один ученик - у доски).

Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает 2 и 4 координатные четверти. К тому же, если график функции y=12/x отобразить симметрично относительно оси ОУ, то получится график функции y=-12/x.

Вопрос: Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от знака и от значения коэффициента k?

Учащиеся убеждаются, что если k>0, то график расположен в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, а если k

1. Физкультминутку проводит учитель.

1. Закрепление изучаемого проходит при выполнении №180, 185 из учебника.

1. Подводится итог урока, оценки, задание на дом: п.8 № 179, 184.

2 урок по теме

«Функция обратной пропорциональности и её график».

Выполнила:

Телегина Л.Б.

Цель урока:

1. закрепить навык построения графика функции обратной пропорциональности;
2. развивать интерес к предмету, логическое мышление;
3. воспитывать самостоятельность, внимание.

План урока:

1. Проверка выполнения домашнего задания.
2. Устная работа.
3. Решение задач.
4. Физкультминутка.
5. Разноуровневая самостоятельная работа.
6. Подведение итогов, оценки, задание на дом.

Оборудование: карточки.

Ход урока:

1. Учитель объявляет тему урока, цели и план занятия.

Затем двое учащихся выполняют на доске заданные на дом номера 179, 184.

1. Остальные учащиеся работают фронтально, отвечая на вопросы учителя.

Вопросы:

• Дать определение функции обратной пропорциональности.
• Что является графиком функции обратной пропорциональности.
• Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от значения коэффициента k?

Задания:

1. Среди функций, заданных формулами назвать функции обратной пропорциональности:

а) y=x 2 +5, б) y=1/х, в) y= 4x-1, г) y=2x, д) y=7-5x, е) y=-11/x, ж) y=x 3 , з) y=15/x-2.

2. Для функций обратной пропорциональности назвать коэффициент и указать в каких четвертях лежит график.

3. Найти область определения для функций обратной пропорциональности.

(Затем учащиеся карандашом проверяют друг у друга выполнение домашнего задания по проверенному учителем решениям номеров на доске и выставляют оценку).

Фронтальная работа по учебнику № 190, 191, 192, 193 (устно).

1. Выполнение в тетрадях и на доске из учебника № 186(б), 187(б), 182.

4. Физкультминутку проводит учитель.

5. Самостоятельная работа даётся в трёх вариантах различной сложности (раздаётся на карточках).

Ι в. (облегчённый).

Постройте график функции обратной пропорциональности y=-6/x с помощью таблицы:

Используя график, найти:

а) значение у, если х = - 1,5; 2;

б) значение х, при котором у = - 1; 4.

ΙΙ в. (средней трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу.

Используя график, найти при каких значениях х у >0.

ΙΙΙ в. (повышенной трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=10/x-2, предварительно заполнив таблицу.

Найти область определения данной функции.

(Листы с построенными графиками учащиеся сдают на проверку).

6. Подводится итог урока, оценки, задание на дом: № 186 (а), 187 (а).