По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления. Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена. С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.
Исторический очерк
Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления , связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.
В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.
Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.
Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.
Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).
Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.
Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.
Разновидности логарифмов
Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения a x = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.
Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.
Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:
Правила и ограничения
Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).
Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.
Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(b p) = p * log a(b).
Среди других свойств можно выделить:
Замечание. Не надо делать распространённую ошибку - логарифм суммы не равен сумме логарифмов.
Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n), где n - натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.
Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.
Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.
В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.
В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.
Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.
Уравнения и неравенства
Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:
- Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
- Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).
Для решения неравенств полезно знать:
- Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
- Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.
Примеры задач
Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:
Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:
- Задача 3. Вычислить 25^log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5^log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5^log 5(3))^2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 3^2. Ответ: в результате вычисления получаем 9.
Практическое применение
Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.
Логарифмические зависимости
Приведём несколько примеров числовых зависимостей:
Механика и физика
Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.
Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:
V = I * ln (M1/M2), где
- V – конечная скорость летательного аппарата.
- I – удельный импульс двигателя.
- M 1 – начальная масса ракеты.
- M 2 – конечная масса.
Другой важный пример - это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.
S = k * ln (Ω), где
- S – термодинамическое свойство.
- k – постоянная Больцмана.
- Ω – статистический вес разных состояний.
Химия
Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:
- Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
- Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.
Психология и биология
И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.
После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.
Другие области
Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:
Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.
Вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a (x 1 . x 2 . x 3 ... x k ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k .
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,
log a 1 / b = log a 1 - log a b = - log a b .
А значит имеет место равенство:
log a 1 / b = - log a b.
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Сложение и вычитание логарифмов
Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .
Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
1. log a x + log a y = log a (x · y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры - и убедитесь:
Найдите значение выражения:log 6 4 + log 6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
1. log a x n = n · log a x ;
3. 
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма:a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Найдите значение выражения: log 7 49 6 .
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.
Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN
При условии, что
,
,
Из определения логарифма
следует, что
,
т.е.
- это равенство является основным
логарифмическим тождеством.
Логарифмы по основанию 10
называются десятичными логарифмами.
Вместо
пишут
.
Логарифмы по основанию e
называются натуральными и обозначаются
.
Основные свойства логарифмов.
Логарифм единицы при любом основании равен нулю
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
3) Логарифм частного равен разности логарифмов
Множитель
называется модулем перехода от логарифмов
при основанииa
к логарифмам при основанииb
.
С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.
Например,
Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.
Глава 2. Элементы высшей математики.
1. Пределы
Пределом функции
является конечное число А, если при
стремлении xx
0
для каждого наперед заданного
,
найдется такое число
,
что как только
,
то
.
Функция, имеющая предел, отличается от
него на бесконечно малую величину:
,
где- б.м.в., т.е.
.
Пример. Рассмотрим функцию
.
При стремлении
,
функцияy
стремится к нулю:
1.1. Основные теоремы о пределах.
Предел постоянной величины равен этой постоянной величине
.
Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.
Замечательные пределы
,
,
где
1.2. Примеры вычисления пределов
Однако, не все пределы вычисляются так
просто. Чаще вычисление предела сводится
к раскрытию неопределенности типа:
или
.
.
2. Производная функции
Пусть мы имеем функцию
,
непрерывную на отрезке
.
Аргумент
получил некоторое приращение
.
Тогда и функция получит приращение
.
Значению аргумента
соответствует значение функции
.
Значению аргумента
соответствует значение функции
.
Следовательно, .
Найдем предел этого отношения при
.
Если этот предел существует, то он
называется производной данной функции.
Определение 3Производной данной функции
по
аргументу
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента произвольным
образом стремится к нулю.
Производная функции
может быть обозначена следующим образом:
;
;
;
.
Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.
2.1. Механический смысл производной.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.
Пусть в некоторый момент времени
движущаяся
точка
находилась на расстоянии
от начального положения
.
Через некоторый
промежуток времени
она переместилась на расстояние
.
Отношение
=
- средняя скорость материальной точки
.
Найдем предел этого отношения, учитывая
что
.
Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.
2.2. Геометрическое значение производной
Пусть у нас
есть графически заданная некоторая
функция
.
Рис. 1. Геометрический смысл производной
Если
,
то точка
,
будет перемещаться по кривой, приближаясь
к точке
.
Следовательно
,
т.е. значение производной при данном
значении аргумента
численно равняется тангенсу угла
образованного касательной в данной
точке с положительным направлением оси
.
2.3. Таблица основных формул дифференцирования.
Степенная функция
|
|
|
|
|
|
|
Показательная функция
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция
|
|
|
|
|
Тригонометрическая функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная тригонометрическая функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Правила дифференцирования.
Производная от
Производная суммы (разности) функций
Производная произведения двух функций
Производная частного двух функций
2.5. Производная от сложной функции.
Пусть дана функция
такая, что ее можно представить в виде
и
,
где переменная
является промежуточным аргументом,
тогда
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.
Пример1.
Пример2.
3. Дифференциал функции.
Пусть есть
,
дифференцируемая на некотором отрезке
и пустьу
этой функции есть производная
,
тогда можно записать
(1),
где
- бесконечно малая величина,
так как при
Умножая все члены равенства (1) на
имеем:
Где
-
б.м.в. высшего порядка.
Величина
называется дифференциалом функции
и обозначается
.
3.1. Геометрическое значение дифференциала.
Пусть дана функция
.
Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.
.
Очевидно, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной
в данной точке.
3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.
Если есть
,
тогда
называется первой производной.
Производная от первой производной
называется производной второго порядка
и записывается
.
Производной n-го порядка
от функции
называется производная (n-1)-го
порядка и записывается:
.
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
.
.
3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.
Задача1.
Исследования показали, что рост колонии
микроорганизмов подчиняется закону
,
гдеN
– численность микроорганизмов (в тыс.),t
–время (дни).
б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?
Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.
Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезt дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением
.
Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?
РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.
,
Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.
Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождество
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.
Логарифм произведения и логарифм частного
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифма
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Формула перехода к новому основанию
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмами
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
Таблица формул, связанных с логарифмами
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
