I. წინასიტყვაობა
ეს არის ცუდი იღბალი: ორკვირიანი ავადმყოფობის შემდეგ სკოლაში მიხვედი და აღმოაჩინე, რომ გამოგრჩა ძალიან მნიშვნელოვანი თემა, რომელზედაც იქნება გამოცდები მე-9 კლასში - „სამკუთხედები, ოთხკუთხედები და მათი ფართობი“. აქ მე მივვარდი გეომეტრიის მასწავლებელთან კითხვებით: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" მაგრამ მოსწავლეთა ნახევარს ეშინია მასწავლებლებთან მიახლოება, რომ ჩამორჩენილად არ ჩაითვალოს, მეორე ნახევარი კი მასწავლებლებისგან იღებს „დახმარებას“ მსგავსი „სახელმძღვანელოში ნახე, იქ ყველაფერი წერია!“ ან "გაკვეთილები არ უნდა გაცდენო!" მაგრამ სახელმძღვანელოში საერთოდ არ არის ინფორმაცია სამკუთხედების და ოთხკუთხედების ფართობის პოვნის წესების შესახებ. და გაკვეთილები გამოტოვეს კარგი მიზეზი, არის ექიმის ჩანაწერი. მაგრამ ბევრი მასწავლებელი მხოლოდ უარს იტყვის ამ არგუმენტებზე. რა თქმა უნდა, მათი გაგება შეიძლება: მათ არ უხდიან საგაკვეთილო მასალის დამატებით ჩაქუჩში ჩაქუჩებისთვის იმ სტუდენტების თავებში, რომლებსაც არაფერი ესმით. ბევრი სტუდენტი ტოვებს ამ უსარგებლო ამოცანას და ერთი წლის შემდეგ ჩააბარა გამოცდაზე, ვერ აგროვებს ათეულ ქულას სამკუთხედებისა და ოთხკუთხედების ფართობის პოვნის პრობლემაზე. და მხოლოდ რამდენიმე მიდის ბიბლიოთეკებში და მეგობრებთან კითხვით: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" ა განსხვავებული ხალხიდა წიგნები სხვადასხვა პასუხს იძლევა და წესების ბევრი დაბნეულობაა. ქვემოთ დავასახელებ სამკუთხედების და ოთხკუთხედების ფართობის პოვნის ძირითად მეთოდებს.
II. ოთხკუთხედები
დავიწყოთ ოთხკუთხედებით. სკოლებში და გამოცდებში მხოლოდ ამოზნექილი ოთხკუთხედები განიხილება, ამიტომ მათზე ვისაუბროთ. განათლების საშუალო საფეხურზე შესწავლილია პარალელოგრამებისა და ტრაპეციების არეები. პარალელოგრამები რამდენიმე ტიპისაა: მართკუთხედი, კვადრატი, რომბი და თვითნებური პარალელოგრამი, რომლებშიც შეინიშნება მხოლოდ მისი ძირითადი მახასიათებლები: გვერდები წყვილში პარალელური და ტოლია, მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180 °. მაგრამ ტერიტორიების პოვნის გზები ყველა ამ ფიგურისთვის განსხვავებულია. განვიხილოთ თითოეული ცალკე.
1. მართკუთხედი
მართკუთხედის S გვხვდება ფორმულით: S = a * b, სადაცა- ჰორიზონტალური მხარე, ბ- ვერტიკალური მხარე.
2. კვადრატების ფართობი
კვადრატის S გვხვდება ფორმულით: S = a * a, სადაცა- კვადრატის მხარე.
3. რომბების ფართობი
რომბის S გვხვდება ფორმულით: S = 0.5 * (d 1 * d 2), სადაცდ 1- დიდი დიაგონალი, ** დ 2- უფრო პატარა დიაგონალი.
4. თვითნებური პარალელოგრამის ფართობი
თვითნებური პარალელოგრამის S გვხვდება ფორმულით: S = a * h a, ა- პარალელოგრამის გვერდი, სთ ა
Ყველა არა?
ჩვენ დავასრულეთ პარალელოგრამები. "უბრალოდ ეს უნდა ისწავლო?" - შვებით გეკითხებით. პასუხი არის: პარალელოგრამებიდან - დიახ, მხოლოდ ეს. მაგრამ ჯერ კიდევ არის ტრაპეციები და სამკუთხედები. ასე რომ გავაგრძელოთ.
III. ტრაპეი გდა მე
ტრაპეციის ზონა
S ტრაპეცია გვხვდება ერთ ფორმულაში, იქნება ეს ჩვეულებრივი თუ ტოლფერდა: S = ((a + b): 2) * სთ, სადაცა, ბ- მისი საფუძველი, თ- მისი სიმაღლე. ეს ყველაფერი ტრაპეციაზეა. ახლა კითხვაზე: "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი?" - შენ შეგიძლია არა მარტო უპასუხო საკუთარ თავს, არამედ გაანათლო სხვებიც. ახლა გადავიდეთ სამკუთხედებზე.
IV. სამკუთხედი
გეომეტრიაში გამოვლინდა სამი ფორმულა მათი ფართობის დასადგენად: მართკუთხა, ტოლგვერდა და თვითნებური სამკუთხედებისთვის.
1. სამკუთხედის ფართობი
თვითნებური სამკუთხედის S გამოითვლება ფორმულით: S = 0.5a * სთ ა, ა- სამკუთხედის მხარე, სთ აარის ამ მხარეს დახატული სიმაღლე.
2. ტოლგვერდა სამკუთხედების ფართობი
ტოლგვერდა სამკუთხედის S შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: S = 0.5a * h, სადაცა- სამკუთხედის საფუძველი, თარის ამ სამკუთხედის სიმაღლე.
3. ფართობი მართკუთხა სამკუთხედები
მართკუთხა სამკუთხედების ფართობი გვხვდება ფორმულით: S = (a * b): 2, სადაცა- 1 ფეხი, ბ- მე-2 ფეხი.
დასკვნა
ისე, ეს ყველაფერია, ჩემი აზრით. თქვენ ასევე უნდა ისწავლოთ ცოტა სამკუთხედების შესახებ, არა? ახლა გადახედე ყველაფერს, რაც აქ დავწერე. "ნაძვის ხეები, ჩხირები, ამის სწავლას ერთი თვე დასჭირდება!" - იძახი ალბათ. და ვინ თქვა, რომ ყველაფერი სწრაფად სწავლობს? მაგრამ მეორეს მხრივ, როდესაც ეს ყველაფერი ისწავლეთ, მე -9 კლასში არ შეგეშინდებათ კითხვები თემაზე "როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი" ან "თვითნებური სამკუთხედის ფართობი". ატესტაცია. ასე რომ, თუ საერთოდ გინდა სადმე წასვლა, ასწავლე, ისწავლე და იყავი მეცნიერი!
___________________________________
შენიშვნა
* - ადა ბარ უნდა ვიყო იმ ადგილებზე, რაც მე დავაყენე. პრობლემების გადაჭრისას შეიძლება ეწოდოს ვერტიკალური მხარე ადა ჰორიზონტალური - ბ;
** - დიაგონალები შეიძლება შეიცვალოს და მათი სახელები შეიცვალოს ისევე, როგორც შენიშვნაში. *
თუ ზედიზედ დახაზავთ რამდენიმე სეგმენტს სიბრტყეზე ისე, რომ ყოველი შემდეგი იწყება იმ ადგილიდან, სადაც წინა დასრულდა, მაშინ მიიღებთ გაწყვეტილ ხაზს. ამ სეგმენტებს ჰქვია რგოლები, ხოლო ადგილებს, სადაც ისინი იკვეთება წვეროები. როდესაც ბოლო სეგმენტის ბოლო იკვეთება პირველის საწყის წერტილთან, მიიღებთ დახურულ პოლიხაზს, რომელიც ყოფს სიბრტყეს ორ ნაწილად. ერთი მათგანი სასრულია, მეორე კი უსასრულო.
მარტივ დახურულ ხაზს მასში ჩასმული სიბრტყის ნაწილთან ერთად (ის, რომელიც სასრულია) მრავალკუთხედი ეწოდება. ხაზის სეგმენტები არის მხარეები, ხოლო მათ მიერ ჩამოყალიბებული კუთხეები არის წვეროები. ნებისმიერი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა უდრის მისი წვეროების რაოდენობას. ფორმას, რომელსაც აქვს სამი გვერდი, ეწოდება სამკუთხედი, ხოლო ოთხს - ოთხკუთხედი. მრავალკუთხედი რიცხობრივად ხასიათდება ისეთი მნიშვნელობით, როგორიცაა ფართობი, რომელიც მიუთითებს ფორმის ზომაზე. როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი? ამას გვასწავლის მათემატიკის დარგი - გეომეტრია.
ოთხკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რა ტიპს მიეკუთვნება ის - ამოზნექილი თუ არაამოზნექილი? მთლიანი შედარებით სწორია (და ის აუცილებლად შეიცავს მის რომელიმე მხარეს) ერთ მხარეს. გარდა ამისა, არსებობს ისეთი ტიპის ოთხკუთხედები, როგორიცაა პარალელოგრამი წყვილში ტოლი და პარალელური. მოპირდაპირე მხარეები(მისი სახეობები: მართკუთხედი მართი კუთხით, რომბი ტოლი გვერდებით, კვადრატი ყველა მართი კუთხით და ოთხი თანაბარი გვერდით), ტრაპეცია ორი პარალელური მოპირდაპირე გვერდით და დელტოიდი ორი წყვილი მიმდებარე გვერდით, რომლებიც ტოლია.
ნებისმიერი მრავალკუთხედის ფართობები გვხვდება გამოყენებით ზოგადი მეთოდი, რომელიც შედგება მისი სამკუთხედებად დაყოფაში, თითოეულისთვის გამოთვალეთ თვითნებური სამკუთხედის ფართობი და დაამატეთ შედეგები. ნებისმიერი ამოზნექილი ოთხკუთხედი იყოფა ორ სამკუთხედად, არაამოზნექილი - ორად ან სამად; ამ შემთხვევაში, ეს შეიძლება იყოს შედეგების ჯამი და სხვაობა. ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება, როგორც ფუძის (a) ნამრავლის ნახევარი და ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლე (ħ). ფორმულა, რომელიც ამ შემთხვევაში გამოიყენება გამოთვლებისთვის, იწერება: S = ½. ა. ħ.
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი, როგორიცაა პარალელოგრამი? თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძის სიგრძე (a), გვერდის სიგრძე (ƀ) და იპოვოთ α კუთხის სინუსი, რომელიც წარმოიქმნება ფუძისა და გვერდის (sinα) მიერ, გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება: S. = ა. ƀ. sina. ვინაიდან α კუთხის სინუსი არის პარალელოგრამის ფუძისა და მისი სიმაღლის (ħ = ƀ) - ფუძის პერპენდიკულარული წრფის ნამრავლი, მისი ფართობი გამოითვლება მისი ფუძის სიმაღლის გამრავლებით: S = a. ħ. ეს ფორმულა ასევე შესაფერისია რომბისა და მართკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად. ვინაიდან მართკუთხედის გვერდი ƀ ემთხვევა ħ სიმაღლეს, მისი ფართობი გამოითვლება ფორმულით S = a. ƀ. რადგან a = ƀ, მისი გვერდის კვადრატის ტოლი იქნება: S = a. a = a². გამოითვლება, როგორც მისი გვერდების ჯამის ნახევარი, გამრავლებული სიმაღლეზე (იგი ტრაპეციის ფუძესთან პერპენდიკულურად არის დახატული): S = ½. (a + ƀ). ħ.
როგორ ვიპოვოთ ოთხკუთხედის ფართობი, თუ მისი გვერდების სიგრძე უცნობია, მაგრამ ცნობილია მისი დიაგონალები (e) და (f), ისევე როგორც α კუთხის სინუსი? ამ შემთხვევაში, ფართობი გამოითვლება, როგორც მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარი (ხაზები, რომლებიც აკავშირებს მრავალკუთხედის წვეროებს), გამრავლებული α კუთხის სინუსზე. ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: S = ½. (ე. ვ). sina. კერძოდ, ამ შემთხვევაში ეს იქნება დიაგონალების ნამრავლის ნახევარის ტოლი (რომბის საპირისპირო კუთხეების დამაკავშირებელი ხაზები): S = ½. (ე. ვ).
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი, რომელიც არ არის პარალელოგრამი ან ტრაპეცია, მას ჩვეულებრივ უწოდებენ თვითნებურ ოთხკუთხედს. ასეთი ფიგურის ფართობი გამოიხატება მისი ნახევარპერიმეტრის მიხედვით (Ρ არის ორი გვერდის ჯამი საერთო წვერით), გვერდები a, ƀ, c, d და ორი მოპირდაპირე კუთხის ჯამი (α + β). ): S = √ [(Ρ - ა). (Ρ - ƀ). (Ρ - გ). (Ρ - დ) - ა. ƀ. გ. დ. cos² ½ (α + β)].
თუ a φ = 180о, მაშინ მისი ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენება ბრაჰმაგუპტას ფორმულა (ინდოელი ასტრონომი და მათემატიკოსი, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 6-7 საუკუნეებში): S = √ [(Ρ - a). (Ρ - ƀ). (Ρ - გ). (Ρ - დ)]. თუ ოთხკუთხედი შემოიფარგლება წრით, მაშინ (a + c = ƀ + d), და მისი ფართობი გამოითვლება: S = √ [a. ƀ. გ. დ]. sin ½ (α + β). თუ ოთხკუთხედი ერთდროულად შემოიფარგლება ერთი წრით და ჩაიწერება მეორე წრეში, მაშინ ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა: S = √.
გეომეტრიის კურსის პლანიმეტრიული ამოცანების ამოხსნისას ხშირად გვხვდება ფიგურა 4 გვერდით. დიახ, ჩვენ ვსაუბრობთ ოთხკუთხედზე. თვითნებური მრავალკუთხედი ოთხი კუთხით ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე მისი განსაკუთრებული შემთხვევები - ტრაპეცია, დელტოიდები, პარალელოგრამები. ბოლო „ჯგუფში“ ასევე შედის რომბები, მართკუთხედები, კვადრატები.
განვიხილოთ ფიგურის რა მონაცემები უნდა იცოდეთ მისი ფართობის გამოსათვლელად.
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი
თვითნებური მრავალკუთხედი
მისი ფართობის საპოვნელად საჭიროა ფიგურის დიაგონალები, ასევე მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე.
- S = (d1 * d2 * sinα) / 2,
- d1, d2 - დიაგონალები,
- α არის კუთხე, რომელიც მიღებულია მათი გადაკვეთით.
მრავალკუთხედი წრეში
თუ მოცემული ოთხკუთხედი მოთავსებულია წრეში, ცნობილია ფიგურის გვერდების სიგრძე, მაშინ თანაფარდობა დაგეხმარებათ მრავალკუთხედის ფართობის დადგენაში:
S = √ (p - m) (p - k) (p - l) (p - e), p = (m + k + l + e) / 2.
m, k, l, e - მისი მხარეები.
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - ტრაპეცია
ეს ფიგურა გამოირჩევა პარალელური 2 მხარის არსებობით. ასეთი მრავალკუთხედის ფართობის დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი პარამეტრები:
- თუ ცნობილია პარალელური გვერდების მნიშვნელობები და მათზე დახატული პერპენდიკულარული სიმაღლე, ფართობი გამოითვლება გამოსახულებით S = ((a + b) * h) / 2,
a და b - ბაზები,
თ - პერპენდიკულარულ-სიმაღლე. - შუა ხაზის განმარტებაზე დაყრდნობით (k = (a + b) / 2)), წინა ფორმულა მიიღებს შემდეგ ფორმას: S = k * h,
k არის შუა ხაზი.
ცნობილი ტრაპეციის დიაგონალები და მათი გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი კუთხის ხარისხი ასევე დაგეხმარებათ ფიგურის ფართობის დადგენაში: S = (d1 * d2 * sinβ) / 2,
d1, d2 - დიაგონალები,
β არის მათი გადაკვეთით მიღებული კუთხე. - მოცემულია 4 მხარე: S = ((მ + ლ) √k 2 - ((მ - ლ) 2 + კ 2 - დ 2) 2 / (4 (მ - ლ) 2)) / 2,
m, l - მხარეები პარალელურია,
k, d - გვერდითი მხარეები.
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - დელტოიდი
დელტოიდური მრავალკუთხედი ხასიათდება 2 წყვილი თანაბარი გვერდის არსებობით. ასეთი ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლა გამოითვლება შემდეგნაირად:
- ცნობილია ფიგურის გვერდები და სხვადასხვა სიგრძის გვერდებით წარმოქმნილი კუთხე:
S = m * l * sinϕ,
m, l - დელტოიდის მხარეები,
ϕ არის კუთხე მათ შორის. - ცნობილია ფიგურის გვერდები და თანაბარი სიგრძის გვერდებით წარმოქმნილი კუთხეები:
S = m 2 * sinα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
m, l - დელტოიდის მხარეები,
α, β - კუთხეები თანაბარ გვერდებს შორის. - ცნობილი დიაგონალების არსებობა ასევე საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფიგურის ფართობი:
S = d1 * d2 / 2,
d1, d2 - დელტოიდური დიაგონალები. - თუ ფიგურაში წრეა ჩაწერილი, მაშინ მისი რადიუსის ცოდნა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ დელტოიდის ფართობი: S = (m + l) * r,
m, l - დელტოიდის მხარეები,
r არის რადიუსი ჩაწერილი წრის შემთხვევაში.
როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხედის ფართობი - პარალელოგრამი
თუ ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს 2 წყვილი გვერდი, რომელიც არ იკვეთება, მაშინ თქვენს წინ არის პარალელოგრამი.
ზოგადი გამოხატულება
ამ ტიპის ფიგურის ფართობის დასადგენად დაგჭირდებათ:
- ოთხკუთხედის მხარე და მასზე დაშვებული სიმაღლე: S = k * h (k),
k - ფიგურის მხარე,
h (k) - სიმაღლე მასზე. - ორი გვერდის სიგრძე ერთი წვერით და კუთხის ხარისხი მოცემულ წვეროზე:
S = l * k * sinϕ,
k, l - მრავალკუთხედის გვერდები,
ϕ არის კუთხე მათ შორის. - ფიგურის დიაგონალები და მათი გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხე: S = d1 * d2 * sinβ / 2,
d1, d2 - დიაგონალები,
β - კუთხე - მათი გადაკვეთის შედეგი.
რომბი
ეს ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევა 4 თანაბარი გვერდით. მაშასადამე, გამონათქვამები, რომლებიც მოქმედებს პარალელოგრამზე, ასევე მოქმედებს მისთვის. მერე
- S = k * h (k),
k არის ფიგურის მხარე, h (k) არის მისი სიმაღლე. - S = k 2 * sinϕ,
k არის ოთხკუთხედის გვერდი, ϕ არის კუთხე გვერდებს შორის. - S = d1 * d2 / 2 (რადგან ფიგურის დიაგონალები, გადაკვეთისას, ქმნიან მართ კუთხეს და sin90 ° = 1),
d1, d2 - მრავალკუთხედის დიაგონალები.
მართკუთხედი
ასეთ მრავალკუთხედს აქვს 2 წყვილი თანაბარი გვერდი და მისი კუთხეების ხარისხიანი ზომაა 90 °. მისი ფართობის საპოვნელად მოქმედებს შემდეგი გამონათქვამები:
- S = k * l,
k, l - ფიგურის მხარეები. - S = d 2 * sinβ / 2,
d - ოთხკუთხედის დიაგონალები, β - კუთხე - მათი გადაკვეთის შედეგი. - S = 2R 2 * sinβ,
R არის რადიუსი შემოხაზული წრის შემთხვევაში.
მოედანი
ვ ამ შემთხვევაშიწინა ეტაპზე მიღებული თანაფარდობები მიიღებს შემდეგ ფორმას (რადგან ამ ტიპის მართკუთხედის გვერდები ტოლია):
- S = k 2, k არის ფიგურის მხარე.
- S = d 2/2, d არის კვადრატის დიაგონალი.
- S = 2R 2, R არის რადიუსი შემოხაზული წრის შემთხვევაში.
- S = 4r 4, r არის რადიუსი ჩაწერილი წრის შემთხვევაში.
ოთხკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წვეროსაგან, რომელთაგან სამი არ დევს ერთ სწორ ხაზზე და მათ დამაკავშირებელ სეგმენტებს.
ბევრი ოთხკუთხედია. მათ შორისაა პარალელოგრამები, კვადრატები, რომბები, ტრაპეცია. პოვნა შეიძლება მოიძებნოს გვერდებზე, ადვილად გამოითვლება დიაგონალებით. თვითნებურ ოთხკუთხედში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყველა ელემენტი ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულის მისაღებად. დასაწყისისთვის, განიხილეთ ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა დიაგონალის მიხედვით. მისი გამოსაყენებლად საჭიროა დიაგონალების სიგრძე და მათ შორის მწვავე კუთხის ზომა. საჭირო მონაცემების ცოდნით, შეგიძლიათ განახორციელოთ ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
დიაგონალების ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის მწვავე კუთხის სინუსი არის ოთხკუთხედის ფართობი. განვიხილოთ დიაგონალის მეშვეობით ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი.
მიეცით ოთხკუთხედი ორი დიაგონალით d1 = 5 სმ; d2 = 4 სმ. მათ შორის მწვავე კუთხე უდრის α = 30 °. დიაგონალების თვალსაზრისით ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა მარტივი გამოსაყენებელია ცნობილი პირობებისთვის. შევცვალოთ მონაცემები: 
დიაგონალების მეშვეობით ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ გვესმის, რომ ფორმულა ძალიან ჰგავს გაანგარიშებას.
ოთხკუთხედის ფართობი გვერდებზე
როდესაც იცით ფორმის გვერდების სიგრძე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა გვერდების გასწვრივ ოთხკუთხედის ფართობისთვის. ამ გამოთვლების გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ნახევარპერიმეტრი. ჩვენ გვახსოვს, რომ პერიმეტრი არის ყველა მხარის სიგრძის ჯამი. ნახევარპერიმეტრი არის პერიმეტრის ნახევარი. ჩვენს ოთხკუთხედში a, b, c, d გვერდებით, ნახევარპერიმეტრის ფორმულა ასე გამოიყურება: 
მხარეების გაცნობით, ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას. ოთხკუთხედის ფართობი არის ნამრავლის ფესვი ნახევრად პერიმეტრის სხვაობისა თითოეული მხარის სიგრძესთან:
განვიხილოთ გვერდების მეშვეობით ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი. თვითნებური ოთხკუთხედი მოცემულია გვერდებით a = 5 სმ, b = 4 სმ, c = 3 სმ, d = 6 სმ. პირველ რიგში, ვპოულობთ ნახევარპერიმეტრს: 
ჩვენ ვიყენებთ ნაპოვნი მნიშვნელობას ფართობის გამოსათვლელად:
კოორდინატებით მოცემული ოთხკუთხედის ფართობი
ოთხკუთხედის კოორდინატთა ფართობის ფორმულა გამოიყენება კოორდინატთა სისტემაში განლაგებული ფორმების ფართობის გამოსათვლელად. ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გამოთვალოთ საჭირო მხარეების სიგრძე. ოთხკუთხედის ტიპის მიხედვით, თავად ფორმულა შეიძლება შეიცვალოს. მოდით განვიხილოთ ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი კვადრატის გამოყენებით, რომელიც მდებარეობს XY კოორდინატთა სისტემაში.
თქვენ გეძლევათ კვადრატული ABCD, რომელიც მდებარეობს XY კოორდინატთა სისტემაში. იპოვეთ ფიგურის ფართობი, თუ წვეროების კოორდინატები არის A (2; 10); B (10; 8); C (8; 0); D (0; 2). 
ჩვენ ვიცით, რომ ფიგურის ყველა მხარე ტოლია და კვადრატის ფართობის ფორმულა გვხვდება ფორმულით:
მოდი ვიპოვოთ ერთ-ერთი მხარე, მაგალითად, AB: 
მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები ფორმულაში: 
ჩვენ ვიცით, რომ ყველა მხარე ერთნაირია. ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას ფართობის გამოთვლის ფორმულაში: 
სასკოლო მათემატიკის დავალებაში ხშირად საჭიროა ოთხკუთხედის ფართობის განსაზღვრა. ყველაფერი საკმაოდ მარტივია, თუ მოცემულია ფიგურის განსაკუთრებული შემთხვევა - კვადრატი, რომბი, მართკუთხედი, ტრაპეცია, პარალელოგრამი, რომბოიდი. თვითნებური ოთხკუთხედის შემთხვევაშიყველაფერი გარკვეულწილად უფრო რთულია, მაგრამ ასევე საკმაოდ ხელმისაწვდომი საშუალო სკოლის მოსწავლისთვის. ქვემოთ შევისწავლით სხვადასხვა მეთოდებითვითნებური ოთხკუთხედების ფართობის გამოთვლები, ჩაწერეთ ფორმულები და განიხილეთ სხვადასხვა დამხმარე მაგალითები.
ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი მიუთითებს განმარტებებსა და კონვენციებზე, რომლებიც გამოყენებული იქნება. შემდგომში ჩვენი მსჯელობის დროს.
ოთხკუთხედის ფართობის პოვნა სხვადასხვა გზით და მეთოდით
მოდით გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ოთხკუთხედის ფართობი როდის მოცემულია მისი დიაგონალები და წარმოიქმნება მათ გადაკვეთაზე მკვეთრი კუთხე ... შემდეგ ოთხკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S = 1/2 * d1 * d2 * sin (d1, d2).
განვიხილოთ მაგალითი... ვთქვათ d1 = 15 სანტიმეტრი, d2 = 12 სანტიმეტრი და მათ შორის კუთხე 30 გრადუსია. მოდით განვსაზღვროთ S. S = 1/2 * 15 * 12 * sin30 = 1/2 * 15 * 12 * 1/2 = 45 კვადრატული სანტიმეტრი.
ახლა მოდით მოცემულია ოთხკუთხედის გვერდები და მოპირდაპირე კუთხეები.
მოდით a, b, c, d ცნობილი წვეულებებიმრავალკუთხედი; p არის მისი ნახევარპერიმეტრი. მოდით შევთანხმდეთ გამოთქმის კვადრატული ფესვის აღნიშვნაზე, როგორც რად (ლათინური რადიკალიდან). ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულა იპოვება ფორმულით: S = rad ((p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd ⋅ cos ^ 2 ((a , ბ) + (c, d) ) / 2), სადაც p = 1/2 * (a + b + c + d).
ერთი შეხედვით, ფორმულა ძალიან რთული და პრეტენზიული ჩანს. თუმცა, აქ არაფერია რთული, რასაც მაგალითის განხილვით დავამტკიცებთ. მოდით, ჩვენი მდგომარეობის მონაცემები იყოს შემდეგი: a = 18 მილიმეტრი, b = 23 მილიმეტრი, c = 22 მილიმეტრი, d = 17 მილიმეტრი. საპირისპირო კუთხეები იქნება (a, b) = 0.5 გრადუსი და (c, d) = 1.5 გრადუსი. დასაწყისისთვის, ჩვენ ვპოულობთ ნახევრად პერიმეტრს: p = 1/2 * (18 + 23 + 22 + 17) = 1/2 * 80 = 40 მილიმეტრი.
ახლა ჩვენ ვიპოვით კოსინუსის კვადრატსსაპირისპირო კუთხეების ნახევრად ჯამი: cos ^ 2 ((a, b) + (c, d)) / 2) = cos ^ 2 (0.5 + 1.5) / 2 = co s1 * co s1 = (1/2) * (1/2) = 0.9996.
ჩვენ ვცვლით მიღებულ მონაცემებს ჩვენს ფორმულაში, ვიღებთ: S = რად ((40 - 18) * (40 - 23) * (40 - 22) * (40 - 17) - 18 * 23 * 22 * 17 * 0,97) = რად (22 * 17 * 18 * 23 - 18 * 23 * 22 * 17 * 1/4) = რად ((22 * 17 * 18 * 23 * (1 - 0,9996)) = რად (154836 * 0,0004 ) = rad62 = 7,875 კვადრატული მილიმეტრი.
მოდით გავარკვიოთ როგორ მოვძებნოთ ფართობი შემოხაზული და შემოხაზული წრეების გამოყენებით... ამ თემის პრობლემების გადაჭრისას აზრი აქვს თქვენი მოქმედებების თანხლებით დამხმარე ნახატით, თუმცა ეს მოთხოვნა არ არის სავალდებულო.
თუ არის ჩაწერილი წრე და თქვენ უნდა იპოვოთ ოთხკუთხედის ფართობი, ფორმულა ასე გამოიყურება:
S = ((a + b + c + d) / 2) * r
კიდევ ერთხელ ავიღოთ მაგალითი: a = 16 მეტრი, b = 30 მეტრი, c = 28 მეტრი, d = 14 მეტრი, r = 6 მეტრი. თქვენი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
S = ((16 +30 + 28 + 14) / 2) * 6 = 44 * 6 = 264 კვადრატული მეტრი.
ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ვარიანტს, როდესაც წრე აღწერილია ოთხკუთხედის გარშემო. აქ შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
S = rad ((p - a) * (p - b) * (p - c) * (p - d), სადაც p უდრის პერიმეტრის სიგრძის ნახევარს. მოდით, ჩვენს შემთხვევაში გვერდებს ჰქონდეს შემდეგი მნიშვნელობები a = 26 დეციმეტრი, b = 35 დეციმეტრი, c = 39 დეციმეტრი, d = 30 დეციმეტრი.
პირველი ნაბიჯი არის ნახევრადპერიმეტრის განსაზღვრა, p = (26 + 35 + 39 + 30) / 2 = 65 დეციმეტრი. მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი მნიშვნელობა ჩვენს ფორმულაში. ჩვენ ვიღებთ:
S = რად ((65 - 26) * (65 - 35) * (65 - 39) * (65 - 30)) = რად (39 * 30 * 26 * 35) = 1032 (მომრგვალებული) კვადრატული დეციმეტრი.
დასკვნა
ყოველივე ზემოთქმულის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ - თვითნებური ოთხკუთხედის ფართობის განსაზღვრა სხვადასხვა მხარემათზე რთული სპეციალური ტიპები- კვადრატი, მართკუთხედი, რომბი, ტრაპეცია, პარალელოგრამი. თუმცა, გულდასმით შემოწმების შემდეგყველა ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მოაგვაროთ სკოლის მოსწავლეებისთვის საჭირო პრობლემები. მოდით შევაჯამოთ ყველა ჩვენი ფორმულა ერთ ცხრილში:
- S = 1/2 * d1 * d2 * sin (d1, d2);
- S = rad ((p - a) * (p - b) * (p - c) * (p - d) - a * b * c * d * cos ^ 2 ((a, b) + (c, d )) / 2), სადაც p = 1/2 * (a + b + c + d);
- S = ((a + b + c + d) / 2) * r
S = rad ((p - a) * (p - b) * (p - c) * (p - d), სადაც p უდრის პერიმეტრის ნახევარს.
ამგვარად, მხოლოდ ფორმულა ნომერი 2 მართლაც რთულია, მაგრამ ის ასევე საკმაოდ ხელმისაწვდომია განმარტებებისა და კონვენციების სტატიაში მოცემული მონაცემების კარგად გაგებით.
ვიდეო
ვიდეო დაგეხმარებათ ამ თემის გაგებაში.
არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.
